Решить дифференциальное уравнение в симулинке

Решить дифференциальное уравнение в симулинке

Дифференциальные уравнения и системы уравнений

Необходимо решить уравнение:

Попробуем решить его с помощью программы Simulink пакета MATLAB.

Метод решения дифференциальных уравнений отличается от традиционного. Нам необходимо создать схему уравнения. Необходимо будет создать обратную связь между выходными значениями интегратора и новым значением переменной. У нашего уравнения линейно изменяется x от 0 до 20. Поэтому для решения уравнения необходимо использовать блок Ramp . В конце обязательно должен быть интегрирующий блок, а из него результат выходит на осциллограф.

Решение уравнения выглядит так:

Результатом будет график x от y :

Рассмотрим из каких библиотек взяты использованные блоки.

Ramp – из Sources. Формирует линейный сигнал . В параметрах необходимо задать 1.

Add – Math Operations. В параметрах выбираем необходимые нам операции.

Gain – Math Operations . Коэффициент усиления сигнала. В параметрах ставим значение 3/2.

Sine Wave Function – Sources. Т.к. нам необходим косинус, то в параметрах Phase ставим pi/2.

Integrator – Continuous . Выполняет интегрирование входного сигнала.

Scope – Sinks . Выводим результат – график сигнала в функции времени.

Дифференциальные уравнения 2-го порядка.

Дана система уравнений:

Решим ее с помощью программы Simulink пакета MATLAB.

Решаем аналогично предыдущему случаю.

В данной системе уравнений линейно изменяется x от 1 до 10. Также необходимо сделать обратную связь между выходными значениями интеграторов и новым значение переменной x . Обязательно надо в интеграторах задать начальные значения y₁(0) = 0.1; y₂(0) = 0.5.

Результатом будут два графика:

Рассмотрим из каких библиотек взяты использованные блоки.

Ramp – из Sources . Формирует линейный сигнал. В параметрах необходимо задать все значения 1.

Integrator – Continuous . Выполняет интегрирование входного сигнала. Необходимо задать начальные значения Initial condition для y ₁ 0.1, для y ₂ 0.5.

Add – Math Operations . В параметрах выбираем необходимые нам операции.

Divide — Math Operations . Деление первой входной величины на вторую.

Dot Product — Math Operations. Перемножение .

Scope – Sinks. Выводим результат – график сигнала в функции времени.

Решение дифференциального уравнения различными методами, доступными SIMULINK

Страницы работы

Содержание работы

Файл Модели\САМРаботы02\САМ06а.doc 5 стр. 200 Кбайт

1. Решение дифференциального уравнения различными методами, доступными SIMULINK.

Пусть, к примеру, требуется решить линейное дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью

. (П7.01)

При использовании SIMULINK это уравнение можно решить несколькими способами.

Первый способ решения.

а) Разрабатывается блок-схема решения с использованием в качестве задатчиков коэффициентов уравнения модулей Gain раздела Linear. Начнем с того, что разрешим его относительно второй производной

(П7.02)

Полученное решение в модулях SIMULINK можно изобразить в виде

Рис. П7.1 Блок-схема решения с использованием в качестве задатчиков коэффициентов уравнения модулей Gain[1].

Для решения уравнения нами использованы 2 интегратора, 1 сумматор и 2 усилителя из раздела Linear библиотеки SIMULINK.

Вторая производная, согласно П7.02, должна получится путем вычитания из y₀ равного 6/12, производных, умноженных на соответствующие коэффициенты.

Вид и значение параметров решения можно наблюдать на экране блока Scope раздела Sinks [siŋks — получатели] «y(t)».

b) Блок-схема решения с использованием в качестве задатчиков коэффициентов уравнения блоков Constant раздела Sources библиотеки SIMULINK и организации решения правой части уравнения в виде подсистемы.

Решение левой части уравнения по-прежнему представим в виде цепочки двух интеграторов, соединенных последовательно.

Для решения правой части уравнения соберем из модулей SIMULINK блок-схему и преобразуем ее в подсистему.

Рис. П7.2. Блок-схема решения правой части уравнения.

Составим блок-схему решения уравнения с использованием подсистемы.

Рис. П7.3. Блок-схема решения с использованием в качестве задатчиков коэффициентов уравнения модулей Constant[2].

Второй способ решения.

Используя SIMULINK, можно представить другой способ решения этого уравнения. Решение можно получить, используя модуль Transfer Fcn [‘trænsfə: Fkn] (Передаточное звено). В качестве входного сигнала будем использовать блок Constant раздела Sources [so:s — источники]

Рис. П7.4. Решение уравнения с использованием типовых структурных схем[3].

Вид и значение параметров решения можно наблюдать на экране блока Scope раздела Sinks [siŋks — получатели] «Интеграл».

Третий способ решения.

SIMULINK может предложить еще один способ решения данного дифференциального уравнения. Воспользовавшись методами структурных преобразований, данное уравнение можно представить в виде структурной схемы, состоящей из типовых модулей.

Рис. П7.5. Решение уравнения с использованием структурных преобразований[4].

Проведем исследование дифференциального уравнения 2 порядка

(П8.01)

методами фазовой плоскости, используя возможности SIMULINK.

Начнем с того, что разрешим уравнение относительно старшей производной.

(П8.02)

Решение левой части уравнения представим в виде цепочки из двух интеграторов соответственно настроенных.

Для решения правой части уравнения создадим 2 подсистемы. Одну для формирования значений коэффициентов уравнения, разрешенного относительно старшей производной и вторую для решения собственно правой части уравнения.

Рис. П8.1 Блок-схема формирования коэффициентов уравнения.

Рис. П8.2. Решатель правой части уравнения.

Решение дифференциального уравнения с учетом созданных подсистем будет иметь вид

Рис. П8.3. Блок-схема решения дифференциального уравнения[5].

Исследование фазового портрета.

Для наблюдения за фазовыми траекториями включим в качестве смотрового окна в блок-схему решения уравнения рис. П7.3 дополнительно модуль XY Graph из раздела Sinks библиотеки SIMULINK.

Сущность метода фазовой плоскости заключается в построении фазовых траекторий по дифференциальным уравнениям в системе координат: ось x — значение исследуемой величины u, ось y – скорость ее изменения du/dt. Процесс изменения траектории представляет собой движение изображающей точки на фазовой плоскости. Начальные условия определяют первоначальное положение изображающей точки на фазовой плоскости. Совокупность фазовых траекторий в плоскости (x, y) носит название фазовый портрет. Подробнее с методами фазовой плоскости можно ознакомиться по «Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. Теория и элементы систем. Учебник для вузов. Изд. 4-е, перераб. и доп. М., «Машиностроение», 1978. Стр. 485-495».

Задачей нашего исследования является построение некоторых наиболее характерных фазовых портретов.

Рассмотрим следующие случаи характерные для уравнения 2 порядка:

[1] Программа расположена на файле «Мои документы\ПрогSIM\ПосГлава1\gla1_06 p7ris1»

[2] Программа расположена на файле «Мои документы\ПрогSIM\ПосГлава1\gla1_06 p7ris3»

[3] Программа расположена на файле «Мои документы\ПрогSIM\ПосГлава1\gla1_06 p7ris4»

[4] Программа расположена на файле «Мои документы\ПрогSIM\ПосГлава1\gla1_06 p7ris5»

[5] Программа расположена на файле «Мои документы\ПрогSIM\ПосГлава1\gla1_06 p8ris3»

Численное решение математических моделей объектов заданных системами дифференциальных уравнений

Введение:

При математическом моделировании ряда технических устройств используются системы дифференциальных нелинейных уравнений. Такие модели используются не только в технике, они находят применение в экономике, химии, биологии, медицине, управлении.

Исследование функционирования таких устройств требуют решения указанных систем уравнений. Поскольку основная часть таких уравнений являются нелинейными и нестационарными, часто невозможно получить их аналитическое решение.

Возникает необходимость использовать численные методы, наиболее известным из которых является метод Рунге — Кутты [1]. Что касается Python, то в публикациях по численным методам, например [2,3], данных по применение Рунге — Кутты крайне мало, а по его модификации — методу Рунге-Кутта-Фельберга вообще нет.

В настоящее время, благодаря простому интерфейсу, наибольшее распространение в Python имеет функцию odeint из модуля scipy.integrate. Вторая функция ode из этого модуля реализует несколько методов, в том числе и упомянутый пятиранговый метод Рунге-Кутта-Фельберга, но, вследствие универсальности, имеет ограниченное быстродействие.

Целью настоящей публикации является сравнительный анализ перечисленных средств численного решения систем дифференциальных уравнений с модифицированным автором под Python методом Рунге-Кутта-Фельберга. В публикации так же приведены решения по краевым задачам для систем дифференциальных уравнений (СДУ).

Краткие теоретические и фактические данные по рассматриваемым методам и программным средствам для численного решения СДУ

Для одного дифференциального уравнения n – го порядка, задача Коши состоит в нахождении функции, удовлетворяющей равенству:

и начальным условиям

Перед решением эта задача должна быть переписана в виде следующей СДУ

(1)

с начальными условиями

Модуль имеет две функции ode() и odeint(), предназначенные для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка с начальными условиями в одной точке (задача Коши). Функция ode() более универсальная, а функция odeint() (ODE integrator) имеет более простой интерфейс и хорошо решает большинство задач.

Функция odeint() имеет три обязательных аргумента и много опций. Она имеет следующий формат odeint(func, y0, t[,args=(), . ]) Аргумент func – это имя Python функции двух переменных, первой из которых является список y=[y1,y2. yn], а второй – имя независимой переменной.

Функция func должна возвращать список из n значений функций при заданном значении независимого аргумента t. Фактически функция func(y,t) реализует вычисление правых частей системы (1).

Второй аргумент y0 функции odeint() является массивом (или списком) начальных значений при t=t0.

Третий аргумент является массивом моментов времени, в которые вы хотите получить решение задачи. При этом первый элемент этого массива рассматривается как t0.

Функция odeint() возвращает массив размера len(t) x len(y0). Функция odeint() имеет много опций, управляющих ее работой. Опции rtol (относительная погрешность) и atol (абсолютная погрешность) определяют погрешность вычислений ei для каждого значения yi по формуле

Они могут быть векторами или скалярами. По умолчанию

Вторая функция модуля scipy.integrate, которая предназначена для решения дифференциальных уравнений и систем, называется ode(). Она создает объект ОДУ (тип scipy.integrate._ode.ode). Имея ссылку на такой объект, для решения дифференциальных уравнений следует использовать его методы. Аналогично функции odeint(), функция ode(func) предполагает приведение задачи к системе дифференциальных уравнений вида (1) и использовании ее функции правых частей.

Отличие только в том, что функция правых частей func(t,y) первым аргументом принимает независимую переменную, а вторым – список значений искомых функций. Например, следующая последовательность инструкций создает объект ODE, представляющий задачу Коши.

При построении численных алгоритмов будем считать, что решение этой дифференциальной задачи существует, оно единственно и обладает необходимыми свойствами гладкости.

При численном решении задачи Коши

(2)

(3)

по известному решению в точке t =0 необходимо найти из уравнения (3) решение при других t. При численном решении задачи (2),(3) будем использовать равномерную, для простоты, сетку по переменной t с шагом т > 0.

Приближенное решение задачи (2), (3) в точке обозначим . Метод сходится в точке если при . Метод имеет р-й порядок точности, если , р > 0 при . Простейшая разностная схема для приближенного решения задачи (2),(3) есть

(4)

При имеем явный метод и в этом случае разностная схема аппроксимирует уравнение (2) с первым порядком. Симметричная схема в (4) имеет второй порядок аппроксимации. Эта схема относится к классу неявных — для определения приближенного решения на новом слое необходимо решать нелинейную задачу.

Явные схемы второго и более высокого порядка аппроксимации удобно строить, ориентируясь на метод предиктор-корректор. На этапе предиктора (предсказания) используется явная схема

(5)

а на этапе корректора (уточнения) — схема

В одношаговых методах Рунге—Кутта идеи предиктора-корректора реализуются наиболее полно. Этот метод записывается в общем виде:

(6),

Формула (6) основана на s вычислениях функции f и называется s-стадийной. Если при имеем явный метод Рунге—Кутта. Если при j>1 и то определяется неявно из уравнения:

(7)

О таком методе Рунге—Кутта говорят как о диагонально-неявном. Параметры определяют вариант метода Рунге—Кутта. Используется следующее представление метода (таблица Бутчера)

Одним из наиболее распространенных является явный метод Рунге—Кутта четвертого порядка

(8)

Метод Рунге—Кутта— Фельберга

Привожу значение расчётных коэффициентов метода

(9)

С учётом(9) общее решение имеет вид:

(10)

Это решение обеспечивает пятый порядок точности, остаётся его адаптировать к Python.

Вычислительный эксперимент по определению абсолютной погрешности численного решения нелинейного дифференциального уравнения с использованием обеих функций def odein(),def oden() модуля scipy.integrate и адаптированного к Python методов Рунге—Кутта и Рунге—Кутта— Фельберга

Адаптированные к Python методы Рунге—Кутта и Рунге—Кутта— Фельберга имеют меньшую абсолютную, чем решение с применением функции odeint, но большую, чем с использованием функции edu. Необходимо провести исследование быстродействия.

Численный эксперимент по сравнению быстродействия численного решения СДУ при использовании функции ode с атрибутом dopri5 (метод Рунге – Кутты 5 порядка) и с использованием адаптированного к Python метода Рунге—Кутта— Фельберга

Сравнительный анализ проведём на примере модельной задачи, приведенной в [2]. Чтобы не повторять источник, приведу постановку и решение модельной задачи из [2].

Решим задачу Коши, описывающую движение тела, брошенного с начальной скоростью v0 под углом α к горизонту в предположении, что сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости. В векторной форме уравнение движения имеет вид

где – радиус вектор движущегося тела, – вектор скорости тела, – коэффициент сопротивления, вектор силы веса тела массы m, g – ускорение свободного падения.

Особенность этой задачи состоит в том, что движение заканчивается в заранее неизвестный момент времени, когда тело падает на землю. Если обозначить , то в координатной форме мы имеем систему уравнений:

К системе следует добавить начальные условия: (h начальная высота), . Положим . Тогда соответствующая система ОДУ 1 – го порядка примет вид:

Для модельной задачи положим . Опуская довольно обширное описание программы, приведу только листинг из комментариев к которому, думаю, будет ясен принцип её работы. В программу добавлен отсчёт времени работы для сравнительного анализа.

Flight time = 1.2316 Distance = 5.9829 Height =1.8542
Flight time = 1.1016 Distance = 4.3830 Height =1.5088
Flight time = 1.0197 Distance = 3.5265 Height =1.2912
Flight time = 0.9068 Distance = 2.5842 Height =1.0240
Время на модельную задачу: 0.454787

Для реализации средствами Python численного решения СДУ без использования специальных модулей, мною была предложена и исследована следующая функция:

def increment(f, t, y, tau
k1=tau*f(t,y)
k2=tau*f(t+(1/4)*tau,y+(1/4)*k1)
k3 =tau *f(t+(3/8)*tau,y+(3/32)*k1+(9/32)*k2)
k4=tau*f(t+(12/13)*tau,y+(1932/2197)*k1-(7200/2197)*k2+(7296/2197)*k3)
k5=tau*f(t+tau,y+(439/216)*k1-8*k2+(3680/513)*k3 -(845/4104)*k4)
k6=tau*f(t+(1/2)*tau,y-(8/27)*k1+2*k2-(3544/2565)*k3 +(1859/4104)*k4-(11/40)*k5)
return (16/135)*k1+(6656/12825)*k3+(28561/56430)*k4-(9/50)*k5+(2/55)*k6

Функция increment(f, t, y, tau) обеспечивает пятый порядок численного метода решения. Остальные особенности программы можно посмотреть в следующем листинге:

Время на модельную задачу: 0.259927

Предложенная программная реализация модельной задачи без использования специальных модулей имеет почти в двое большее быстродействие, чем с функцией ode, однако нельзя забывать, что ode имеет более высокую точность численного решения и возможности выбора метода решения.

Решение краевой задачи с поточно разделёнными краевыми условиями

Приведем пример некоторой конкретной краевой задачи с поточно разделенными краевыми условиями:

(11)

Для решения задачи (11) используем следующий алгоритм:

1. Решаем первые три неоднородные уравнения системы (11) с начальными условиями

Введем обозначение для решения задачи Коши:

2. Решаем первые три однородные уравнения системы (11) с начальными условиями

Введем обозначение для решения задачи Коши:

3. Решаем первые три однородные уравнения системы (11) с начальными условиями

Введем обозначение для решения задачи Коши:

4. Общее решение краевой задачи (11) при помощи решений задач Коши записывается в виде линейной комбинации решений:

где p2, p3 — некоторые неизвестные параметры.

5. Для определения параметров p2, p3, используем краевые условия последних двух уравнений (11), то есть условия при x = b. Подставляя, получим систему линейных уравнений относительно неизвестных p2, p3:
(12)
Решая (12), получим соотношения для p2, p3.

По приведенному алгоритму с применением метода Рунге—Кутта—Фельберга получим следующую программу:

y0[0]= 0.0
y1[0]= 1.0
y2[0]= 0.7156448588231397
y3[0]= 1.324566562303714
y0[N-1]= 0.9900000000000007
y1[N-1]= 0.1747719838716767
y2[N-1]= 0.8
y3[N-1]= 0.5000000000000001
Время на модельную задачу: 0.070878

Вывод

Разработанная мною программа отличается от приведенной в [3] меньшей погрешностью, что подтверждает приведенный в начале статьи сравнительный анализ функции odeint с реализованным на Python метода Рунге—Кутта—Фельберга.

3. Н.М. Полякова, Е.В. Ширяева Python 3. Создание графического интерфейса пользователя (на примере решения методом пристрелки краевой задачи для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений). Ростов-на-Дону 2017.