Реши уравнение в целых числах 3x 11y 1

math4school.ru

Уравнения в целых числах

Немного теории

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

способ перебора вариантов;

применение алгоритма Евклида;

представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;

разложения на множители;

решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;

метод бесконечного спуска.

Задачи с решениями

1. Решить в целых числах уравнение x 2 – xy – 2y 2 = 7.

Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

2. Решить в целых числах уравнение:

а) 20х + 12у = 2013;

в) 201х – 1999у = 12.

а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

Значит, общее решение:

х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,

где k – произвольное целое число.

Ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.

в) Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

Запишем этот процесс в обратном порядке:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел

x₀ = 1273·12 = 15276, y₀ = 128·12 = 1536

является решением уравнения 201х – 1999у = 12.

Общее решение этого уравнения запишется в виде

х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,

или, после переобозначения (используем, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201),

х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.

Ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.

3. Решить в целых числах уравнение:

а) x 3 + y 3 = 3333333;

б) x 3 + y 3 = 4(x 2 y + xy 2 + 1).

а) Так как x 3 и y 3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в разделе «Делимость целых чисел и остатки»), то x 3 + y 3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

б) Перепишем исходное уравнение в виде (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2 ) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

а) в простых числах уравнение х 2 – 7х – 144 = у 2 – 25у;

б) в целых числах уравнение x + y = x 2 – xy + y 2 .

а) Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у. Получим

у = х + 9 или у = 16 – х.

Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).

Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х имеем

С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

б) Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:

x 2 – (y + 1)x + y 2 – y = 0.

Дискриминант этого уравнения равен –3y 2 + 6y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х, которое легко решается.

Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

5. Существует ли бесконечное число троек целых чисел x, y, z таких, что x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3 ?

Попробуем подбирать такие тройки, где у = –z. Тогда y 3 и z 3 будут всегда взаимно уничтожаться, и наше уравнение будет иметь вид

Чтобы пара целых чисел (x; y) удовлетворяла этому условию, достаточно, чтобы число x–1 было удвоенным квадратом целого числа. Таких чисел бесконечно много, а именно, это все числа вида 2n 2 +1. Подставляя в x 2 (x–1) = 2y 2 такое число, после несложных преобразований получаем:

y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.

Все тройки, полученные таким образом, имеют вид (2n 2 +1; 2n 3 +n; –2n 3 – n).

6. Найдите такие целые числа x, y, z, u, что x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.

Число x 2 + y 2 + z 2 + u 2 чётно, поэтому среди чисел x, y, z, u чётное число нечётных чисел.

Если все четыре числа x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 делится на 4, но при этом 2xyzu не делится на 4 – несоответствие.

Если ровно два из чисел x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 не делится на 4, а 2xyzu делится на 4 – опять несоответствие.

Поэтому все числа x, y, z, u чётны. Тогда можно записать, что

и исходное уравнение примет вид

Теперь заметим, что (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 при делении на 8 даёт остаток 1. Поэтому если все числа x₁, y₁, z₁, u₁ нечётны, то x₁ 2 + y₁ 2 + z₁ 2 + u₁ 2 не делится на 8. А если ровно два из этих чисел нечётно, то x₁ 2 + y₁ 2 + z₁ 2 + u₁ 2 не делится даже на 4. Значит,

и мы получаем уравнение

Снова повторив те же самые рассуждения, получим, что x, y, z, u делятся на 2 n при всех натуральных n, что возможно лишь при x = y = z = u = 0.

7. Докажите, что уравнение

(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30

не имеет решений в целых числах.

Воспользуемся следующим тождеством:

(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(х – у)(y – z)(z – x).

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

(х – у)(y – z)(z – x) = 10.

Обозначим a = x – y, b = y – z, c = z – x и запишем полученное равенство в виде

Кроме того очевидно, a + b + c = 0. Легко убедиться, что с точностью до перестановки из равенства abc = 10 следует, что числа |a|, |b|, |c| равны либо 1, 2, 5, либо 1, 1, 10. Но во всех этих случаях при любом выборе знаков a, b, c сумма a + b + c отлична от нуля. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

8. Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у 2 .

если х = 1, то у 2 = 1,

если х = 3, то у 2 = 9.

Этим случаям соответствуют следующие пары чисел:

Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3, при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 и ни 3, ни 33 не являются квадратами целых чисел. Если же х > 5, то, так как

5! + 6! + . . . + х! = 10n,

можем записать, что

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n.

Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа.

Ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

9. Решите следующую систему уравнений в натуральных числах:

a 3 – b 3 – c 3 = 3abc, a 2 = 2(b + c).

3abc > 0, то a 3 > b 3 + c 3 ;

таким образом имеем

b 2 2 + х = у 4 + у 3 + у 2 + у.

Разложив на множители обе части данного уравнения, получим:

х(х + 1) = у(у + 1)(у 2 + 1),

х(х + 1) = (у 2 + у)(у 2 + 1)

Такое равенство возможно, если левая и правая части равны нулю, или представляют собой произведение двух последовательных целых чисел. Поэтому, приравнивая к нулю те или иные множители, получим 4 пары искомых значений переменных:

Произведение (у 2 + у)(у 2 + 1) можно рассматривать как произведение двух последовательных целых чисел, отличных от нуля, только при у = 2. Поэтому х(х + 1) = 30, откуда х₅ = 5, х₆ = –6. Значит, существуют ещё две пары целых чисел, удовлетворяющих исходному уравнению:

Ответ: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

Задачи без решений

1. Решить в целых числах уравнение:

б) х 2 + у 2 = х + у + 2.

2. Решить в целых числах уравнение:

а) х 3 + 21у 2 + 5 = 0;

б) 15х 2 – 7у 2 = 9.

3. Решить в натуральных числах уравнение:

4. Доказать, что уравнение х 3 + 3у 3 + 9z 3 = 9xyz в рациональных числах имеет единственное решение

5. Доказать, что уравнение х 2 + 5 = у 3 в целых числах не имеет решений.

Презентация по математике на тему «Решение уравнения в целых числах»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Решение уравнений в целых числах Мирошниченко Н.Е. учитель математики МАУ ШИЛИ Г. Калининград

1.Метод прямого перебора Имеются детали массой 8 кг и 3 кг . Сколько необходимо взять тех и других деталей, чтобы получить груз 30 кг? Решение: Пусть х – количество деталей массой 3 кг, а у — количество деталей массой 8 кг. Составим уравнение: 3х + 8у=30 Если х = 1, то 8у =27 , следовательно, у не является натуральным числом Если х =2, то 8у =24 , следовательно, у =3 Если х = 3, то 8у =21 , следовательно, у не является натуральным числом Если х = 4, то 8у =18 , следовательно, у не является натуральным числом Если х =5, то 8у =15 , следовательно, у не является натуральным числом Если х = 6, то 8у =12 , следовательно, у не является натуральным числом Если х = 7, то 8у =9 , следовательно, у не является натуральным числом Если х = 8, то 8·3+8>30 , Ответ: 2 детали по 3 кг и 3 детали по 8 кг.

2.Использование неравенств Решите в натуральных числах уравнение 3x + 6y = 21. Решение. Для уменьшения перебора вариантов рассмотрим неравенства Проведем перебор по неизвестной у. Если y = 1, то x = 5 Если y = 2, то x = 3 Если y = 3, то x = 1. Ответ: (5;1), (3; 2)(;1;3).

3.Использование отношения делимости Решить уравнение в целых числах 13x +16y = 300. Решение. 13x +13y + 3y = 13· 23 +1, 3y −1 = 13(23 − x − y). Отсюда следует, что разность 3y −1 делится на 13. Если 3y −1 = 0, то у не является натуральным числом. Если 3y −1 = 13, то у не является натуральным числом. Если 3y −1 = 26, то y = 9 и x = 12. Если 3y −1 = 39, то у не является натуральным числом. Если 3y −1 = 52, то у не является натуральным числом Если 3y −1 = 65, то y = 22, но16·22 = 352 > 300. Ответ: (12;9)

4. Выделение целой части Решить уравнение 8x + 5y = 39 . Решение. Выразим у из уравнения и выделим целую часть: Отсюда следует, что разность 3x − 4 делится на 5. Если 3x − 4 = 0, то х не является натуральным числом. Если 3x − 4 = 5, то x = 3 и y = 3. Если 3x − 4 = 10, то х не является натуральным числом. Если 3x − 4 = 15, то х не является натуральным числом. Если 3x − 4 = 20, то x = 8, но 8 8 = 64 > 39. Ответ: (3; 3).

5. Метод остатков Решите уравнение 3x − 4y = 1 в целых числах. Решение. Перепишем уравнение в виде 3x = 4y +1. Поскольку левая часть уравнения делится на 3, то должна делиться на 3 и правая часть. Рассмотрим три случая. 1) Если y = 3m, где m Z, то 4y +1 = 12m +1 не делится на 3. 2) Если y = 3m +1, то 4y +1 = 4(3m +1) +1 = 12m + 5 не делится на 3. 3) Если y = 3m + 2, то 4y +1 = 4(3m + 2) +1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9, x = 4m + 3. Ответ: x = 4m + 3, y = 3m + 2, где m Z.

6. Метод «спуска» Решите в целых числах уравнение 5x − 7 y = 3. Решение. Выразим из уравнения то неизвестное, коэффициент при котором меньше по модулю: Дробь должна быть равна целому числу. Положим , где z – целое число. Тогда 2y + 3 = 5z. Из последнего уравнения выразим то неизвестное, коэффициент при котором меньше по модулю, и проделаем аналогичные преобразования:

Дробь должна быть целым числом. Обозначим ,где t– целое число. Отсюда z = 2t − 3. Последовательно возвращаемся к неизвестным х и у: y = 3(2t − 3) − t = 5t − 9, x = y + z = 5t − 9 + 2t − 3 = 7t −12. Ответ: x = 7t – 12, y = 5t – 9, где t – целое число

7.Метод последовательного уменьшения коэффициентов по модулю Решить уравнение в целых числах 20х + 3у=10 Решение. Коэффициенты при переменных х и у – взаимно простые числа и свободный член — целое число. Коэффициент при х больше коэффициента при у. Представим его в виде суммы двух натуральных слагаемых так, чтобы первое слагаемое было наибольшим числом, кратным числу 3 ( коэффициенту при у). Получим: 20х + 3у = 10 (18 +2) х +3у=10 18х +2х+3у=10 3(6х+у)+2х=10

Обозначим выражение 6х + у = k. (1) Получим уравнение 3k+2x =10 с переменными k и х. Проведем аналогичные преобразования с полученным уравнением: (2 + 1) k + 2 x =10 2(k + x) + k =10 Обозначим выражение k + х = n (2). Получим уравнение 2 n + k =10 k = 10 – 2n Подставим в равенство (2) вместо k выражение 10 – 2n: 10 – 2n +x = n x = 3n – 10 Мы получили одну из формул решений уравнения 20x – 3y = 10

Чтобы получить вторую формулу, подставим в равенство(1) вместо х выражение +3n -10, а вместо k выражение 10-2n: 6(3n – 10)+y = 10 – 20n y = 70 – 20n Формулы х = 3n – 10; y = 70 – 20n при n = 0, ± 1, ±2; … дают все целочисленные решения уравнения

8 . Использование формул Теорема. Если а и b – взаимно просты и пара — какое-нибудь целочисленное решение уравнения aх + by = c, то все целочисленные решения этого уравнения описываются формулами: , где Доказательство: Пусть пара — какое-нибудь целочисленное решение уравнения ах + by = c , т.е. . Сделаем замену переменных: Тогда в новых переменных уравнение примет вид: . Т.к. а и b – взаимно просты, то уравнение имеет решения, если

Тогда получим Возвращаясь к старым переменным, получаем, что

8 . Использование формул Найти целочисленные решения уравнения 13х = 6у — 19 Решение. Найдем одно целочисленное решение уравнения: , и выполним преобразования Ответ:

9. Использование конечных цепных дробей Решите в целых числах уравнение 127x − 52y +1= 0 Решение. Преобразуем отношение коэффициентов при неизвестных. Прежде всего, выделим целую часть неправильной дроби . Правильную дробь заменим равной ей дробью Тогда получим . Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью

Теперь исходная дробь примет вид: . Повторяя те же рассуждения для дроби получим . Выделяя целую часть неправильной дроби , придем к окончательному результату:

Мы получили выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этой цепной дроби –одну пятую, превратим получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби : . Итак, Приведем полученное выражение к общему знаменателю и отбросив знаменатель, получим: Из сопоставления полученного равенства с уравнением 127x − 52y +1= 0 следует, что x = 9 , y = 22 будет решением этого уравнения, и согласно теореме все его решения будут содержаться в формулах x = 9 + 52t , y = 22 +127t ,где t Z. Ответ: x = 9 + 52t , y = 22 + 127t , где t Z.

Метод разложения на множители а) вынесение общего множителя за скобки Решить уравнение : х² + 2ху = 4х + 7 Решение: х² + 2ху — 4х = 7, (х + 2у -2)х = 7 Составим четыре системы уравнений: решив которые, получим Ответ: (1; 5), (7; -1), (-1; -1), (-7; 5)

б) применение формул сокращенного умножения Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 33. Решение. Запишем условие задачи в виде уравнения (m + n)(m — n) = 33 т.к(m + n)>(m – n) ,то получим две системы уравнений: Ответ: (17; 16), (7; 4),

в) способ группировки. Решить уравнение: xy — 2x + 3y = 16. Решение: х(у – 2) + 3у – 6 = 10 х(у – 2 ) + 3(у – 2) = 10 (х + 3)(у – 2) = 10 получаем восемь систем уравнений: Решив полученные системы уравнений, получим: Решив полученные системы уравнений, получаем: Ответ: (7;3), (-2; 12), (-1;7), (2;4), (-13;1), (-4;-8), (-5;-3), (-8;0).

Ответ: (7; 3), (-2; 12), (-1; 7), (2; 4), (-13; 1), (-4; -8), (-5; -3), (-8; 0)

г) разложение квадратного трехчлена Решить уравнение в целых числах : х² — 5ху+4у²=13 Решение: Решив уравнение х² — 5ху+4у²=0 относительно переменной х , получим . Теперь можно разложить левую часть уравнения на множители. Получаем (х – у)(х – 4у)=13 13 = 1·13=13·1=(-1)·(-13)=(-13)·(-1) Составим четыре системы уравнений: Решив полученные системы уравнений, получим ответ: Ответ: (-3; -4), (3; 4), (17;4), (-17;-4)

д) использование параметра Решите уравнение 2x²− 2xy + 9x + y = 2 в целых числах. Решение. Перепишем уравнение в виде 2x² − (2y − 9)x + y − 2 + a = a и разложим левую часть уравнения на множители как квадратный трехчлен относительно х. Находим дискриминант D = 4y² − 44y + 97 −8a. Очевидно, если 97 −8a =121, то дискриминант будет полным квадратом. При этом a = −3 и Отсюда . Уравнение принимает вид (2x −1)(x − y + 5) =−3. -3=1·(-3)=(-1)·3= 3·(-1)=(-3)·1

Из этого уравнения получим следующие системы уравнений: Решив эти системы, получим: Ответ: (1;9); (0;2); (2;8); (−1;3).

2. Метод решения относительно одной переменной

Выделение целой части Решить уравнение в целых числах: 3xy + 14x + 17y +71= 0 Решение: 3xy+17y=-14x — 71 ; y(3x+17)=-14x-71 , где 3х + 17≠0 Т.к. у должно быть целым числом, то 3у тоже целое число, следовательно, дробь также целое число,и значит 25 делится на (3х+17). Получаем: 3x + 17 = -5→ 3x = -22→ х не является целым числом 3x + 17 = 5 →3x = -12,→ x = -4, y = -3 3x + 17 = 25→ 3x = 8 → х не является целым числом 3x + 17 = -25→3x = -42→ x = -14,y = -5 3x + 17 = 1→3x = -16→ х не является целым числом 3x +17 = -1→3x = -18→x = -6, y = -13 Ответ:(-4;-3), (-6;-13), (-14;-5)

Выделение целой части Найти все целочисленные решения уравнения: 2x²-2xy+9x+y = 2 Решение. Выразим у через х и выделим целую часть: 2xy-y = 2x² +9x — 2 y (2x-1)=2x² + 9x- 2 Т.к. у должно быть целым числом, то дробь также целое, а это значит что число 3 делится на (2х-1). Получаем: если 2x — 1=1, то x = 1, y = 9 если 2x — 1=-1, то x = 0, y = 2 если 2x — 1= 3, то x=2, y = 8 если 2x — 1 = -3, то x = -1, y = 3 Ответ: (1;9), (0;2), (2;8), (-1;3)

Использование дискриминанта (неотрицательность) Решите уравнение 3(x² + xy + y² ) = x + 8y в целых числах. Решение. Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х: 3x² + (3y −1)x + 3y² −8y = 0. Найдем дискриминант уравнения D = −27y² + 90y +1. Данное уравнение имеет корни, если D ≥ 0, т.е. − 27y² + 90y +1≥ 0. Так как y Z, то получаем 0 ≤ y ≤ 3. Перебирая эти значения, получим, что исходное уравнение в целых числах имеет решения (0;0) и (1;1). Ответ: (0;0); (1;1).

Использование дискриминанта (полный квадрат) Решите уравнение x² − xy + y² = x + y в целых числах. Решение. Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х: x² − ( y +1)x + y² − y = 0. Его дискриминант D = −3y² + 6y +1 = t² должен быть квадратом некоторого целого числа t. Получаем новое уравнение 3y² − 6y −1+ t² = 0; 3( y −1)² + t² = 4. Из последнего уравнения следует, что t² ≤ 4, т.е.|t| ≤ 2. 1) Если t ² = 0, то уравнение 3(y −1)² = 4 не имеет целого решения у.

2) Если t ² =1, то уравнение 3(y −1)² = 3 имеет целые решения При y = 2 получаем квадратное уравнение x² − 3x + 2 = 0 с корнями x = 1 или x = 2 . При y = 0 получаем квадратное уравнение x² − x = 0 с корнями x = 0 или x =1. 3) Если t ² = 4, то уравнение 3( y −1)² = 0 имеет одно целое решение y =1. При y =1 получаем квадратное уравнение x² − 2x = 0 с корнями x = 0 или x = 2 . Ответ: (1;2); (2;2); (0;0); (1;0), (0;1); (2;1)

Приведение к сумме неотрицательных выражений Решить уравнение в целых числах : x²+6xy+13y² = 40. Решение. Преобразуем левую часть уравнения, выделив полный квадрат относительно переменной х: x²+6xy+9y²+4y² = 40; (x+3y)²+4y² = 40. Откуда получаем что(2y)² ≤ 40 ,т.е. |y| ≤ 3 Перебирая значения у, получим системы: Ответ: (1; 3), (1;-9), (-1; 9), (-1; -3)

Метод «спуска» ● Решите уравнение 2x² − 5y² = 7 в целых числах. Решение. Так как 2x² — четное число, а 7 — нечетное, то 5y² должно быть нечетным, т.е. у –нечетное. Пусть y = 2z +1, z Z , тогда данное уравнение можно переписать в виде x² −10z² −10z = 6. Отсюда видно, что х должно быть четным. Пусть x = 2m, тогда последнее уравнение примет вид 2m² − 5z(z +1) = 3, что невозможно, так как число z(z +1) — четно, а разность двух четных чисел не может быть равна нечетному числу. Таким образом, данное уравнение не имеет решений в целых числах. Ответ: нет решений

Решение уравнений в целых числах

Подготовка к профильной части ЕГЭ по математике

Просмотр содержимого документа
«Решение уравнений в целых числах»

Решение уравнений в целых числах.

Г.Дзержинск Нижегородской области.

Линейное уравнение ax+by=c

— Если НОД(a,b)=1, то уравнение имеет хотя бы одно решение:

где (x 0 ,y 0 ) — некоторое частное целочисленное

решение для t ∊Z

— Если НОД(a,b) ≠ 1, то уравнение не имеет целочисленных решений.

Пример1 : Решить в целых числах уравнение:

НОД(7 ; 9)=1, целочисленное решение (2;2), значит

Ответ: x=2+9t, y=2-7t, t ∊Z .

Пример2 : Решить в целых числах уравнение:

НОД(3 ; 4)=1, целочисленное решение (3;2), значит

Ответ: x=3-4t, y=2-3t, t ∊Z .

Замечание 1. Если ( x 0, y 0 )- целочисленное решение уравнения ax+by=1, то (cx 0 ,cy 0 ) — целочисленное решение уравнения ax+by=c.

Пример3 : Решить в целых числах уравнение:

Найдём целочисленное решение уравнения

НОД(3 ; 5)=1, целочисленное решение (2;1), значит частным

решением уравнения 3x-5y=11 является пара (22;11), т.е.

x=22-5t, y=11-3t, t ∊Z

Ответ: x=22-5t, y=11-3t, t ∊Z

Замечание 2. Если трудно подобрать частное решение, то можно применить алгоритм Евклида.

Пример 4 : Решить в целых числах уравнение:

НОД(23 ; 79)=1, значит существует целочисленное решение.

1=10-3 ⋅ 3=10-3 ⋅( 23-10 ⋅ 2)=-3 ⋅ 23+10 ⋅ 7=-3 ⋅ 23+7 ⋅( 79-23 ⋅ 3)=

-23 ⋅ 24 + 79 ⋅ 7=1, значит частным решением данного уравнения является пара чисел (24;7), т.е. решение

x=24+79t, y=7+23t, t ∊Z .

Ответ: x=24+79t, y=7+23t ,t ∊Z .

Метод разложения на множители. Пример 5 : Решить в целых числах уравнение: x+xy-3y=5 x-3+y(x-3)=5-3 (x-3)(y+1)=2 = = = Ответ:(1;-2),(2;-3),(4;1),(5;0). » width=»640″

Метод разложения на множители.

Пример 5 : Решить в целых числах уравнение:

0 = Ответ: (5;6),(-6;-5),(-3;4),(-4;3). » width=»640″

Пример 6 : Решить в целых числах уравнение:

= 91 ,91=7 ⋅ 13=1 ⋅ 91

Пример 7 : Решить в целых числах уравнение:

Рассмотрим остатки от деления на 4 чисел вида .

1) Если х и у чётные, то делится на 4.

2) Если одно из чисел чётное, а второе — нечётное, то остаток от деления на 4 выражения равен 1, т.к.

3) Если оба числа нечётные, то остаток от деления

Рассмотрим правую часть данного уравнения

4z-1=4z-4+3=4(z-1)+3 , т.е. при делении на 4 правая часть

имеет остаток 3.

Т. к. левая часть и правая часть имеют разные остатки , то

Ни при каких х , у , z уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

— Этот метод часто используется для доказательства того, что уравнение не имеет решений в целых числах.

Пример 8 : Решить в целых числах уравнение: