Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)
Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5
Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin
Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)
Список математических функций и констант :
• ln(x) — натуральный логарифм
• sh(x) — гиперболический синус
• ch(x) — гиперболический косинус
• th(x) — гиперболический тангенс
• cth(x) — гиперболический котангенс
• sch(x) — гиперболический секанс
• csch(x) — гиперболический косеканс
• arsh(x) — обратный гиперболический синус
• arch(x) — обратный гиперболический косинус
• arth(x) — обратный гиперболический тангенс
• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс
• arsch(x) — обратный гиперболический секанс
• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс
Дифференциальные уравнения высших порядков: ЛОДУ, примеры решения.
Можно выделить 5 возможных метода для определения y0 — общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами:
1. В случае, когда все решения характеристического уравнения являются действительными и различными, значит, линейно независимые частные решения принимают вид:
,
а общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами записывают так:
.
Найти общее решение ЛОДУ 3-го порядка с постоянными коэффициентами:
.
Для начала записываем характеристическое уравнение и находим его корни, перед этим произведя разложение многочлена в левой части равенства на множители методом группировки:
Каждый из трех корней характеристического уравнения являются действительными и различными, значит, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 3-го порядка с постоянными коэффициентами принимает вид:
.
2. Когда каждое решение характеристического уравнения оказывается действительными и одинаковыми, т.е.,
,
значит, линейно независимые частные решения ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами принимают вид:
,
а общее решение линейного однородного дифференциального уравнения (ДУ) принимает вид:
Найти общее решение ДУ
.
Характеристическое уравнение этого линейного однородного дифференциального уравнения 4-го порядка выглядит так:
.
Обратившись к формуле бинома Ньютона, переписываем характеристическое уравнение как , из чего видим четырехкратный корень k0 = 2.
Т.о., общим решением заданного ЛОДУ с постоянными коэффициентами является:
.
3. Когда решениями характеристического уравнения ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами оказываются разные комплексно сопряженные пары , n=2m, тогда линейно независимые частные решения такого линейного однородного дифференциального уравнения принимает вид:
а общее решение записывается так:
Проинтегрировать ЛОДУ 4-го порядка с постоянными коэффициентами .
Характеристическое уравнение этого линейного однородного дифференциального уравнения:
.
Произведя некоторые несложные преобразования и группирования имеем:
Откуда находим 2 пары комплексно сопряженных корней характеристического уравнения и . Тогда, общим решением заданного ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами является:
4. Когда решениями характеристического уравнения оказываются совпадающие комплексно сопряженные пары , тогда линейно независимые частные решения ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами выглядят так:
,
а общим решением этого линейного однородного дифференциального уравнения является:
Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
.
Первым шагом записываем характеристическое уравнение этого ЛОДУ с постоянными коэффициентами и определяем его корни:
Т.е., решением характеристического уравнения является двукратная комплексно сопряженная пара . Тогда общее решение заданного ЛОДУ с постоянными коэффициентами будет:
.
5. Могут возникнуть любые комбинации случаев, описанных выше, т.е., некоторые корни характеристического уравнения ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами являются действительными и различными, некоторые являются действительными и совпадающими, некоторые являются различными комплексно сопряженными парами и некоторые совпадающими комплексно сопряженными парами.
Найти общее решение ДУ
.
Характеристическое уравнение этого ЛОДУ с постоянными коэффициентами выглядит так:
.
Многочлен в левой части равенства можно разложить на множители. Из делителей свободного члена вычисляем двукратный корень k1=k2=2 и корень k3=-3. Далее, применяя схему Горнера, приходим к разложению:
.
Из квадратного уравнения находим оставшиеся корни .
Т.о., общее решение заданного ЛОДУ с постоянными коэффициентами выглядит как:
.
Решить дифференциальное уравнение 3 порядка
Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!