Решения уравнений sinx cosx tgx ctgx

Решение тригонометрических уравнений с помощью подстановок: sinx+cosx=t, sinx-cosx=t, tgx+ctgx=t, tgx-ctgx=t

Разделы: Математика

Классы: 10 , 11

Цели:

1). Образовательные:

• Определение уровня овладения знаниями, повторение решения уравнений, решаемые с помощью вспомогательных аргументов.
• Коррекция знаний, умений, навыков.
• Организовать деятельность, направленную на выполнение постепенно усложняющихся заданий. Рассмотреть уравнения, решаемые с помощью подстановок.
• Учащиеся должны творчески применять знания, учится переносить в новые ситуации, применять в данной теме ранее полученные знания.

2) Развивающие:

• Развивать у учащихся способность самостоятельно применять полученные знания в нестандартных ситуациях.
• Развивать у учащихся творческий подход к предложенным заданиям.
• Развивать у учащихся переносить приобретённые знания в новые условия.

3) Воспитательные задачи:

• Формирование самостоятельности, мыслительной активности.

Ход урока

1. Повторение. Рассмотрение свойств тригонометрических функций, применяемых при решении уравнений.
2. Объяснение нового материала. Рассмотрение уравнений, которые решаются с помощью замены.
3. Закрепление нового материала.
4. Самостоятельная работа.
5. Домашнее задание.

Вместе с учащимися разбираются свойства:

1) Выразить sinx cosx, если известно, что sinx +cosx= 3/4.

(sinx +cosx) 2 = sin 2 x +cos 2 x +2 sinx cosx.

2 sinx cosx = 9/16 — 1= — 7/ 16, следовательно sinx cosx = -7/32.

2) Выразить tg 2 x+ctg 2 x, если tgx+ctgx=3.

9= (tgx+ctgx) 2 = tg 2 x+ctg 2 x + 2tgx ctgx= tg 2 x+ctg 2 x + 2.

Следовательно tg 2 x+ctg 2 x = 7.

Вместе с учащимися разбирается уравнение, в котором используется одно из выведенных свойств.

№ 1. Используем эту подстановку при решении уравнения sin 2 x – 4 sin x = 4 + 4 cos x.

4(sin x + cos x) – 2 sin x cos x +4 = 0.

Введем обозначение: sin x + cos x = t , тогда 2sin x cos x = t 2 -1.

4 t – ( t 2 — 1) + 4 = 0,

Решая квадратное уравнение, получаем t₁ = 5, t₂ = -1.

1) sin x + cos x = 5

Нет решения, так как ¦ sin x¦ 1 , ¦cos x¦ 1.

2) sin x + cos x = — 1

Применим способ введения вспомогательной переменной.

Разделим почленно данное уравнение на .

cos / 4 * sin x + sin / 4 * cos x = — / 2;

sin (x + / 4) = — / 2.

Решая тригонометрическое уравнение, получаем:

x + / 4 = — / 4 + 2n или x + / 4= 5/ 4 + 2 n, где n Z.

Ответ: /2 + 2 n; + 2n, где n Z.

Закрепление уравнений данного типа (у доски — учащийся):

№ 2. 2 cos x – sin 2x = 2 +2 sinx.

2 (sinx – cosx) + 2 sinx + 2 = 0

Введем обозначение: sin x — cos x = t, тогда 2sin x cos x = 1 — t 2 .

Решая квадратное уравнение, получаем: t₁= 3 , t₂ = -1.

1) sin x + cos x = 3. Нет решения, так как ¦ sin x¦ 1 , ¦cos x¦ 1.

2) sin x — cos x = — 1.

Применим способ введения вспомогательной переменной.

Разделим почленно данное уравнение на .

cos / 4 * sin x — sin / 4 * cos x = — / 2.

sin ( x — / 4 ) = — / 2.

Решая тригонометрическое уравнение, получаем :

x — / 4 = — / 4 + 2 n или x — / 4 = 5 / 4 + 2 n , где n Z.

Ответ: 2 n ; 3 / 2 + 2 n , где n Z.

№ 3. sin 2x + 3(sin x-cos x ) =5.

Уравнение решается самостоятельно с последующей проверкой.

Применяя данную подстановку, получаем: t 2 — 3t +4 = 0.

t₁ = 2 , t₂ =

sin x + cos x =2.

Нет решения, так как ¦ sin x¦ 1, ¦cos x¦ 1.

2) sin x — cos x = .

Применим способ введения вспомогательной переменной .

Разделим почленно данное уравнение на .

sin ( x — / 4 ) = 1.

x — / 4 = / 2 + 2 n или x = 3/ 4 + 2 n, где n Z .

Ответ: 3/ 4 + 2 n, где n Z .

№ 4. Применим еще одну подстановку.

4tg 2 x+ctg 2 x +6tgx-3 ctg x-8 =0.

4tg 2 x+ctg 2 x – 4 = t 2 , получаем:

2tg x- ctg x = — 4.

2tg x- 1/tg x = — 4

2 tg 2 x+ 4tg x — 1 =0.

t₁ = (-2 + )/2, t ₂ = (-2 — )/2.

х= arc tg (-2 + )/2 + n или х= arc tg (-2 — )/2 + n , где n Z .

Ответ: arctg (-2 + )/2 + n , arctg (-2 — )/2 + n , где n Z .

№ 5. Закрепление темы:

tg 2 x+ctg 2 x -3(tgx+ ctg x) + 4=0.

tg x + ctg x = t, получаем:

Решая квадратное уравнение , получаем: t₁ = — 2 , t₂ = — 1.

tg 2 x- 2tg x + 1 =0,

x = /4 + n, где n Z .

tg x + ctg x = -1 не имеет решения.

Ответ: / 4 + n, где n Z .

№ 6.Решим уравнение (учащиеся решают самостоятельно с последующей проверкой):

2(tgx+ ctg x)= (tg 2 x+ctg 2 x) — 2=0.

Проверка по этапам:

Квадратное уравнение относительно t: t 2 — 2 t = 0.

Корни уравнения: t=0 или t= 2/,

Ответ: n; arc tg(3)/2 + n, где n Z .

Далее рассматриваются более сложные уравнения, содержащие модули.

¦ sin x + cos x¦ = 1+2 sin x.

Применяя подстановку: sin x + cos x = t, получаем: ¦ t¦= t 2 .

Решая уравнения с модулем, получаем:

t = 0 или t= 1 , t = -1.

Далее решаем уже рассмотренные уравнения:

sin x + cos x = 0,

Объединяя решения, получаем ответ:

Ответ: — /4+ n ; /2 n, где n Z .

Далее предлагается учащимся уравнения для самостоятельной проработки:

1) 3 (sin x + cos x ) = 2 sin2 x,

2) 1 + sin2 x = sin x + cos x,

3) sin x + cos x — sin 2x + cos2 x – cos3 x = 1,

4) sin2 x — 5sin x + 5 cos x + 5 = 0,

5) tgx+ ctg x = 3 — sin2 x,

6) 2(sin2 x – cos2 x) = tgx+ ctg x.

Решение данных уравнений разбирается на следующих занятиях.

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение тригонометрических уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите тригонометрическое уравнение
Решить уравнение

Немного теории.

Тригонометрические уравнения

Уравнение cos(х) = а

Из определения косинуса следует, что \( -1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.

Уравнение cos x = а, где \( |a| \leqslant 1 \), имеет на отрезке \( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если a

Уравнение sin(х) = а

Из определения синуса следует, что \( -1 \leqslant \sin \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.

Уравнение sin х = а, где \( |a| \leqslant 1 \), на отрезке \( \left[ -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right] \) имеет только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если а

Уравнение tg(х) = а

Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.

Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале \( \left( -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right) \) только один корень. Если \( |a| \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right) \); если а

Решение тригонометрических уравнений

Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Решить уравнение 2 cos 2 (х) — 5 sin(х) + 1 = 0

Заменяя cos 2 (х) на 1 — sin 2 (х), получаем
2 (1 — sin 2 (х)) — 5 sin(х) + 1 = 0, или
2 sin 2 (х) + 5 sin(х) — 3 = 0.
Обозначая sin(х) = у, получаем 2у 2 + 5y — 3 = 0, откуда y₁ = -3, y₂ = 0,5
1) sin(х) = — 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin(х) = 0,5; \( x = (-1)^n \text(0,5) + \pi n = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb \)
Ответ \( x = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb \)

Решить уравнение 2 cos 2 (6х) + 8 sin(3х) cos(3x) — 4 = 0

Используя формулы
sin 2 (6x) + cos 2 (6x) = 1, sin(6х) = 2 sin(3x) cos(3x)
преобразуем уравнение:
3 (1 — sin 2 (6х)) + 4 sin(6х) — 4 = 0 => 3 sin 2 (6х) — 4 sin(6x) + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y 2 — 4y +1 =0, откуда y₁ = 1, y₂ = 1/3

Уравнение вида a sin(x) + b cos(x) = c

Решить уравнение 2 sin(x) + cos(x) — 2 = 0

Используя формулы \( \sin(x) = 2\sin\frac <2>\cos\frac<2>, \; \cos(x) = \cos^2 \frac <2>-\sin^2 \frac <2>\) и записывая правую часть уравпения в виде \( 2 = 2 \cdot 1 = 2 \left( \sin^2 \frac <2>+ \cos^2 \frac <2>\right) \) получаем

Поделив это уравнение на \( \cos^2 \frac <2>\) получим равносильное уравнение \( 3 \text^2\frac <2>— 4 \text\frac <2>+1 = 0 \)
Обозначая \( \text\frac <2>= y \) получаем уравнение 3y 2 — 4y + 1 = 0, откуда y₁=1, y₁= 1/3

В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях \( a \neq 0, \; b \neq 0, \; c \neq 0, \; c^2 \leqslant b^2+c^2 \) можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на \( \sqrt \):

Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5

Здесь a = 4, b = 3, \( \sqrt = 5 \). Поделим обе части уравнения на 5:

Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.

Решить уравнение sin(2х) — sin(x) = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin(x) cos(x) — sin(x) = 0. Вынося общий множитель sin(x) за скобки, получаем sin(x) (2 cos x — 1) = 0

Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x)
cos(2х) = cos (3х — х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0

Решить уравнение 6 sin 2 (x) + 2 sin 2 (2x) = 5
Выразим sin 2 (x) через cos(2x)
Так как cos(2x) = cos 2 (x) — sin 2 (x), то
cos(2x) = 1 — sin 2 (x) — sin 2 (x), cos(2x) = 1 — 2 sin 2 (x), откуда
sin 2 (x) = 1/2 (1 — cos(2x))
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 — cos(2x)) + 2 (1 — cos 2 (2х)) = 5
2 cos 2 (2х) + 3 cos(2х) = 0
cos(2х) (2 cos(2x) + 3) = 0

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Объяснение и обоснование

1. Корни уравненияcosx=a.

При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Примеры решения задач

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x₁ = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x₁=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Примеры решения задач

Вопросы для контроля

1. Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
2. Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
3. Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
4. Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)