Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид
где p и q — действительные числа. Рассмотрим на примерах, как решаются однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решение линейного однородного однородного дифференциального уравнения второго порядка зависит от корней характеристического уравнения. Характеристическое уравнение — это уравнение k²+pk+q=0.
1) Если корни характеристического уравнения — различные действительные числа:
то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
2) Если корни характеристического уравнения — равные действительные числа
(например, при дискриминанте, равном нулю), то общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка есть
3) Если корни характеристического уравнения — комплексные числа
(например, при дискриминанте, равном отрицательному числу), то общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка записывается в виде
Примеры решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
Найти общие решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка:
Составляем характеристическое уравнение: k²-7k+12=0. Его дискриминант D=b²-4ac=1>0, поэтому корни — различные действительные числа.
Отсюда, общее решение этого однородного ДУ 2-го порядка есть
Составим и решим характеристическое уравнение:
Корни действительные и различные. Отсюда имеем общее решение данного однородного дифференциального уравнения:
В этом случае характеристическое уравнение
Корни различны и действительны. Поэтому общее решение однородного дифференциального уравнения 2-го порядка здесь
Поскольку корни действительны и равны, для этого дифференциального уравнения общее решение записываем как
Характеристическое уравнение здесь
Так как дискриминант — отрицательное число, корни характеристического уравнения — комплексные числа.
Общее решение этого однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид
Отсюда находим общее решение данного диф. уравнения:
Примеры для самопроверки.
Найти общее решение однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:
Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)
Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5
Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin
Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)
Список математических функций и констант :
• ln(x) — натуральный логарифм
• sh(x) — гиперболический синус
• ch(x) — гиперболический косинус
• th(x) — гиперболический тангенс
• cth(x) — гиперболический котангенс
• sch(x) — гиперболический секанс
• csch(x) — гиперболический косеканс
• arsh(x) — обратный гиперболический синус
• arch(x) — обратный гиперболический косинус
• arth(x) — обратный гиперболический тангенс
• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс
• arsch(x) — обратный гиперболический секанс
• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Основные понятия о линейных дифференциальных уравнениях второго порядка и их решениях
Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
где y — функция, которую требуется найти, а p(x) , q(x) и f(x) — непрерывные функции на некотором интервале (a, b) .
Если правая часть уравнения равна нулю ( f(x) = 0 ), то уравнение называется линейным однородным уравнением. Таким уравнениям и будет в основном посвящена практическая часть этого урока. Если же правая часть уравнения не равна нулю ( f(x) ≠ 0 ), то уравнение называется линейным неоднородным уравнением (смотрите отдельный урок).
В задачах от нас требуется разрешить уравнение относительно y» :
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка имеют единственное решение задачи Коши.
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка и его решение
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:
Если y 1 (x) и y 2 (x) — частные решения этого уравнения, то верны следующие высказывания:
1) y 1 (x) + y 2 (x) — также является решением этого уравнения;
2) Cy 1 (x) , где C — произвольная постоянная (константа), также является решением этого уравнения.
Из этих двух высказываний следует, что функция
также является решением этого уравнения.
Возникает справедливый вопрос: не является ли это решение общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, то есть таким решением, в котором при различных значениях C 1 и C 2 можно получить все возможные решения уравнения?
Ответ на этот вопрос следуюший: может, но при некотором условии. Это условие о том, какими свойствами должны обладать частные решения y 1 (x) и y 2 (x) .
И это условие называется условием линейной независимости частных решений.
Теорема. Функция C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) является общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если функции y 1 (x) и y 2 (x) линейно независимы.
Определение. Функции y 1 (x) и y 2 (x) называются линейно независимыми, если их отношение является константой, отличной от нуля:
Однако установить по определению, являются ли эти функции линейно независимыми, часто очень трудоёмко. Существует способ установления линейной независимости с помощью определителя Вронского W(x) :
.
Если определитель Вронского не равен нулю, то решения — линейно независимые. Если определитель Вронского равен нулю, то решения — линейно зависимымые.
Пример 1. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения .
Решение. Интегрируем дважды и, как легко заметить, чтобы разность второй производной функции и самой функции была равна нулю, решения должны быть связаны с экспонентой, производная которой равна ей самой. То есть частными решениями являются и .
Так как определитель Вронского
не равен нулю, то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение данного уравнения можно записать в виде
.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: теория и практика
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
где p и q — постоянные величины.
На то, что это уравнение второго порядка, указывает наличие второй производной от искомой функции, а на его однородность — нуль в правой части. Постоянными коэффициентами называются уже упомянутые выше величины.
Чтобы решить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, нужно сначала решить так называемое характеристическое уравнение вида
которое, как видно, является обычным квадратным уравнением.
В зависимости от решения характеристического уравнения возможны три различных варианта решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, которые сейчас разберём. Для полной определённости будем считать, что все частные решения прошли проверку определителем Вронского и он во всех случаях не равен нулю. Сомневающиеся, впрочем, могут проверить это самостоятельно.
Корни характеристического уравнения — действительные и различные
Иными словами, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
.
Пример 2. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , его корни и — вещественные и различные. Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид
.
Пример 3. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , его корни и — вещественные и различные. Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид
.
Корни характеристического уравения — вещественные и равные
То есть, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
.
Пример 4. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид
Пример 5. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид
.
Корни характеристического уравнения — комплексные
То есть, , , . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
.
Пример 6. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет комплексные корни и . Соответственно и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид
.
Пример 7. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет комплексные корни и . Соответственно и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид
.
Решить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 8. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Пример 9. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
http://mathdf.com/dif/ru/
http://function-x.ru/differential_equations7.html