Решить дифференциальное уравнение с комплексными числами
. Вы вводите его по ссылке решение уравнений онлайн , указываете, что i — это комплексная единица (после того как ввели уравнение и нажали кнопку «решить»), нажимаете кнопку под формой «Обновить» и получаете ответ как здесь. Если в ответе присутствуют корни из комплексных чисел, то можно воспользоваться калькулятором по упрощению комлексных чисел по ссылке
© Контрольная работа РУ — примеры решения задач
Математический портал
Nav view search
Navigation
Search
- Вы здесь:
- Home
- Дифференциальные уравнения
- Высшая математика.
- Комплексные числа
Комплексные числа
Действия над комплексными числами.
Комплексные числа — числа вида $x+iy,$ где $x,y\in \mathbb
$\,i,$ такое число, что $ i^2=-1.$ Множество комплексных чисел
обозначается $\mathbb
Действия над комплексными числами.
Сложение комплексных чисел:
Умножение двух комплексных чисел:
Умножение комплексного числа на действительное:
$$\lambda(x+iy)=\lambda x+i\lambda y.$$
Деление комплексных чисел:
Действительные числа $x$ и $y$ комплексного числа $z=x+iy,$ называются действительной и мнимой частью числа $z$ и обозначаются, соответственно, $Re z=x$ и $Im z=y.$
Два комплексных числа $z_1=x_1+iy_1$ и $z_2=x_2+iy_2$ называются равными в том и только том случае, если $x_1=x_2,$ $y_1=y_2.$
Запись $z=x+iy$ называют алгебраической формой комплексного числа $z.$
Числа $z_1=x+iy$ и $z_2=x-iy$ называют сопряженными.
Примеры:
Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой форме:
1.421. $(2+3i)(3-i).$
Решение:
Ответ: $9+7i.$
1.424. $(2i-i^2)^2+(1-3i)^3.$
Решение.
Ответ: $24+22i.$
Решение.
Ответ: $\frac<1><2>-\frac<3><2>i.$
Решение.
Ответ: $\frac<14><5>i.$
Найти действительные решения следующего уравнения:
1. 430. $(1+i)x+(-2+5i)y=-4+17i.$
Решение.
Ответ: $x=2; y=3.$
Домашнее задание.
Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой форме:
1.422. $(1+2i)^2.$
Ответ: $-3+4i.$
1.423. $(1-i)^3-(1+i)^3.$
1.427. $\left(\frac<1-i><1+i>\right)^3.$
Найти действительные решения следующего уравнения:
1.431. $12((2x+i)(1+i)+(x+y)(3-2i))=17+6i.$
Решить следующие системы линейных уравнений:
1.432. $(3-i)z_1+(4+2i)z_2=1+3i;$
$(4+2i)z_1-(2+3i)z_2=7.$
1.433. $(2+i)z_1+(2-i)z_2=6;$
$(3+2i)z_1+(3-2i)z_2=8.$
Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
Множество действительных чисел можно рассматривать как подмножество комплексных чисел, у которых $Im z = 0.$
Можно также изображать комплексное число в виде радиус-вектора $\
Длина этого вектора называется модулем комплексного числа $$|z|=r=\sqrt
Значение аргумента, который принадлежит интервалу $(-\pi, \pi],$ называется главным значением аргумента и определяется $arg z.$ Главное значение аргументу числа $x+iy$ можно вычислять по формуле $\varphi= arg z=arctg\left(\frac
Формулы Эйлера и Муавра. Корень n-й степени с комплексного числа.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Формулы Эйлера:
Формула Муавра:
Если $z=re^, $ то $$z^n=r^ne^
$$z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi).$$
Пусть $a=re^, \,\, a\neq 0,-$ фиксированное комплексное число. Тогда уравнение $z^n=a,\,\,\, n\in N,$ имеет в точности $n$ различных решений $z_0, z_1, . z_
Примеры:
1.483. Доказать формулу Эйлера $\cos\varphi=\frac
Решение.
Известно, что $e^=\cos<\varphi>+i\sin\varphi.$ Соответственно, $e^<-i\varphi>=\cos<(-\varphi)>+i\sin(-\varphi)=\cos\varphi-i\sin\varphi.$
Отсюда находим $e^+e^<-i\varphi>=\cos\varphi+i\sin\varphi+\cos\varphi-i\sin\varphi=2\cos\varphi.$
Cледовательно, $\cos\varphi=\frac
Используя формулу Муавра, вычислить следующие выражения:
1.485. $(1+i)^<10>.$
Решение.
Запишем число $z=1+i$ в показательной форме:
Поскольку число $z$ находится в первой четверти, то
Таким образом, мы можем записать число $z=1+i$ в показательной форме: $z=\sqrt 2 e^<4>>.$
Теперь, используя формулу Муавра можно найти $z^<10>:$
Ответ: $(1+i)^<10>=32i.$
1.491. Используя формулу Муавра, выразить через $\cos\varphi$ и $\sin\varphi$ функцию$\cos 3\varphi.$
Решение.
$$+\left.\cos^3(-\varphi)-3i\cos^2(-\varphi)\sin(-\varphi)+3i^2\cos(-\varphi)\sin^2(-\varphi)-i^3\sin^3(-\varphi)\right)=$$ $$=\frac<1><2>\left(\cos^3<\varphi>+3i(1-\sin^2\varphi)\sin\varphi-3\cos\varphi(1-\cos^2\varphi)\right.-i\sin^3\varphi+$$ $$+\left.\cos^3\varphi+3i(1-\sin^2\varphi)\sin\varphi-3\cos\varphi(1-\cos^2\varphi)-i\sin^3\varphi\right)=$$ $$=\cos^3\varphi+3i\sin\varphi-3i\sin^3\varphi-3\cos\varphi+3\cos^3\varphi-i\sin^3\varphi=$$ $$=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi+3i\sin\varphi-4i\sin^3\varphi.$$
Ответ: $4\cos^3\varphi-3\cos\varphi+3i\sin\varphi-4i\sin^3\varphi.$
1.495. Найти и изобразить на комплексной плоскости все корни 2-й, 3-й и 4-й степени из единицы.
Решение.
Запишем число 1 в показательной форме:
$1=1e^<0i>.$ То есть $r=1, \varphi=0.$
Далее, пользуясь формулой Муавра вычисляем корень второй степени из единицы:
Вычисляем корень третьей степени из единицы:
Вычисляем корень четвертой степени из единицы:
Ответ: Корни второй степени: $z_0=1;\,\, z_1 =-1.$ Корни третьей сепени: $z_0=1;\,\, z_1=-\frac<1><2>+i\frac<\sqrt 3><2>;\,\, z_2=-\frac<1><2>-i\frac<\sqrt 3><2>.$ Корни четвертой степени: $z_0=1;\,\, z_1=i;\,\, z_2=-1;\,\, z_3=-i.$
Найти все значения корней:
Решение.
Запишем число $z=-1+i\sqrt 3$ в показательной форме:
Поскольку число $z$ находится во второй четверти, то
Таким образом, мы можем записать число $z=-1+i\sqrt 3$ в показательной форме: $z=2 e^<3>>.$
Пользуясь формулой Муавра вычисляем корень второй степени из единицы:
Ответ: $\pm\frac<\sqrt 2><2>(1+i\sqrt 3)$
1.501. $\sqrt [5]<-1-i>.$
Решение.
Запишем число $z=-1-i 3$ в показательной форме:
Поскольку число $z$ находится в третьей четверти, то
Таким образом, мы можем записать число $z=-1-i$ в показательной форме: $z=\sqrt 2 e^<4>>.$
Пользуясь формулой Муавра вычисляем корень второй степени из единицы:
1.483. Доказать формулу Эйлера $\sin\varphi=\frac
Используя формулу Муавра, вычислить следующие выражения:
Используя формулу Муавра, выразить через $\cos\varphi$ и $\sin\varphi$ следующие функции:
Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)
Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5
Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin
Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)
Список математических функций и констант :
• ln(x) — натуральный логарифм
• sh(x) — гиперболический синус
• ch(x) — гиперболический косинус
• th(x) — гиперболический тангенс
• cth(x) — гиперболический котангенс
• sch(x) — гиперболический секанс
• csch(x) — гиперболический косеканс
• arsh(x) — обратный гиперболический синус
• arch(x) — обратный гиперболический косинус
• arth(x) — обратный гиперболический тангенс
• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс
• arsch(x) — обратный гиперболический секанс
• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс
http://mathportal.net/index.php/differentsialnye-uravneniya/86-visshaya-matematika/kompleksnye-chisla
http://mathdf.com/dif/ru/