Решения уравнения в показательной и тригонометрической форме

Задача C1: тригонометрия и показательная функция — 2 вариант

17 февраля 2014

Сегодня мы разберем еще одну комбинированную задачу из части С ЕГЭ по математике, где требуется решить уравнение, содержащее в себе и показательную, и тригонометрическую функцию.

Задача C1. Решите уравнение. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку:

Шаг 1: решение тригонометрического уравнения

Итак, нужно решить уравнение:

36 sin 2 x = 6 2sin x

Очевидно, перед нами комбинированная конструкция, содержащая в себе и показательное, и тригонометрическое уравнение.

Синус двойного угла

Как решать такое уравнение? Давайте для начала выпишем все тригонометрические функции, которые присутствуют в этом уравнении, а именно:

Что мы можем сказать о полученных выражениях? В первом (sin 2 x ) аргумент синуса — это 2х; а во втором (2sin x ) аргумент — просто x . Итак, аргументы наших тригонометрических функций не совпадают. Это первое, на что нужно обратить внимание при решении любого тригонометрического уравнения. Следовательно, каким-то образом нужно сделать так, чтобы аргументы стали одинаковыми. В данном случае все очень просто, ведь мы знаем формулу двойного угла:

sin 2 x = 2sin x · cos x;
36 2sin x cos x = 6 2sin x .

Решение показательного уравнения

Теперь у нас другая проблема: перед нами [показательное уравнение], в котором присутствуют функции с разными основаниями. Слева основание показательной степени 36, а справа — 6. И это еще один принципиальный момент: нам нужно сделать так, чтобы и слева, и справа основание показательной функции было одним и тем же. Для этого заметим, что 36 можно записать так:

Следовательно, мы можем переписать наше уравнение в следующем виде:

(6 2 ) 2sin x cos x = 6 2sin x

Теперь воспользуемся правилом возведения степени в степень: при возведении степень в степень, показатели этих степеней перемножаются. В нашем случае получаем:

( a 2 ) f ( x ) = a 2 f ( x ) ;
6 4sin x cos x = 6 2sin x .

Итак, мы получили классическое показательное уравнение, в котором основания степеней являются константами и равны друг другу. Следовательно, мы можем просто убрать их и записать:

4sin x cos x = 2sin x

Решение тригонометрического уравнения

Тригонометрическое уравнение, которое мы получили, содержит несколько элементов с тригонометрической функцией. Для решения такого уравнения предлагаю перенести все слагаемые в левую часть, в результате чего получим:

4sin x cos x − 2sin x = 0

В полученном уравнении присутствуют два алгебраических слагаемых, причем и в первом, и во втором имеется множитель 2sin x . Выносим 2sin x за скобку:

2sin x (2cos x − 1) = 0

Вынесение за скобку общего множителя

Обратите внимание: на этом шаге многие ученики допускают ошибку! Давайте я еще раз напомню, как выносить общий множитель за скобку. Для этого выпишем наше выражение еще раз:

4sin x cos x − 2sin x

Перепишем эту конструкцию следующим образом:

2 · 2sin x cos x − 2sin x

Отсюда нам нужно вынеси [общий множитель]. Как вообще определяется, что можно вынести множитель за скобку? Простым перебором: мы берем самое первое слагаемое в нашем выражении и рассматриваем самый первый множитель, входящий в это слагаемое. Таким множителем является число 2.

А теперь — вопрос: встречается ли множитель 2 во втором нашем слагаемом? Конечно, встречается! Значит, ее мы выносим и идем далее. Следующий множитель тоже 2, но второй двойки во втором слагаемом не имеется, поэтому еще одну двойку вынести за скобку мы не можем.

Идем дальше: множитель sin x . Присутствует ли sin x во втором слагаемом? Да, безусловно. И последний множитель из первого слагаемого — cos x . Есть ли он во втором слагаемом? Нет, такого множителя во втором слагаемом нет. Поэтому вынести за скобку множитель cos x мы не можем. Вот и все. Получается, что из нашей конструкции можно вынести за скобку лишь множители 2 и sin x .

2 · 2sin x cos x − 2sin x = 2sin x (2cos x − 1)

Но на этом проблемы не заканчиваются. Когда ученики записывают элементы в скобках, здесь часто допускаются совершенно нелепые ошибки. Поэтому всем своим ученикам я рассказываю одно и то же правило, которое [гарантировано] избавит вас от всех подобных проблем. Правило звучит следующим образом:

При вынесении за скобку общего множителя обязательно ставьте единицу на месте каждого вынесенного элемента!

Такая запись является гарантом того, что вы не допустите ошибку при вынесении множителя за скобку. Давайте посмотрим, как это правило сработает для нашего выражения. Записываем готовое разложение — и мы получили именно то выражение, которое у нас получилось в самом начале:

2 · 2sin x cos x − 2sin x = 2sin x (1 · 2 · 1cos x − 1 · 1) = 2sin x (2cos x − 1)

Решение простейших тригонометрических уравнений

С вынесением общего множителя за скобку разобрались, возвращаемся к нашему уравнению. Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем несколько вариантов:

2 = 0; sin x = 0 (х = π n , n ∈ Z ); 2cos x − 1 = 0.

Очевидно, что уравнение 2 = 0 корней не имеет (Что за бред вообще?). Второе уравнение мы разобрали сразу, т.к. это был частный случай. Рассмотрим теперь последнее уравнение:

Уравнение решено. Мы разобрали каждый вариант, поэтому других корней не будет.

Отбор корней на отрезке

Переходим ко второй части задачи C1 — отбору корней в отрезке:

И снова предлагаю вашему вниманию небольшое усовершенствование.

Хитрость: отмечаем корни на тригонометрическом круге

Этот прием я разработал совсем недавно вместе со своими учениками. Суть приема проста: чертим тригонометрический круг (в простонародье — радар) и отмечаем на нем наши корни. Сначала — первую группу:

Это одна точка в самом начале круга и еще одна точка, которая диаметрально противоположна исходной.

Теперь отмечаем вторую группу корней:

Поскольку период 2π k — это полный оборот окружности, никаких других точек на тригонометрическом круге точно не появится. Итого получим следующую картинку:

Все, корни мы отметили. Теперь разбираемся с концами отрезка. Давайте перепишем их в таком виде:

По существу, мы просто выделили целую часть — по аналогии с неправильными дробями в арифметике. Отметим эти точки на том же тригонометрическом круге:

Отлично, концы искомого отрезка отмечены. Осталось грамотно отметить сам отрезок. Для этого нужно понять, как он расположен на нашем тригонометрическом круге. И вот тут многие ученики опять допускают ошибку: они путаются, в какую сторону «наматывать» этот отрезок. Ведь существует два варианта — против часовой стрелки (это правильный вариант) и по часовой (соответственно, неправильный):

На самом деле, чтобы никогда больше не путаться, нужно вспомнить основное правило: мы всегда накручиваем углы в сторону, противоположную движению часовой стрелки. Например, если бы мы хотели попасть из точки 0 в точку 2π, мы бы двигались именно против часовой стрелки:

Это правило все прекрасно помнят, когда считают значение тригонометрических функций. Но почему-то забывают, что это правило работает для любых отрезков, а не только в пределах от 0 до 2π. Поэтому еще раз смотрим на наш исходный отрезок, берем его левый конец, т. е. самое маленькое число −7π/2, и идем от него в наш второй конец против часовой стрелки:

Прекрасно, отрезок отмечен. Для того, чтобы выявить интересующие нас корни, давайте продолжим лучи, проходящие через все корни, отмеченные красным, за пределы тригонометрического круга (по сути — до бесконечности). Таких лучей будет 4 штуки.

А теперь берем ручку, ставим ее в самый левый конец отрезка (точку −7π/2) и начинаем двигаться ко второму концу отрезка. Разумеется, мы тут же наткнемся на пересечение нашего отрезка и одного из лучей, отвечающих за корни. Так вот: любое такое пересечение означает, что мы нашли конкретный корень, который лежит на нашем рассматриваемом отрезке.

Возникает вопрос: как найти числовое значение этого корня? Но и тут все очень просто. Давайте подумаем: на какое расстояние нужно шагнуть из точки −7π/2, т. е. из начала нашего отрезка, чтобы попасть на горизонтальный диаметр? Очевидно, что это расстояние равно π/2. Прибавляем к концу нашего отрезка этот самый шаг:

В данном случае получилось, что этот корень уже изначально был отмечен, когда мы отмечали концы нашего отрезка: −7π/2 и −5π/2.

Если мы пойдем дальше, двигаясь из точки -3π к правому концу нашего отрезка, никаких других корней уже не встретим. Получается, что во время обхода мы столкнулись лишь с одним корнем — −3π. В принципе, это и неудивительно: в данной задаче нам попался довольно короткий отрезок, который на тригонометрическом круге занимает лишь половину полного оборота. И так уж получилось, что большинство корней, которые мы получили при решении уравнения, сосредоточены на второй половине нашего круга — в той самой, которую мы вообще не рассматривали.

В общем, не стоить удивляться, когда в процессе отбора корней у нас получился всего лишь один ответ. Это правильный ответ, и приведенный выше рисунок является полноценным тому обоснованием. Следовательно, задача решена полностью:

1. Мы решили само уравнение, последовательно разобравшись с показательным и тригонометрическим уравнением;
2. Затем отобрали те корни, которые лежат на требуемом отрезке, и обосновали этот выбор графически.

Замечание по поводу разложения на множители

Еще один тонкий момент в решении данной задачи состоит в том, что многие ученики неправильно выносят за скобку общие множители. Но это — тема отдельного урока, который вообще не относится к ЕГЭ по математике, поэтому сегодня я коснулся данного вопроса лишь вкратце. Ровно настолько, насколько это необходимо для решения конкретной задачи.

Однако если в сегодняшнем уроке вам все равно что-то непонятно, если вы хотите решать тригонометрию еще лучше, не нужно расстраиваться, просто заходите на мой сайт berdov . com . Там вас ждет еще больше уроков, а также тесты для самостоятельного решения.

Но и это еще не все: на любой странице моего сайта справа вверху есть форма для записи на занятие. Смело заполняйте ее, указывайте свое имя, телефон и хоть немного расскажите о своей математической проблеме. И как только вы нажмете на кнопку «Записаться», буквально через несколько секунд я получу ваше сообщение, и в течение нескольких минут (максимум — нескольких часов) я вам позвоню, и мы обсудим все интересующие проблемы и составим индивидуальную программу обучения, рассчитанную именно на вас.

И вот тогда вы точно убедитесь, что математика — это, на самом деле, легко, что никаких сложных формул и теорем в ней нет. Тем более, в школьном курсе. Пишите, звоните, приходите — и будем заниматься. А у меня на сегодня все. С Вами был Павел Бердов. До новых встреч!

Примеры решений задач с комплексными числами

На этой странице вы найдете подробные готовые задания с ответами по разделу «Комплексные числа»: действия с комплексными числами, преобразование в алгебраическую, тригонометрическую и показательную форму, возведение в степень и извлечение корня по формуле Муавра, решение уравнений с комплексными корнями и т.п.

Если вам нужна помощь в выполнении работы по комплексным числам, мы будем рады помочь: стоимость задания от 70 рублей, срок от 1 дня, гарантия месяц, подробное оформление (см. Решение задач на заказ).

Еще полезные ссылки для изучения:

Графические задачи с комплексными числами

Задача 1. Найдите геометрическое место точек, изображающих $z$, удовлетворяющих системе неравенств: $$ |z-1| \lt 1, \\ Re z \le 1, \\ Im z \le 1.$$

Задача 2. Изобразите на $C$: $Re z^2 =-1$.

Действия с комплексными числами. Решения задач

Задача 3. Вычислить сумму $(z_1 + z_2)$ и разность $(z_1 — z_2)$ комплексных чисел, заданных в показательной форме, переведя их в алгебраическую форму. Построить операнды и результаты на комплексной плоскости. $$ z_1 = 2 e^<-\pi i>, z_2=4 e^<\pi i>.$$

Задача 4. Вычислить произведение $z_1 \cdot z_2$ и частное $z_1 / z_2$ комплексных чисел. Операнды и результаты изобразить на комплексной плоскости. $$ z_1 = 4+3i, z_2=1-\sqrt <3>i.$$

Задача 5. Найти все значения корней из заданного комплексного числа $\sqrt[4]<-9>.$

Задача 6. Вычислить $\left(\frac<1-i> <1+i>\right)^<40>.$ Представить результат в алгебраической и показательной формах.

Формы комплексных чисел. Решения задач

Задача 7. Найти $|z|$, $\arg z$, записать число $z$ в тригонометрической и показательной форме $z=-\sqrt<3>-i.$

Задача 8. Найдите $z$ в тригонометрической форме, если $z=(3-3i\sqrt<3>)(5\sqrt<3>+5i).$

Задача 9. Дано комплексное число $a$. Требуется:
1) записать число $a$ в алгебраической и тригонометрической формах;
2) найти корни уравнения $z^3+a=0$. $$a=\frac<1><\sqrt<3>-i>.$$

Уравнения с комплексными числами. Решения задач

Задача 10. Решите уравнение (ответ запишите в алгебраической форме): $sh z — ch z =2i.$

Задача 11. Решить уравнения или вычислить: $$ \frac = \frac<4+i><4i-1>. $$

Задача 12. Найти все комплексные корни заданного уравнения, отметить найденные корни на комплексной плоскости: $z^6-7z^3-8=0.$

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение тригонометрических уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите тригонометрическое уравнение
Решить уравнение

Немного теории.

Тригонометрические уравнения

Уравнение cos(х) = а

Из определения косинуса следует, что \( -1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.

Уравнение cos x = а, где \( |a| \leqslant 1 \), имеет на отрезке \( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если a

Уравнение sin(х) = а

Из определения синуса следует, что \( -1 \leqslant \sin \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.

Уравнение sin х = а, где \( |a| \leqslant 1 \), на отрезке \( \left[ -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right] \) имеет только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если а

Уравнение tg(х) = а

Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.

Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале \( \left( -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right) \) только один корень. Если \( |a| \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right) \); если а

Решение тригонометрических уравнений

Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Решить уравнение 2 cos 2 (х) — 5 sin(х) + 1 = 0

Заменяя cos 2 (х) на 1 — sin 2 (х), получаем
2 (1 — sin 2 (х)) — 5 sin(х) + 1 = 0, или
2 sin 2 (х) + 5 sin(х) — 3 = 0.
Обозначая sin(х) = у, получаем 2у 2 + 5y — 3 = 0, откуда y₁ = -3, y₂ = 0,5
1) sin(х) = — 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin(х) = 0,5; \( x = (-1)^n \text(0,5) + \pi n = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb \)
Ответ \( x = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb \)

Решить уравнение 2 cos 2 (6х) + 8 sin(3х) cos(3x) — 4 = 0

Используя формулы
sin 2 (6x) + cos 2 (6x) = 1, sin(6х) = 2 sin(3x) cos(3x)
преобразуем уравнение:
3 (1 — sin 2 (6х)) + 4 sin(6х) — 4 = 0 => 3 sin 2 (6х) — 4 sin(6x) + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y 2 — 4y +1 =0, откуда y₁ = 1, y₂ = 1/3

Уравнение вида a sin(x) + b cos(x) = c

Решить уравнение 2 sin(x) + cos(x) — 2 = 0

Используя формулы \( \sin(x) = 2\sin\frac <2>\cos\frac<2>, \; \cos(x) = \cos^2 \frac <2>-\sin^2 \frac <2>\) и записывая правую часть уравпения в виде \( 2 = 2 \cdot 1 = 2 \left( \sin^2 \frac <2>+ \cos^2 \frac <2>\right) \) получаем

Поделив это уравнение на \( \cos^2 \frac <2>\) получим равносильное уравнение \( 3 \text^2\frac <2>— 4 \text\frac <2>+1 = 0 \)
Обозначая \( \text\frac <2>= y \) получаем уравнение 3y 2 — 4y + 1 = 0, откуда y₁=1, y₁= 1/3

В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях \( a \neq 0, \; b \neq 0, \; c \neq 0, \; c^2 \leqslant b^2+c^2 \) можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на \( \sqrt \):

Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5

Здесь a = 4, b = 3, \( \sqrt = 5 \). Поделим обе части уравнения на 5:

Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.

Решить уравнение sin(2х) — sin(x) = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin(x) cos(x) — sin(x) = 0. Вынося общий множитель sin(x) за скобки, получаем sin(x) (2 cos x — 1) = 0

Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x)
cos(2х) = cos (3х — х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0

Решить уравнение 6 sin 2 (x) + 2 sin 2 (2x) = 5
Выразим sin 2 (x) через cos(2x)
Так как cos(2x) = cos 2 (x) — sin 2 (x), то
cos(2x) = 1 — sin 2 (x) — sin 2 (x), cos(2x) = 1 — 2 sin 2 (x), откуда
sin 2 (x) = 1/2 (1 — cos(2x))
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 — cos(2x)) + 2 (1 — cos 2 (2х)) = 5
2 cos 2 (2х) + 3 cos(2х) = 0
cos(2х) (2 cos(2x) + 3) = 0