Реши уравнение sinx 2 x графически
Вопрос по алгебре:
Решите графически уравнение:
б) sin x = 2x
г) sin x = 2x — 2Пи
Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?
Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!
Ответы и объяснения 1
Рассмотрим функцию f(x) = sin x и g(x) = 2x, графики пересекаются в точке х = 0, а значит есть решением уравнении
Второе уравнеие имеет корни иррациональные
Знаете ответ? Поделитесь им!
Как написать хороший ответ?
Чтобы добавить хороший ответ необходимо:
- Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
- Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
- Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.
Этого делать не стоит:
- Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
- Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
- Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
- Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Алгебра.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!
Алгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение тригонометрических уравнений.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите тригонометрическое уравнение
Решить уравнение
Немного теории.
Тригонометрические уравнения
Уравнение cos(х) = а
Из определения косинуса следует, что \( -1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.
Уравнение cos x = а, где \( |a| \leqslant 1 \), имеет на отрезке \( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если a
Уравнение sin(х) = а
Из определения синуса следует, что \( -1 \leqslant \sin \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.
Уравнение sin х = а, где \( |a| \leqslant 1 \), на отрезке \( \left[ -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right] \) имеет только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если а
Уравнение tg(х) = а
Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.
Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале \( \left( -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right) \) только один корень. Если \( |a| \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right) \); если а
Решение тригонометрических уравнений
Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Решить уравнение 2 cos 2 (х) — 5 sin(х) + 1 = 0
Заменяя cos 2 (х) на 1 — sin 2 (х), получаем
2 (1 — sin 2 (х)) — 5 sin(х) + 1 = 0, или
2 sin 2 (х) + 5 sin(х) — 3 = 0.
Обозначая sin(х) = у, получаем 2у 2 + 5y — 3 = 0, откуда y1 = -3, y2 = 0,5
1) sin(х) = — 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin(х) = 0,5; \( x = (-1)^n \text
Ответ \( x = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb
Решить уравнение 2 cos 2 (6х) + 8 sin(3х) cos(3x) — 4 = 0
Используя формулы
sin 2 (6x) + cos 2 (6x) = 1, sin(6х) = 2 sin(3x) cos(3x)
преобразуем уравнение:
3 (1 — sin 2 (6х)) + 4 sin(6х) — 4 = 0 => 3 sin 2 (6х) — 4 sin(6x) + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y 2 — 4y +1 =0, откуда y1 = 1, y2 = 1/3
Уравнение вида a sin(x) + b cos(x) = c
Решить уравнение 2 sin(x) + cos(x) — 2 = 0
Используя формулы \( \sin(x) = 2\sin\frac
Поделив это уравнение на \( \cos^2 \frac
Обозначая \( \text
В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях \( a \neq 0, \; b \neq 0, \; c \neq 0, \; c^2 \leqslant b^2+c^2 \) можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на \( \sqrt \):
Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5
Здесь a = 4, b = 3, \( \sqrt = 5 \). Поделим обе части уравнения на 5:
Уравнения, решаемые разложением левой части на множители
Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.
Решить уравнение sin(2х) — sin(x) = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin(x) cos(x) — sin(x) = 0. Вынося общий множитель sin(x) за скобки, получаем sin(x) (2 cos x — 1) = 0
Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x)
cos(2х) = cos (3х — х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0
Решить уравнение 6 sin 2 (x) + 2 sin 2 (2x) = 5
Выразим sin 2 (x) через cos(2x)
Так как cos(2x) = cos 2 (x) — sin 2 (x), то
cos(2x) = 1 — sin 2 (x) — sin 2 (x), cos(2x) = 1 — 2 sin 2 (x), откуда
sin 2 (x) = 1/2 (1 — cos(2x))
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 — cos(2x)) + 2 (1 — cos 2 (2х)) = 5
2 cos 2 (2х) + 3 cos(2х) = 0
cos(2х) (2 cos(2x) + 3) = 0
Урок тригонометрии «Различные способы решения уравнения sinx + cosx = 1»
Разделы: Математика
Образовательные, развивающие и воспитательные цели урока:
Техническая оснащенность урока: компьютеры.
План сдвоенного урока.
I. Повторение по теме “Уравнения”.
Вопросы для повторения.
II. Сообщение темы урока, знакомство с целями.
Урок посвящён способам решения уравнения sin x + cos x = 1.
III. Ход работы.
Я буду ставить перед вами задачу, определив способ решения, а вы будете именно этим способом решать данное уравнение, используя различные приёмы. Работать будете на листочках. Кто раньше решит, выйдет и приведёт своё решение на обороте доски (такую возможность будут иметь одновременно 4 ученика).
По окончанию работы и сдачи листочков на проверку класс обсудит приведённые на доске варианты решений. Затем начнётся следующий этап работы. Не забывайте каждый раз подписывать листочки.
Различные способы решения тригонометрического уравнения sin x + cos x = 1.
I способ. Введение вспомогательного угла.
Рассмотрим два приёма:
Разделим обе части уравнения на :
Воспользуемся алгоритмом решения уравнений вида а sin x + b cos x = c.
применительно к уравнению sin x + cos x, имеем:
Подпишите листочки.
- Изложите на листочках алгоритм использования вспомогательного угла при решении уравнений вида a sin x + b cos x =0.
- Запишите формулу применения синуса дополнительного угла для выражения sin x + cos x.
- Теперь выразите sin x + cos x через косинус дополнительного угла.
- Кто раньше закончит работу, покажет свои варианты ответов на доске.
II способ. С помощью универсальной тригонометрической подстановки.
Запишите формулы универсальной подстановки для sin x, cos x . Кто первый закончит, покажет на доске.
(1)
Выводы: Обращение к функции tgx / 2 предполагает, что cosx / 2 0, т.е. x 2n, n Z.
При таком переходе возможна потеря решений, т.к. исходное уравнение имело смысл при всех значениях переменной х, в том числе и при x = + 2n, n Z.
Есть вероятность того, что они могут оказаться корнями исходного уравнения,
поэтому надо проверить, не являются ли значения x = + 2n, n Z решениями данного уравнения.
sin ( + 2n) + cos( + 2n) = 1
-1 1.
Следовательно, x = + 2n, n Z.
Решением уравнения не является и переход к функции tgx / 2, в данном случае потери решения за собой не повлечёт. Итак, по формулам (1) из исходного уравнения sin x + cos x = 1, получаем:
III способ. Сведение к однородному уравнению.
Возможно, ли получить из данного уравнения однородное уравнение?
Надо перейти к аргументу x/2 и применить формулы половинного аргумента к функциям в левой и правой частях уравнения sin x + cos x = 1.
Написать на листочках формулы, которые при этом используются, и то однородное уравнение, которое получится. Получили однородное уравнение второй степени.
2sinx/2*cosx/2 + cos 2 x/2- sin 2 x/2 = sin 2 x/2 + cos 2 x/2 (2)
Подпишите листочки и решите данное однородное тригонометрическое уравнение второй степени
2sinx/2*cosx/2 + cos 2 x/2- sin 2 x/2 = sin 2 x/2 + cos 2 x/2,
2sinx/2*cosx/2 + cos 2 x/2- sin 2 x/2 — sin 2 x/2 — cos 2 x/2 = 0
sinx/2*cosx/2 — sin 2 x/2 = 0
Это уравнение можно решить, используя различные приёмы.
Разделим обе части уравнения на cos 2 x/2, т.к. cos 2 x/2 0
Ответ: <2n; /2 + 2k>, где n, k Z
Рассмотрим решение уравнения (2) способом разложения на множители:
sinx/2*cosx/2 — sin 2 x/2 = 0,
sinx/2*(cosx/2 — sinx/2) = 0,
x = 2n, n Z;
b) cosx/2 – sinx/2 = 0
x = /2 + 2k, k Z.
Ответ : <2n; /2 + 2k>, где n, k Z.
IV способ. Преобразование суммы в произведение.
Запишите формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение. Кто первый закончит работу, воспроизведёт её на доске. Используя формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение, решить данное уравнение:
а) Выразим cos x через sin(/2 – x):
О т в е т : <2n; /2 + 2k>, где n, k Z
sin x + cos x = 1
б) Выразим sin x через cos (/2 – х):
V способ. Применение формул половинного и двойного аргумента.
Напишите формулы тригонометрических функций двойного аргумента и половинного аргумента.
Запишите: sin x + cos x = 1; sin x = 1- cos x, приведите левую и правую части уравнения к аргументу х/2, используя формулы двойного и половинного угла, и решите получившееся уравнение.
2sinx/2 * cosx/2 = 2 sin 2 x/2 ,
sinx/2 * cosx/2 = sin 2 x/2 ,
x = /2 + 2k, k Z.
x = 2n; n, Z
Ответ: <2n; /2 + 2k>, где n, k Z.
Или это уравнение можно решить делением обеих частей на cos 2 x/2.
VI способ. Возведение обеих частей уравнения в квадрат:
sin x + cos x = 1,
(sin x + cos x) 2 = 1,
2 sin x cos x + 1= 1,
2 sin x cos x = 0,
При возведении в степень возможно появление посторонних решений уравнения, но не возможна потеря корней, т.е. получается уравнение-следствие. Причина приобретения корней состоит в том, что при возведении в квадрат чисел, равных по абсолютной величине, но разных по знаку, получается один и тот же результат.
При возведении в квадрат обеих частей уравнения sin x + cos x = 1, мы производим эту же операцию и с частями «теневого» уравнения (- sin x — cos x = 1), поскольку результат этих действий будет один и тот же.
Следовательно, по окончании решения, обязательно следует производить отбор корней.
1. Проверим корни вида x = j:
Значит, значения x = 2k, k Z, являются решениями исходного уравнения.
х= j , при j = 2k + 1, k Z.
следовательно, значения x = 2(k+1), где k Z, не являются решениями исходного уравнения.
2. Проверяем корни вида x = /2 + j, j Z:
j = 2n : x = /2+ 2n, где n Z.
Значит, значения x = /2+ 2n, где n Z являются решениями исходного уравнения.
x = /2 + 2(n+1); n Z.
следовательно, значения x = /2 + 2(n+1); n Z не являются решениями исходного уравнения.
Ответ : <2n; /2 + 2k>, где n, k Z.
VII способ. Замена cos x выражением :
Проверив результат, убеждаемся, что из серии x = k, k Z решением исходного уравнения являются только значения х вида: x = 2h, где h Z при k = 2h.
Ответ : <2h; /2 + 2n>, где n, h Z.
VIII способ. Графическое решение уравнения sin x + cos x = 1.
Предварительно проводится фронтальная беседа.
1. Что значит решить уравнение графически?
2. Как можно решить графически данное уравнение?
1. Построить в одной системе координат графики функций:
Абсциссы точек пересечения графиков функций и являются решением данного уравнения.
2. Построить график функции y = sin x+ cos x –1.
Абсциссы точек пересечения графика с осью абсцисс являются решением исходного уравнения.
3. Построение графиков на экране компьютера:
Прежде чем приступить к работе на компьютере, повторим элементы компьютерной грамотности, позволяющие построение графиков.
Что такое масштаб применительно к ЭВМ?
Масштаб – количество точек на экране, приходящееся на единицу значения.
Что называется пикселем?
Пиксель – наименьший объект графической среды, характеризующийся координатой Х и У (это точка на экране).
С помощью какого оператора можно построить точку на экране?
C помощью, какого оператора устанавливается новая система координат?
Window (x1, y1) – (x2, y2).
Рассказать о порядке построения линий осей координат на экране.
Line (x, y) – (x2, y2), c
Назовите операторы, которые обеспечивают надписи на осях координат.
Locate x, y: PRINT «Y».
Что собой представляет график на экране?
Что обеспечивает развёртку графика по осям координат?
Выполняем решение систем (1) на компьютере по соответствующим программам.
IV. Домашнее задание:
Решить различными способами уравнение sinx – cosx = 1 или любое другое уравнение.
http://www.math-solution.ru/math-task/trigonometry-equality
http://urok.1sept.ru/articles/211974