Математика
63. Два уравнения с тремя неизвестными . Пусть имеем уравнения:
3x + 4y – 2z = 11
5x + 4y + 2z = 19,
которые надо решить совместно. Мы умеем решать совместно 2 уравнения с двумя неизвестными, почему прежде всего приходит мысль, что здесь одно неизвестное является лишним и что его, вероятно, можно заменить любым числом. И действительно. Если дадим x произвольное значение, например, возьмем x = 7, то получим
21 + 4y – 2z = 11
35 + 4y + 2z = 19,
т. е. 2 уравнения с двумя неизвестными, которые мы умеем решить.
Упростив эти уравнения, получим:
4y – 2z = –10
4y + 2z = –16.
Сложив из по частям, получим:
Вычитая из 2-го первое, получим:
Взяв x = 0, получим:
4y – 2z = 11
4y + 2z = 19.
Решив (так же, как и выше) эти уравнения, получим:
Так же для x = 1, получим y = 2 ¾; z = 1 ½ и т. д.
Эти решения можно записать в таблице, причем, как видим, здесь одно неизвестное (у нас x) является независимым переменным, а два других являются зависимыми переменными.
Вот эта таблица:
два уравнения с тремя неизвестными имеют бесконечно много решений, причем для получения их надо одному из неизвестных давать произвольные значения .
Чтобы удобнее получать эти решения, можно заранее из данных уравнений определить зависимые переменные через независимое.
Для этой цели перенесем члены 3x и 5x, имеющиеся в наших уравнениях, в правую часть (эти члены, ведь, приходится считать известными), — получим:
4y – 2z = 11 – 3x
4y + 2z = 19 – 5x.
Сложив эти уравнения по частям, получим:
8y = 30 – 8x и y = (30 – 8x) / 8 = (15 – 4x) / 4.
Вычитая по частям из 2-го уравнения первое, получим:
4z = 8 – 2x и z = (8 – 2x) / 4 = (4 – x) / 2.
Теперь, взяв для x какое-нибудь значение, например, x = 2, легко в уме найдем: y = 1 ¾ и z = 1.
Вот еще пример. Пусть даны уравнения:
2x + y – z = 7
3x + 2y + 4z = 11.
Определим из них x и y через z. Для этого сначала перенесем члены с z в правую часть уравнения:
2x + y = 7 + z и 3x + 2y = 11 – 4z (1).
Обе части первого уравнения умножим на 2:
4x + 2y = 14 + 2z
3x + 2y = 11 – 4z.
Вычтем по частям из 1-го уравнения второе:
Таким образом мы определили x через z. Затем умножим обе части 1-го уравнения из системы (1) на 3 и обе части 2-го на 2 (чтобы уравнять коэффициенты при x). Получим:
6x + 3y = 21 + 3z
6x + 4y = 22 – 8z.
Вычитая по частям из 2-го уравнения первое, получим:
Таким образом определили y через z.
Пользуясь равенствами (2) и (3), легко найти сколько угодно решений данных двух уравнений, причем надо неизвестному z давать произвольные значения. Вот несколько решений:
Система линейных уравнений с тремя переменными
Линейное уравнение с тремя переменными и его решение
Уравнение вида ax+by+cz = d , где a, b, c, d — данные числа, называется линейным уравнением с тремя переменными x, y и z.
Например: $2x+5y+z = 8; -x+1, 5y+2z = 0; \frac<1> <2>x-8y-5z = 7$
Уравнение с тремя переменными может быть не только линейным, т.е. содержать не только первые степени переменных x,y и z.
Например: $2x^2+xz+y^2+yz^2 = 3,x-5y^2+z^3 = 1, 7x^3+y+xyz = 7$
Решением уравнения с тремя переменными называется упорядоченная тройка значений переменных (x,y,z), обращающая это уравнение в тождество.
О тождествах – см. §3 данного справочника
Например: для уравнения 2x+5y+z=8 решениями являются тройки x = -2, y = 1, z = 7; x = -1, y = 1, 6 , z = 2; x = -3, y = 2, 4, z = 2 и т.д. Уравнение имеет бесконечное множество решений.
Геометрическим представлением линейного уравнения с тремя переменными является плоскость в трёхмерном координатном пространстве .
Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом подстановки
Алгоритм метода подстановки для системы уравнений с тремя переменными аналогичен алгоритму для двух переменных (см.§45 данного справочника)
Например: решить систему
$$ <\left\< \begin
$$ \Rightarrow <\left\< \begin
$$ \Rightarrow <\left\< \begin
Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом Крамера
Для системы с 3-мя переменными действуем по аналогии.
Дана система 3-х линейных уравнений с 3-мя переменными:
$$ <\left\< \begin
Определим главный определитель системы:
$$ \Delta = \begin
и вспомогательные определители :
$$ \Delta_x = \begin
Тогда решение системы:
Соотношение значений определителей, расположения плоскостей и количества решений:
Три плоскости пересекаются в одной точке
Три плоскости параллельны
Две или три плоскости совпадают или пересекаются по прямой
Бесконечное множество решений
Осталось определить правило вычисления определителя 3-го порядка.
Таких правил несколько, приведём одно из них (так называемое «раскрытие определителя по первой строке»):
$$ \Delta = \begin
$$ = a_1 (b_2 c_3-b_3 c_2 )-b_1 (a_2 c_3-a_3 c_2 )+c_1 (a_2 b_3-a_3 b_2 )$$
Примеры
Пример 1. Найдите решение системы уравнений методом подстановки:
$$<\left\< \begin
$$\Rightarrow <\left\< \begin
$$ <\left\< \begin
$$ \Rightarrow <\left\< \begin
Пример 2. Найдите решение системы уравнений методом Крамера:
$$ \Delta = \begin
$$ \Delta_x = \begin
$$ \Delta_y = \begin
$$ \Delta_z = \begin
$$ \Delta = \begin
$$ \Delta_x = \begin
$$ = 6(25+2)—(-25-11)+3(10-55) = 162+36-135 = 63 $$
$$ \Delta_y = \begin
$$ \Delta_z = \begin
Пример 3*. Решите систему уравнений относительно x,y,и z:
$$ a \neq b, b \neq c, a \neq c $$
Решаем методом замены:
$$ <\left\< \begin
Т.к. $ a \neq b$ второе уравнение можно сократить на $(a-b) \neq 0$
Т.к.$ a \neq c$ третье уравнение можно сократить на $(a-с) \neq 0 $. В третьем уравнении после сокращения поменяем знаки:
Из второго уравнения получаем:
Т.к. $b \neq c$ можно сократить на $(b-c) \neq 0$:
$$ z = -(a^3+a^2 x+ay) = -a^3+a^2 (a+b+c)-a(ab+ac+bc) = $$
$$ = -a^3+a^3+a^2 b+a^2 c-a^2 b-a^2 c-abc = -abc $$
Как решать систему уравнений
О чем эта статья:
8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Основные понятия
Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.
Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.
Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.
Линейное уравнение с двумя переменными
Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.
Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.
Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.
Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:
Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.
Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.
Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).
Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Система двух линейных уравнений с двумя переменными
Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.
Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:
Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.
Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.
Можно записать систему иначе:
Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.
Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.
Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.
Метод подстановки
Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:
Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.
Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.
Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.
Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.
Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).
Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.
Пример 1
Решите систему уравнений:
x − y = 4
x + 2y = 10
Выразим x из первого уравнения:
x − y = 4
x = 4 + y
Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:
x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10
Решим второе уравнение относительно переменной y:
4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2
Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:
x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6
Ответ: (6; 2).
Пример 2
Решите систему линейных уравнений:
x + 5y = 7
3x = 4 + 2y
Сначала выразим переменную x из первого уравнения:
x + 5y = 7
x = 7 − 5y
Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:
3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y
Решим второе линейное уравнение в системе:
3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1
Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:
x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2
Ответ: (2; 1).
Пример 3
Решите систему линейных уравнений:
x − 2y = 3
5x + y = 4
Из первого уравнения выразим x:
x − 2y = 3
x = 3 + 2y
Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:
5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1
Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:
x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1
Ответ: (1; −1).
Метод сложения
Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:
При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.
Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.
Решаем получившееся уравнение с одной переменной.
Находим соответствующие значения второй переменной.
Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).
Система линейных уравнений с тремя переменными
Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:
Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).
Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.
Решение задач
Разберем примеры решения систем уравнений.
Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?
5x − 8y = 4x − 9y + 3
5x − 8y = 4x − 9y + 3
5x − 8y − 4x + 9y = 3
Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки
Выразить у из первого уравнения:
Подставить полученное выражение во второе уравнение:
Найти соответствующие значения у:
Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения
- Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:
- Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:
- Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:
- Ответ: (1; 1), (1; -1).
Задание 4. Решить систему уравнений
Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.
Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными
При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:
http://reshator.com/sprav/algebra/7-klass/sistema-linejnyh-uravnenij-s-tremya-peremennymi/
http://skysmart.ru/articles/mathematic/reshenie-sistem-uravnenij