Решения уравнения лапласа в параллелепипеде

Настоящая книга является естественным дополнением пособия А. Г. Свешникова, А. Н. Боголюбова, В. В. Кравцова «Лекции по математической физике». Её основная цель помочь студентам приобрести необходимые практические навыки исследования математических моделей физических явлений, являющихся краевыми или начально-краевыми задачами для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. С этой целью каждая глава пособия построена следующим образом. В начале каждого параграфа главы приводятся необходимые минимальные сведения теоретического характера, используемые для решения данного типа задач. Затем эти методы демонстрируются в работе, для чего даются примеры решения конкретных задач. В конце главы приводятся задачи с ответами для самостоятельного решения.

Содержание пособия полностью соответствует курсу «Методы математической физики», читаемому на физическом факультете МГУ. Пособие написано на основе более чем двадцатилетнего опыта преподавания на физическом факультете Московского университета. Оно рассчитано в первую очередь на студентов физических специальностей университетов, но будет полезно и студентам инженерных специальностей и лицам, занимающимся математической физикой и прикладной математикой.

Авторы выражают свою глубокую благодарность заведующему кафедрой Московского государственного института электронной профессору А. С. Поспелову, профессорам А. В. Ефимову, А. С. Ильинскому и С. Я. Секерж-Зеньковичу, взявшим на себя труд ознакомиться с рукописью и сделавшим ряд ценных замечаний.

Боковая панель

Полное и подробное, насколько это возможно, решение уравнения Лапласа в сферических координатах, приводящее к шаровым и сферическим функциям. Всё самое интересное на, хоть и длинной, но одной странице. Много математики — много веселья!

Эту запись можно посмотреть в nbviewer.

Уравнение Лапласа в сферических координатах

Уравнение Лапласа в сферических координатах имеет вид

где $ r, \vartheta = 90^\circ — \varphi, \lambda $ — радиус, полярное расстояние (дополнение широты $\varphi$ до $90^\circ$), долгота соответственно.

Решить уравнение Лапласа это значит найти конкретный вид гармонической функции $f \left( r, \vartheta, \lambda \right)$, удовлетворяющей ему.

Прежде, чем переходить к решению, заметим важное и полезное свойство уравнения Лапласа: оно линейно. Это означает, что если есть два решения этого уравнения $f_1$ и $f_2$, то есть

$$ \Delta f_1 = 0,\qquad \Delta f_2 = 0, $$

то их линейная комбинация

$$ f = \alpha f_1 + \beta f_2 $$

тоже является решением $\Delta f = 0$.

Разделение переменных

Будем искать решение уравнения Лапласа методом разделения переменных, суть которого в следующем. Представим искомую функцию $f$ трёх переменных $r, \vartheta, \lambda$ как произведение трёх других функций

\begin f \left(r, \vartheta, \lambda \right) = R(r) \cdot \Theta \left( \vartheta \right) \cdot \Lambda \left( \lambda \right), \end

каждая из которых теперь зависит только от одной переменной: $R$ есть функция только от $r$, $\Theta$ есть функция только от $\vartheta$, а $\Lambda$ есть функция только от $\lambda$. Стоит заметить, что не всякая система координат позволяет решить уравнение Лапласа методом разделения переменных, например этого нельзя сделать в геодезических координатах $H, B, L$.

Итак, делаем подстановку

Замечаем, что частные производные заменены на полные дифференциалы, поскольку функции $R, \Theta, \Lambda$ имеют только одну переменную. Разделим обе части уравнения на $R\Theta\Lambda$ и умножим на $r^2$:

Первый член уравнения зависит только от $r$, а вся оставшаяся часть зависит только от угловых величин $\vartheta, \lambda$. Для того, чтобы равенство выполнялось необходимо, чтобы обе части равнялись некоторой постоянной $\alpha$:

Первое уравнение будем называть радиальной частью уравнения Лапласа, поскольку она зависит только от $r$. Оставшуюся часть умножим на $\sin^<2><\left(\vartheta \right)>$ и запишем уравнение

которое является угловой частью уравнения Лапласа и называется дифференциальным уравнением сферических функций, поскольку, как увидим позже, именно они будут его решением.

И снова становится очевидным, что для сохранения равенства в полученном уравнении необходимо, чтобы обе части равнялись некоторой постоянной $\beta$:

Таким образом, уравнение Лапласа, дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, разбивается на три обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка:

$$ \begin r^2 \frac R>> + 2 r \frac — \alpha R &= 0, \label \tag<1>\\ \frac<1> <\Theta>\frac \Theta>> + \frac<1>< \tan<\left(\vartheta \right)>> \frac— \alpha \Theta \sin^<2><\left(\vartheta \right)>— \dfrac<\beta \Theta><\sin<\vartheta>> &= 0, \label \tag <2>\\ \frac\Lambda>> + \beta \Lambda &= 0. \label \tag <3>\end $$ Нам требуется теперь решить каждое из уравнений в отдельности, а заодно и определить вид постоянных $\alpha$ и $\beta$.

Отметим, что угловая часть уравнения Лапласа $Y (\vartheta, \lambda) = \Theta (\vartheta) \Lambda (\lambda)$ зависит только от полярного расстояния $\vartheta$ и долготы $\lambda$, то есть явялется функцией, заданной на сфере, следовательно решение этой части должно быть периодическим: $\pi$ для широтной части и $2\pi$ для долготной части. Только при этих условиях функция $Y (\vartheta, \lambda)$ может быть однозначно заданной на сфере.

Уравнение гармонических колебаний

Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида

называется уравнением гармонических (или свободных) колебаний.

Оно имеет два линейно независимых решения при $\beta > 0$

что легко проверяется подстановкой.

Как уже было сказано выше, для того, чтобы функция $Y \left( \vartheta, \lambda \right)$ была однозначной на сфере, необходимо, чтобы функция $\Lambda$ имела период $2\pi$. Из последнего уравнения нетрудно установить, что такое возможно только при $\beta = m^2$, $m = 0, 1, 2, …$ Таким образом, решения уравнения гармонических колебаний принимают вид

линейная комбинация которых

является общим решением дифференциального уравнения. Здесь $C_1$ и $C_2$ — произвольные константы.

Присоединённое уравнение Лежандра

Перепишем второе уравнение, подставив в него значение $\beta = m^2$:

И подставляя всё это, получим уравнение без тригонометрических функций в явном виде:

$$ \left( 1 — t^2 \right) \dfrac— 2 t \dfrac

+ \left[ \alpha — \dfrac <1 — t^2>\right] P = 0. $$

Сначала установим некоторые свойства решения этого уравнения.

Во-первых, поскольку $t = \cos<\vartheta>$, то $-1 \leq t \leq +1$. Таким образом, областью определения $P (t)$ является интервал $[-1, 1]$.
Во-вторых, поскольку $0 \leq \vartheta \leq \pi$ и $-1 \leq t \leq +1$, то по теорема Вейерштрасса функция $P (t)$ является ограниченной и должна принимать некоторые конечные значения на этом интервале:

$$ \left|P (-1)\right| Сферические функции

Пользуясь полученными нами решениями уравнения гармонических колебаний и присоединённого уравнения Лежандра, мы можем записать теперь решение дифференциального уравнения для сферических функций (или угловой части уравнения Лапласа) в виде:

$$ Y_n^m \left( \vartheta, \lambda \right) = P_n^m (\cos<\vartheta>) \cos ,\qquad Y_n^m \left( \vartheta, \lambda \right) = P_n^m (\cos<\vartheta>) \sin ,\qquad $$

Функции такого вида называют элементарными сферическими функциями степени $n$ и порядка $m$. Видно, что степень и порядок элементарной сферической функции определяется степенью и порядком присоединённой функции Лежандра.

Поскольку дифференциальное уравнение для сферических функций является линейным, то и линейная комбинация его решений также будет решением. Эту комбинацию можно записать как

где $A_n^m$ и $B_n^m$ являются произвольными константами, которые ещё называют гармоническими коэффициентами или просто гармониками. Мы получили общее выражение для сферической функции степени $n$.

Уравнение Коши-Эйлера

Наконец, найдём решение радиальной части уравнения Лапласа. Запишем её снова:

\begin r^2 \frac + 2 r\frac — \alpha R = 0. \end

Это уравнение Коши—Эйлера — линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Будем искать решение в виде степенной функции $R = r^n$, тогда

Подставляем в дифференциальное уравнение и после тривиальных преобразований, получаем

\begin n(n — 1) r^n + 2nr^n — \alpha r^n = 0. \end

Сокращаем на $r^n$, получаем характеристическое уравнение

\begin n^2 + n — \alpha = 0, \end

два корня которого легко находим из решения квадратного уравнения

откуда, возвращаясь к нашей подстановке $R = r^n$, получаем два линейно независимых решения

Теперь, пользуясь значением для $\alpha = n (n + 1)$, которое мы установили выше при рассмотрении присоединённого уравнения Лежандра, находим решения

линейная комбинация которых

по свойству линейных ОДУ второго порядка, является общим решением дифференциального уравнения. Здесь $C_1, C_2$ — произвольные постоянные.

Таким образом, мы получили решение радиальной (зависимой только от $r$) части уравнения Лапласа.

Шаровые функции

Итак, мы решили все обыкновенные дифференциальные уравнения, возникшие после разделения переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах. Осталось найти окончательный вид решения. Напоминаю, что искали мы его в виде

\begin f \left(r, \vartheta, \lambda \right) = R(r) \cdot \Theta \left( \vartheta \right) \cdot \Lambda \left( \lambda \right) = R(r) \cdot Y \left( \vartheta, \lambda \right). \end

Подставляем сюда выражения \eqref для $R$ и получаем два решения вида

\begin f \left(r, \vartheta, \lambda \right) = r^ Y (\vartheta, \lambda),\quad f \left(r, \vartheta, \lambda \right) = r^ <-n-1>Y (\vartheta, \lambda), \end

которые называются шаровыми функциями (solid spherical harmonics), а функции $Y (\vartheta, \lambda)$ — сферическими (spherical harmonics). Таким образом, последние два выражения устанавливают связь шаровых и сферических функций.

Используя общее выражение для сферической функции степени $n$ \eqref, шаровые функции можно записать так

\begin f \left(r, \vartheta, \lambda \right) &= r^ \sum\limits_^n (A_n^m \cos + B_n^m \sin) P_n^m (\cos<\vartheta>),\\ f \left(r, \vartheta, \lambda \right) &= \dfrac<1>> \sum\limits_^n (A_n^m \cos + B_n^m \sin) P_n^m (\cos<\vartheta>). \end

Вспоминая свойство линейности, о котором мы упоминали в самом начале, можно записать общее решение уравнения Лапласа, как линейную комбинацию частных решений в виде ряда по степеням $n$:

\begin f \left(r, \vartheta, \lambda \right) &= \sum\limits_^ <\infty>r^ \sum\limits_^n (A_n^m \cos + B_n^m \sin) P_n^m (\cos<\vartheta>),\\ f \left(r, \vartheta, \lambda \right) &= \sum\limits_^ <\infty>\dfrac<1>> \sum\limits_^n (A_n^m \cos + B_n^m \sin) P_n^m (\cos<\vartheta>). \end

Эти выражения называются рядами шаровых функций, а при $r = 1$ они обратятся в ряды сферических функций или ряды Лапласа.

Ряды шаровых функций и являются решением уравнения Лапласа в сферических координатах.

Для геодезии, изучающей внешнее гравитационное поле, куда более важными являются шаровые функции вида $f = r^ <-n-1>Y_n (\vartheta, \lambda)$, через которые может быть выражен потенциал притяжения вне притягивающих масс, поскольку $r$ здесь, как и у потенциала притяжения стоит в знаменателе. Вообще говоря, любая гармоническая вне сферы функция $f_e$ ($e$, external) может быть разложена в ряд

$$ f_e = \sum\limits_^ <\infty>r^ <-n-1>Y_n (\vartheta, \lambda) $$,

а любая гармоническая внутри сферы функция $f_i$ ($i$, internal) может быть разложена в ряд

$$ f_i = \sum\limits_^ <\infty>r^n Y_n (\vartheta, \lambda).$$

источники:

http://thegeodesy.com/solving-laplace-equation/