Решенные задания по нелинейные уравнения

Численные методы решения нелинейных уравнений

В этом разделе приведены примеры решенных задач по теме нахождения корней нелинейных уравнений численными методами. На первом этапе обычно происходит локализация (отделение) корней (графически или аналитически), на втором — уточнение (поиск) корней разными методами: Ньютона, Стеффенсена, секущих, хорд, касательных, простой итерации.

Примеры приближенных решений нелинейных уравнений онлайн

Задача 1. Методом бисекции найти решение нелинейного уравнения на отрезке $[a;b]$ с точностью $\varepsilon = 10^<-2>$. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью $\varepsilon=10^<-4>$. Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности число итераций.

Задача 2. Отделить корни нелинейного уравнения аналитически $2 arcctg x -x+3=0$.

Задача 3. Отделить корни нелинейного уравнения аналитически и уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01. $$3x^4-8x^3-18x^2+2=0.$$

Задача 4. Отделить корни нелинейного уравнения графически (например, в среде EXCEL) уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01. $$x^2-20 \sin x =0.$$

Задача 5. Отделите корни уравнения графически и уточните один из них методом хорд с точностью до 0,001. Уточните один из корней этого уравнения методом касательных с точностью до 0,001. $$ \sqrt — \cos 0.387 x =0.$$

Задача 6.Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001. $$\sqrt=\frac<1>.$$

Задача 7. На отрезке $[0;2]$ методом Ньютона найти корень уравнения $-x^3-2x^2-4x+10=0$ с точностью 0,01.

Задача 8. Методом хорд найти отрицательный корень уравнения $x^3-2x^2-4x+7=0$ с точностью 0,0001. Требуется предварительное построение графика функции и отделение корней.

Задача 9. Решить нелинейные уравнения с точностью до 0.001. $$1)\, x^3-12x-5=0\, (x \gt 0), \, 2)\, \tan x -1/x=0. $$

Системы с нелинейными уравнениями

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

Примеры решения систем уравнений других видов

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Определение 1 . Пусть A – некоторое множество пар чисел (x ; y) . Говорят, что на множестве A задана числовая функция z от двух переменных x и y , если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества A ставится в соответствие некоторое число.

Задание числовой функции z от двух переменных x и y часто обозначают так:

z = f (x , y) ,

(1)

причем в записи (1) числа x и y называют аргументами функции , а число z – значением функции , соответствующим паре аргументов (x ; y) .

Определение 2 . Нелинейным уравнением с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида

f (x , y) = 0 ,

(2)

где f (x , y) – любая функция, отличная от функции

где a , b , c – заданные числа.

Определение 3 . Решением уравнения (2) называют пару чисел (x ; y) , для которых формула (2) является верным равенством.

Пример 1 . Решить уравнение

x 2 – 4xy + 6y 2 –
– 12 y +18 = 0 .

(3)

Решение . Преобразуем левую часть уравнения (3):

Таким образом, уравнение (3) можно переписать в виде

(x – 2y) 2 + 2(y – 3) 2 = 0 .

(4)

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные x и y удовлетворяют системе уравнений

решением которой служит пара чисел (6 ; 3) .

Пример 2 . Решить уравнение

sin (xy) = 2 .

(5)

вытекает, что уравнение (5) решений не имеет.

Ответ : Решений нет.

Пример 3 . Решить уравнение

ln (x – y) = 0 .

(6)

Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида

где y – любое число.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

Определение 4 . Решением системы уравнений

называют пару чисел (x ; y) , при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное, имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .

Пример 4 . Решить систему уравнений

(7)

Решение . Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное y через неизвестное x и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

Таким образом, решениями системы (7) являются две пары чисел

Ответ : (– 1 ; 9) , (9 ; – 1)

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

Определение 5 . Однородным уравнением второй степени с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида

где a , b , c – заданные числа.

Пример 5 . Решить уравнение

3x 2 – 8xy + 5y 2 = 0 .

(8)

Решение . Для каждого значения y рассмотрим уравнение (8) как квадратное уравнение относительно неизвестного x . Тогда дискриминант D квадратного уравнения (8) будет выражаться по формуле

откуда с помощью формулы для корней квадратного уравнения найдем корни уравнения (8):

Ответ . Решениями уравнения (8) являются все пары чисел вида

( y ; y) или

где y – любое число.

Следствие . Левую часть уравнения (8) можно разложить на множители

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное, имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .

Пример 6 . Решить систему уравнений

(9)

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

В случае, когда x = – y , из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

корнями которого служат числа y₁ = 2 , y₂ = – 2 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 2) , (2 ; – 2) .

из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

которое корней не имеет.

Ответ : (– 2 ; 2) , (2 ; – 2)

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

Пример 7 . Решить систему уравнений

(10)

Решение . Совершим над системой (10) следующие преобразования:

второе уравнение системы оставим без изменений;
к первому уравнению, умноженному на 5 , прибавим второе уравнение, умноженное на 3 , и запишем полученный результат вместо первого уравнения системы (10).

В результате система (10) преобразуется в равносильную ей систему (11), в которой первое уравнение является однородным уравнением:

(11)

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

В случае, когда x = – 5y , из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

которое корней не имеет.

из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

корнями которого служат числа y₁ = 3 , y₂ = – 3 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 3) , (2 ; – 3) .

Ответ : (– 2 ; 3) , (2 ; – 3)

Примеры решения систем уравнений других видов

Пример 8 . Решить систему уравнений (МФТИ)

Решение . Введем новые неизвестные u и v , которые выражаются через x и y по формулам:

(13)

Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные x и y через u и v . Из системы (13) следует, что

(14)

Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную x . С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:

первое уравнение системы оставим без изменений;
из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему

из которой находим

(15)

Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде

(16)

У системы (16) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное u через неизвестное v и подставить это выражение во второе уравнение системы:

Следовательно, решениями системы (16) являются две пары чисел

Из формул (13) вытекает, что , поэтому первое решение должно быть отброшено. В случае u₂ = 5, v₂ = 2 из формул (15) находим значения x и y :

Определение 6 . Решением системы из двух уравнений с тремя неизвестными называют тройку чисел (x ; y ; z) , при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.

Пример 9 . Решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными

(17)

Решение . У системы (17) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное z через неизвестные x и y и подставить это выражение во второе уравнение системы:

(18)

Перепишем второе уравнение системы (18) в другом виде:

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то выполнение последнего равенства возможно лишь в случае x = 4, y = 4 .

Ответ : (4 ; 4 ; – 4)

Замечание . Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы линейных уравнений» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

Комплекс практических работ по решению систем линейных и нелинейных уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Югорский государственный университет» (ЮГУ)

Лянторский нефтяной техникум

(филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Югорский государственный университет»

для студентов по выполнению практических работ

по решению систем линейных и нелинейных уравнений

Практическая работа № 1

Тема: Решение нелинейного уравнения методом хорд.

Цель работы : решить уравнения методом хорд средствами программирования

методы решения нелинейных уравнений ;

решать уравнения методом хорд.

Этим методом можно пользоваться в том случае, если функция непрерывна в некоторой окрестности корня уравнения.

Для начала ищется отрезок в этой окрестности, который содержал бы только один искомый корень уравнения, а значения функции на концах его были бы разных знаков. Так как функция непрерывна на этом отрезке, то ее график обязательно где-то внутри этого отрезка пересечет ось абсцисс. Эту точку х пересечения графика функции с осью ОХ , являющуюся корнем уравнения, и нужно найти.

Затем строится хорда, соединяющая точки графика функции, отвечающие концам имеющегося отрезка. Вычисляется точка пересечения этой хорды с осью ОХ . Назовем эту точку х ₁ . Затем определяется, на каком из отрезков или лежит корень уравнения. Если , то корень лежит на отрезке и становится правым концом нового (уже меньшего) отрезка локализации корня, а – левым концом этого отрезка. При этом производят переименование и .

Если , то корень – на отрезке и становится левым концом нового отрезка локализации корня, а – правым концом этого отрезка, т.е. и .

Теперь имеется уже новый отрезок локализации корня. С ним проделывается та же процедура построения хорды и поиска точки ее пересечения с осью ОХ – точки . Остановка производится при нахождении такого приближения , что .

Этот процесс можно увидеть на рис.15.1.

Формула для получения точки пересечения хорды с осью ОХ на каждом шаге имеет следующий вид:

. Часто вместо этого метода используют метод деления пополам , где очередное приближение находят по формуле . При этом отрезок локализации по длине можно сжать до какого угодно наперед заданного значения. Поэтому остановка процесса может быть произведена при выполнении условия .

Вычислим с помощью метода хорд корень уравнения с точностью . Под точностью будем понимать отклонение модуля функции от нулевого значения.

Выберем в качестве левой границы отрезка . При этом . В качестве правой границы можно взять . При этом . Выполняется необходимое условие .

Найдем первое приближение корня

Найдем значение функции в этой точке

Проверим, не надо ли прекратить вычисления:

, значит, точность еще не достигнута.

Т.к. , следующим отрезком будет .

Найдем второе приближение корня

Найдем значение функции в этой точке

, поэтому продолжаем вычисления.

Т.к. , следующим отрезком будет

. И т.д. до достижения заданной точности.

Изучить теоретическое обоснование и пример решения.

Представить результаты практических заданий преподавателю.

Ответить на контрольные вопросы.

Название и цели работы.

Решение заданий по варианту.

Задание 1 . Воспользовавшись методом хорд найдите корни уравнения f ( x ) на отрезке от [1;10] с точностью по вариантам:

Задание 2 . Воспользовавшись методом хорд найдите корни уравнения f ( x ) на отрезке с точностью по вариантам:

Задание 3. Воспользовавшись методом хорд найдите корни уравнения f ( x ) с точностью по вариантам:

Задание 4. Решите нелинейные уравнения f ₁ ( x )= f ₂ (х) на отрезке с точностью по вариантам:

В чем заключается метод хорд?

Когда может быть использован метод хорд?

Что значит метод деления пополам?

Овечкин, Г. В Компьютерное моделирование [Текст]: учебник/ Г. В. Овечкин .- М — Академия, 2015. – 224 с.

Колдаев, В. Д Численные методы и программирование [Электронный ресурс]: ИНФРА-М., 2016. – 336 с. (ЭБС Znanium . com ). Режим доступа: http://znanium.com/bookread2.php?book=546692

Колдаев, В. Д Основы алгоритмизации и программирования [Электронный ресурс]: ИНФРА-М., 2016. – 416 с. (ЭБС Znanium . com ). Режим доступа: http://znanium.com/bookread2.php?book=537513

Практическая работа № 2

Тема: Решение нелинейного уравнения методом Ньютона.

Цель работы : решить уравнения методом касательных средствами программирования.

методы решения нелинейных уравнений ;

решать уравнения методом Ньютона.

Этот метод можно использовать в случае выполнения следующих требований к функции :

На найденном отрезке локализации корня должна иметь единственный корень и значения функции на концах этого отрезка должны быть разных знаков, т.е. .

должна иметь непрерывную вторую производную на этом отрезке.

Кроме того, на отрезке вторая производная функции

должна сохранять свой знак.

Тогда в качестве начального приближения корня выбирается по следующему правилу:

Затем в точке с абсциссой строится касательная к графику функции . Точка пересечения этой касательной с осью ОХ берется в качестве следующего приближения корня . И так процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута нужная точность .

Если достаточно получить точку, в которой не превышает по модулю заданное число , то производят остановку при выполнении этого условия.

Если же надо получить приближение корня, отстоящее от истинного его значения не более чем на , то процесс останавливают тогда, когда выполняется следующее условие:

Процесс можно увидеть на рис.16.1.

Формула для вычисления точки пересечения касательной с осью ОХ имеет следующий вид:

Вычислим с помощью метода Ньютона корень уравнения с точностью .

Под точностью будем понимать отклонение модуля функции от нулевого значения.

Выберем в качестве левой границы отрезка . Значение функции в этой точке равно . В качестве правой границы можно взять . Значение функции в этой точке равно . А значит, выполняется необходимое условие применения метода .

Кроме этого выполняется требование непрерывности второй производной функции: – непрерывная функция.

А также на выбранном отрезке вторая производная функции не меняет знак. Действительно, больше нуля на всем отрезке .

Выберем в качестве первого приближения , т.к. .

Найдем второе приближение корня

Значение функции в этой точке равно

поэтому продолжаем и ищем третье приближение корня

Значение функции в этой точке равно

поэтому продолжаем и ищем четвертое приближение корня

Значение функции в этой точке равно

.И так далее до достижения точности.

Изучить теоретическое обоснование и пример решения.

Представить результаты практических заданий по вариантам.

Ответить на контрольные вопросы.

Название и цели работы.

Решение заданий по варианту.

Задание 1. Отделить корни уравнений графически (или аналитически) и найти приближенные значения корней с точностью ε=10 -3 по вариантам:

Задание 2 .Рещить уравнения методом касательных с точностью ε=10 -3 по вариантам:

В чем заключается метод Ньютона?

Когда может быть использован метод Ньютона?

Что значит метод касательных?

Овечкин, Г. В Компьютерное моделирование [Текст]: учебник/ Г. В. Овечкин .- М — Академия, 2015. – 224 с.

Практическая работа № 3

Тема: Решение системы линейных уравнений.

Цель работы : решить систему линейных уравнений основными методами.

решать системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

В ней a _ij – коэффициенты при неизвестных x _j . Решением этой системы называется такой набор значений неизвестных x _j , который удовлетворяет системе.

Коэффициенты a _ij можно записать в виде матрицы (таблицы):

, правую часть системы в виде вектора , а неизвестные в виде вектора . Тогда систему можно записать в виде матрично-векторного уравнения .

Известно, что такая система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда матрица системы невырожденная, т.е. (определитель матрицы не равен нулю).

Для решения таких систем используются как прямые методы , в которых получают точные значения неизвестных после применения заранее известного числа операций, так и итерационные методы , в которых число шагов (итераций) заранее неизвестно, и на каждом шаге получают некоторое приближенное решение системы до тех пор, пока не будет получено решение с нужной точностью.

Этот метод относится к прямым методам решения линейных систем. Он основан на приведении матрицы системы к треугольному виду путем последовательного исключения неизвестных из уравнений системы (прямой ход метода Гаусса) и последующем решении этой треугольной системы, начиная с последнего уравнения (обратный ход метода Гаусса).

Сначала с помощью первого уравнения исключается из всех последующих уравнений системы. Затем с помощью второго уравнения исключается из третьего и всех последующих уравнений и т.д. При этом, если в уравнении с номером k отсутствует неизвестная (), то производится перестановка этого уравнения с любым нижестоящим уравнением, содержащим эту переменную.

Этот процесс называется прямым ходом Гаусса и продолжается до тех пор, пока в левой части последнего ( n -го) уравнения не останется лишь один член с неизвестным .

Если на каком-то этапе этого процесса оказывается, что очередной исключаемой переменной уже нет ни в одном из последующих уравнений, то матрица системы является вырожденной, и метод Гаусса в этом случае неприменим.

Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении неизвестных. Решая последнее уравнение, находят единственное неизвестное . Далее, используя это значение, из предыдущего уравнения вычисляют и т.д. Последним находят из первого уравнения.

Рассмотрим применение метода Гаусса для системы из трех уравнений:

Для исключения из второго уравнения прибавим к нему первое, умноженное на . Затем, умножив первое уравнение на и прибавив результат к третьему уравнению, также исключим из него . Получим равносильную систему уравнений вида:

Теперь из третьего уравнения системы (2) нужно исключить . Для этого умножим второе уравнение на и прибавим результат к третьему. Получим:

Матрица системы (3) имеет треугольный вид. На этом завершается прямой ход метода Гаусса.

Заметим, о чем уже говорилось выше, что в процессе исключения неизвестных приходится выполнять операции деления на и т.д. Поэтому они должны быть отличны от нуля; в противном случае необходимо соответственным образом переставить уравнения системы.

Обратный ход начинается с решения третьего уравнения системы (3):

Используя это значение, можно найти из второго уравнения, а затем из первого:

Аналогично строится вычислительный алгоритм для линейной системы с другим числом неизвестных.

Найдем решение следующей линейной системы методом Гаусса :

Сначала с помощью первого уравнения исключим x ₁ из второго и третьего уравнений. Это можно сделать так, как было описано выше.

Но мы для простоты понимания проделаем это в два этапа. Сначала сделаем коэффициенты перед переменной x ₁ во всех уравнениях равными единице, поделив каждое уравнение на коэффициент, стоящий перед этой переменной. Т.е. поделив первое на 2, второе на 2, а третье на 4.

Поместив слева схему производимых действий, запишем полученную систему, эквивалентную исходной:

Теперь избавимся от переменной x ₁ во втором и третьем уравнениях, вычтя из них первое:

Теперь нам нужно с помощью второго уравнения избавиться от переменной x ₂ в третьем уравнении. Сделаем это тоже в два этапа. Сначала поделим второе уравнение на 0.5, а третье уравнение на -1.75. Получим систему:

Далее преобразуем третье уравнение, вычтя из него второе:

На данном этапе система приведена к треугольному виду. Найдем значения неизвестных, начиная с третьего уравнения.

Сделаем проверку, подставив полученные значения неизвестных в левые части уравнений системы, чтобы убедиться в выполнении условий:

Изучить теоретическое обоснование.

Представить результаты практических заданий преподавателю.

Ответить на контрольные вопросы.

Название и цели работы.

Решение системы линейных уравнений по варианту.

Задание 1 . Решить методом Гаусса.

Как выглядит система линейных уравнений?

В чем заключается прямой ход метода Гаусса?

В чем заключается обратный ход метод Гаусса?

Для какой цели предназначен метод Гаусса?

Овечкин, Г. В Компьютерное моделирование [Текст]: учебник/ Г. В. Овечкин .- М — Академия, 2015. – 224 с.

Практическая работа № 4

Тема: Решение системы линейных уравнений методом Гаусса в среде программирования.

Цель работы : решить систему линейных уравнений программным способом.

методы программирования для решения примера методом Гаусса;

составлять программы в языке программирования.

Набрать в среде программирования программу.

Представить результаты практических заданий преподавателю.

Ответить на контрольные вопросы.

Название и цели работы.

Программу и решение системы линейных уравнений по варианту.

Задание 1 . Получить на компьютере результат решения.

Как выглядит система линейных уравнений?

В чем заключается прямой ход метода Гаусса?

В чем заключается обратный ход метод Гаусса?

Для какой цели предназначен метод Гаусса?

Овечкин, Г. В Компьютерное моделирование [Текст]: учебник/ Г. В. Овечкин .- М — Академия, 2015. – 224 с.

Практическая работа № 5

Тема: Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Цель работы : решить систему линейных уравнений методом Крамера.

решать системы линейных уравнений.

Метод Крамера. Применение для систем линейных уравнений.

Задана система N линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с неизвестными, коэффициентами при которых являются элементы матрицы , а свободными членами — числа

Первый индекс возле коэффициентов указывает в каком уравнении находится коэффициент, а второй — при котором из неизвестным он находится.

Если определитель матрицы не равен нулю

то система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение. Решением системы линейных алгебраических уравнений называется такая упорядоченная совокупность чисел , которая при превращает каждое из уравнений системы в правильную равенство. Если правые части всех уравнений системы равны нулю, то систему уравнений называют однородной. В случае, когда некоторые из них отличны от нуля – неоднородной Если система линейных алгебраических уравнений имеет хоть одно решение, то она называется совместной, в противном случае — несовместимой. Если решение системы единственное, то система линейных уравнений называется определенной. В случае, когда решение совместной системы не единственное, систему уравнений называют неопределенной. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (или равносильными), если все решения одной системы является решениями второй, и наоборот. Эквивалентны (или равносильны) системы получаем с помощью эквивалентных преобразований.

Эквивалентные преобразования СЛАУ

1) перестановка местами уравнений;

2) умножение (или деление) уравнений на отличное от нуля число;

3) добавление к некоторого уравнения другого уравнения, умноженного на произвольное, отличное от нуля число.

Решение СЛАУ можно найти разными способами, например , по формулам Крамера (метод Крамера)

Теорема Крамера. Если определитель системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными отличен от нуля то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера: — определители, образованные с заменой -го столбца, столбцом из свободных членов.

Если , а хотя бы один из отличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет. Если же , то СЛАУ имеет множество решений. Главный определитель определяется разностью перемножения коэффициентов относительно одной диагонали и другой диагонали.