Алгебра
План урока:
Иррациональные уравнения
Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.
Приведем примеры иррациональных ур-ний:
Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести
Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.
Простейшие иррациональные уравнения
Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:
где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.
Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:
Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии
n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.
Ответ: корней нет.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:
Пример. Решите ур-ние
Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:
Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).
Пример. Найдите решение ур-ния
Решение. Возведем обе части в пятую степень:
х 2 – 14х – 32 = 0
Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:
D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324
Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.
Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Возводим обе части во вторую степень:
х – 2 = х 2 – 8х + 16
D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9
Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):
при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1
при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2
Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:
3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3
3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3
Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:
Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.
Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:
при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1
Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:
Уравнения с двумя квадратными корнями
Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Перенесем вправо один из корней:
Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:
Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:
Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:
(2х – 4) 2 = 13 – 3х
4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х
4х 2 – 13х + 3 = 0
D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121
Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:
Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3
На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.
Введение новых переменных
Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние
Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.
Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:
х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0
Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид
Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:
D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64
Получили два значения t. Произведем обратную замену:
х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9
Возведем оба ур-ния в четвертую степень:
(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4
х = 1 или х = 6561
Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:
В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.
Пример. Решите ур-ние
х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0
Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:
Его корни вычислим через дискриминант:
D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121
Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:
х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3
Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.
Замена иррационального уравнения системой
Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:
Исходное ур-ние примет вид
Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:
Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:
Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:
(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2
из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:
17 = u 3 + (5 – u) 2
17 = u 3 + u 2 – 10u + 25
u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0
Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа
подставим полученные значения в (4):
x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3
x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64
х = – 5 или х = 2 или х = – 70
Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим
Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:
Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:
Итак, все три числа прошли проверку.
Уравнения с «вложенными» радикалами
Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:
При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:
Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:
Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:
Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:
Возводим в квадрат и получаем:
х 2 + 40 = (х + 4) 2
х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16
И снова нелишней будет проверка полученного корня:
Иррациональные неравенства
По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:
Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.
Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида
Может быть справедливым только тогда, когда
То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во
при четном n можно заменить системой нер-в
Пример. При каких значениях x справедливо нер-во
Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:
х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)
Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во
чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.
Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.
Пример. Найдите решение нер-ва
Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:
x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0
D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81
Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:
Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.
Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.
Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид
Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.
Пример. Решите нер-во
Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):
И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:
D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9
Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.
стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:
f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);
g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).
Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.
Пример. Решите нер-во
Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим
х 2 – 10х + 21 > 0(1)
Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:
Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:
Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):
Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:
Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:
Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:
Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:
Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).
Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3
Как решать
показательные уравнения?
Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Это поможет решить задания №5, 13 и 15 из профильного уровня математики.
Одна из их разновидностей – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие переменной \(х\) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:
Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:
Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение \(х\). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.
И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:
И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением. Кроме самой показательной функции в уравнении могут быть любые другие математические конструкции – тригонометрические функции, логарифмы, корни, дроби и т.д. Если вы видите степень, значит перед вам показательное уравнение.
Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.
Простейшие показательные уравнения
Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:
Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо \(х\) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:
Значит, если \(х=3\), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.
Решим что-нибудь посложнее.
Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:
Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:
Теперь наше уравнение будет выглядеть так:
Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны \(3\), только вот степени разные – слева степень \((4х-1)\), а справа \((-2)\). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:
Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.
Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.
Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что \(125=5*5*5=5^3\), а \(25=5*5=5^2\), подставим:
Воспользуемся одним из свойств степеней \((a^n)^m=a^
И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:
И еще один пример:
Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить \(2\) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.
Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.
Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.
Общий метод решения показательных уравнений
Пусть у нас есть вот такой пример:
Где \(a,b\) какие-то положительные числа. (\(a>0, \; b>0\).
Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.
Слева у нас уже стоит \(a^x\), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число \(b\), которое нужно попытаться представить в виде \(b=a^m\). Тогда уравнение принимает вид:
Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:
Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:
Замечаем, что \(16=2*2*2*2=2^4\) это степень двойки:
Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:
$$x=4.$$
Пример 6 $$5^<-x>=125 \Rightarrow 5^<-x>=5*5*5 \Rightarrow 5^<-x>=5^3 \Rightarrow –x=3 \Rightarrow x=-3.$$
Пример 7 $$9^<4x>=81 \Rightarrow (3*3)^<4x>=3*3*3*3 \Rightarrow(3^2)^<4x>=3^4 \Rightarrow 3^<8x>=3^4 \Rightarrow 8x=4 \Rightarrow x=\frac<1><2>.$$
Здесь мы заметили, что \(9=3^2\) и \(81=3^4\) являются степенями \(3\).
Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:
\(3\) и \(2\) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число \(b>0\), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице \(a>0, \; a \neq 1\):
Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим \(2\) в виде \(3\) в какой-то степени, где \(a=3\), а \(b=2\):
Подставим данное преобразование в наш пример:
Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:
Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.
Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.
Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.
Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:
Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.
И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\).
Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:
Решение показательных уравнений при помощи замены
Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.
Здесь это сделать легко, замечаем, что \(9=3^2\), тогда \(9^x=(3^2)^x=3^<2x>=(3^x)^2\). Здесь мы воспользовались свойством степеней: \((a^n)^m=a^
Обратим внимание, что во всем уравнении все \(х\) «входят» в одинаковую функцию — \(3^x\). Сделаем замену \(t=3^x, \; t>0\), так как показательная функция всегда положительна.
Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:
Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:
И второй корень:
И еще один пример на замену:
Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание \(3\). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Но если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член \(3=2+1\) и вынести общий множитель \(2\):
Подставим в исходное уравнение:
Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:
Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:
И второе значение \(t\):
Тут у нас две показательные функции с основаниями \(7\) и \(3\), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на \(3^x\):
Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:
Разберем каждое слагаемое:
Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:
Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену \(t=(\frac<7><3>)^x\):
Сделаем обратную замену:
И последний пример на замену:
Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:
Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:
Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны — отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!
И последнее слагаемое со степенью:
Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:
Теперь можно сделать замену \(t=2^x\) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель \(2^x\)):
Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера. Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.
И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут
Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании \(2\), \(5\) и \(10\). Очевидно, что \(10=2*5\). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:
Воспользуемся формулой \((a*b)^n=a^n*b^n\):
И перекинем все показательные функции с основанием \(2\) влево, а с основанием \(5\) вправо:
Сокращаем и воспользуемся формулами \(a^n*a^m=a^
Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.
Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!
Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
Содержание:
Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например:
Уравнения такого вида принято называть показательными.
Решении показательных уравнений
При решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции.
Пусть 
Каждому значению показательной функции 
соответствует единственный показатель s.
Пример:
Решение:
Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению
Пример:
Решение:
а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению
Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели:
Решив это уравнение, получим
Ответ: 
При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней.
Пример:
Решение:
а) Данное уравнение равносильно уравнению
Решая его, получаем:
Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. 
откуда находим 
б) Разделив обе части уравнения на 
получим уравнение 
равносильное данному. Решив его, получим 
Ответ: 
При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной.
Пример:
Решить уравнение 
Решение:
Обозначим 
тогда 
Таким образом, из данного уравнения получаем
откуда находим: 
Итак, с учетом обозначения имеем:
При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной.
Пример:
Решить уравнение 
Решение:
Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14).
Пример:
Решить уравнение 
Решение:
Пример:
При каком значении а корнем уравнения 
является число, равное 2?
Решение:
Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство
Решив это уравнение, найдем
Ответ: при 
Показательные уравнения и их системы
Показательным уравнением называется уравнение, в ко тором неизвестное входит в показатель степени. При решении показательных уравнений полезно использовать следующие тождества: 
Приведем методы решения некоторых типов показательных уравнений.
1 Приведение к одному основанию.
Метод основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо попытаться привести к виду 
. Отсюда 
Пример №1
Решите уравнение 
Решение:
Заметим, что 
и перепишем наше уравнение в виде
Применив тождество (1), получим Зх — 7 = -7х + 3, х = 1.
Пример №2
Решить уравнение 
Решение:
Переходя к основанию степени 2, получим:
Согласно тождеству (2), имеем 
Последнее уравнение равносильно уравнению 4х-19 = 2,5х. 
2 Введение новой переменной.
Пример №3
Решить уравнение 
Решение:
Применив тождество 2, перепишем уравнение как 
Введем новую переменную: 
Получим уравнение 
которое имеет корни 
Однако корень
не удовлетворяет условию 
Значит, 
Пример №4
Решить уравнение 
Решение:
Разделив обе части уравнения на 
получим:
последнее уравнение запишется так: 
Решая уравнение, найдем 
Значение 
не удовлетворяет условию 
Следовательно,
Пример №5
Решить уравнение 
Решение:
Заметим что 
Значит 
Перепишем уравнение в виде 
Обозначим 
Получим 
Получим 
Корнями данного уравнения будут 
Следовательно, 
III Вынесение общего множителя за скобку.
Пример №6
Решить уравнение 
Решение:
После вынесения за скобку в левой части 
, а в правой 
, получим 
Разделим обе части уравнения на 
получим 
Системы простейших показательных уравнений
Пример №7
Решите систему уравнений: 
Решение:
По свойству степеней система уравнений равносильна следующей
системе :
Отсюда получим систему 
Очевидно, что последняя система имеет решение 
Пример №8
Решите систему уравнений: 
Решение:
По свойству степеней система уравнений равносильна следующей системе: 
Последняя система, в свою очередь, равносильна системе: 
Умножив второе уравнение этой системы на (-2) и сложив с первым, получим уравнение —9х=-4. Отсюда, найдем 
Подставив полученное значение во второе уравнение, получим 
Пример №9
Решите систему уравнений: 
Решение:
Сделаем замену: 
Тогда наша система примет вид: 
Очевидно, что эта система уравнений имеет решение 
Тогда получим уравнения 
Приближенное решение уравнений
Пусть многочлен f(х) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, то есть 
. Тогда внутри этого отрезка существует хотя бы одно решение уравнения Дх)=0. Это означает, что существует такое 
(читается как «кси»), что 
Это утверждение проиллюстрировано на следующем чертеже.
Рассмотрим отрезок 
содержащий лишь один корень уравнения .
Метод последовательного деления отрезка пополам заключается в последовательном разделении отрезка [a, b] пополам до тех пор, пока длина полученного отрезка не будет меньше заданной точности 
- вычисляется значение f(х) выражения
- отрезок делится пополам, то есть вычисляется значение
- вычисляется значение выражения f(х) в точке
- проверяется условие
- если это условие выполняется, то в качестве левого конца нового отрезка выбирается середина предыдущего отрезка, то есть полагается, что (левый конец отрезка переходит в середину);
- если это условие не выполняется, то правый конец нового отрезка переходит в середину, то есть полагается, что b=x;
- для нового отрезка проверяется условие
- если это условие выполняется , то вычисления заканчиваются. При этом в качестве приближенного решения выбирается последнее вычисленное значение х. Если это условие не выполняется, то, переходя к пункту 2 этого алгоритма, вычисления продолжаются.
выражения f(х) в точке 
(левый конец отрезка переходит в середину);
Метод последовательного деления пополам проиллюстрирован на этом чертеже:
Для нахождения интервала, содержащего корень уравнения 
вычисляются значения 
Оказывается, что для корня 
данного уравнения выполнено неравенство. Значит, данное уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий интервалу (-1 -А; 1+А). Для приближенного вычисления данного корня найдем целые 
и 
удовлетворяющие неравенству 
Пример №10
Найдите интервал, содержащий корень уравнения 
Решение:
Поделив обе части уравнения на 2 , получим, 
Так как, для нового уравнения 
Значит, в интервале, 
уравнение имеет хотя бы один корень. В то же время уравнение при 
не имеет ни одного корня, так как,
выполняется. Значит, корень уравнения лежит в (-2,5; 0). Для уточнения этого интервала положим 
Для 
проверим выполнение условия
Значит, уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу (-1; 0).
Нахождение приближенного корня с заданной точностью
Исходя из вышесказанного, заключаем, что если выполнено неравенство 
корень уравнения принадлежит интервалу
Пусть
Если 
приближенный
корень уравнения с точностью 
. Если 
то корень лежит в интервале 
если 
то корень лежит в интервале 
. Продолжим процесс до нахождения приближенного значения корня с заданной точностью.
Пример №11
Найдите приближенное значение корня уравнения 
с заданной точностью
Решение:
Из предыдущего примера нам известно, что корень лежит в интервале
(-1; 0). Из того, что 
заключаем, что корень лежит в интервале (-0,5; 0).
Так как, |(-0,25)41,5(-0,25)2+2,5(-0,25)+0,5| = |-0,046| 1. Если 
Пусть 
Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунке 27 видно, что при а > 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
http://sigma-center.ru/exponential_equations
http://www.evkova.org/pokazatelnyie-uravneniya-i-neravenstva