Решить графически систему уравнений 7 класс задания

Решение систем уравнений

Содержание:

Графический метод решения систем уравнений

Вспоминаем то, что знаем

Что такое график уравнения с двумя неизвестными?

Что представляет собой график линейного уравнения с двумя неизвестными?

Решите графическим методом систему линейных уравнений:

Открываем новые знания

Решите графическим методом систему уравнений:

Как можно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными с помощью графиков уравнений этой системы? Отвечаем, проверяем себя по тексту

В курсе алгебры 7-го класса вы изучали системы линейных уравнений.

Для их решения вы применяли три метода: графический, метод подстановки и метод алгебраического сложения. Эти же методы служат и для решения других систем двух уравнений с двумя неизвестными, в которых могут содержаться уравнения второй степени или другие рациональные уравнения — как целые, так и дробные.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Начнём с графического метода

Этот метод основан на том, что каждому уравнению с двумя неизвестными соответствует некоторое множество точек координатной плоскости (график этого уравнения). Построив графики уравнений, мы найдём точки пересечения этих графиков (если они есть), и пары чисел — координаты точек пересечения — будут представлять собой решения системы уравнений.

Найденные решения будут, вообще говоря, приближёнными, в зависимости от точности построений соответствующих графиков.

Таким образом, решить графически систему уравнений — значит найти общие точки графиков уравнений, входящих в систему.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Примеры с решением

Пример 1:

Решим систему уравнений:

Построим графики уравнений

Графиком первого уравнения является парабола, с вершиной в точке (0; 1) и ветвями, направленными вверх, графиком второго — прямая, проходящая через точки (0; 3) и (-3; 0).

Парабола и прямая пересекаются в точках А(2; 5) и В(— 1; 2).

Проверкой убеждаемся, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы.

Ответ: (2; 5) и (-1; 2).

Пример 2:

Выясним количество решений системы уравнений:

Построим графики уравнений

Графики этих уравнений — окружности. Центр первой окружности — начало координат, а её радиус равен 2; центр второй окружности — точка Р(1; — 1), её радиус равен 3.

Окружности пересекаются в двух точках М и N, координаты которых можно найти приближённо. Поскольку нам нужно определить только количество решений, мы делать этого не будем.

Ответ: Два решения.

Решение систем уравнений методом подстановки

Вспоминаем то, что знаем

Расскажите, как решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом подстановки.

Решите систему линейных уравнений методом подстановки:

Открываем новые знания

Как вы думаете, можно ли применять метод подстановки при решении систем, где не все уравнения являются линейными? При каком условии это удастся сделать?

Решите систему уравнений методом подстановки:

Как решить систему двух уравнений с двумя неизвестными методом подстановки?

Всякую ли систему двух уравнений с двумя неизвестными можно решить методом подстановки?

Ранее вы решали системы уравнений первой степени.

Теперь познакомимся с системами, в которых хотя бы одно уравнение не является линейным. Как и прежде, распространённым методом решения систем является метод подстановки.

Пример 3:

Пусть (х; у) — решение системы.

Выразим х из уравнения

Подставим найденное выражение в первое уравнение:

Решим полученное уравнение:

Убедиться, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы, можно подстановкой.

Чуть сложнее дело обстоит в следующем примере.

Пример 4:

Решим систему уравнений:

Пусть (х; у) — решение системы.

Выразим у из линейного уравнения:

Подставим найденное выражение в первое уравнение системы:

После преобразований получим:

Ответ: (-0,5; 0,5), (4; 5).

Если это целесообразно, то можно осуществлять подстановку некоторого выражения «в целом».

Пример 5:

Подставим во второе уравнение тогда его можно переписать в виде:

Теперь выразим х через у из первого уравнения системы:

Подставим в полученное ранее уравнение ху = 2:

Корни этого уравнения:

.

Иногда решить систему можно, используя метод алгебраического сложения.

Пример 6:

Сложим уравнения, предварительно умножив первое уравнение на —1. В результате получим:

.

Корни этого уравнения:

Подставим найденные значения в первое уравнение. Рассмотрим два случая:

1)

2) , получим уравнение корней нет.

Иногда упростить решение удаётся, используя различные варианты замены неизвестных.

Пример 7:

Решим систему уравнений:

Обозначим

Второе уравнение системы примет вид:

Решим полученное уравнение. Получим, умножая обе части на 2а:

Осталось решить методом подстановки линейные системы:

Ответ: (2; 1), (1; 2). Решение задач с помощью систем уравнений Знакомимся с новыми знаниями

Напомним, что при решении задач обычно действуют следующим образом:

1) обозначают буквами какие-нибудь неизвестные величины, выражают через них другие величины, составляют систему уравнений;

2) решают полученную систему;

3) отвечают на вопрос задачи.

Пример 8:

Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ 13 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть х см — длина, у см — ширина (х у), тогда периметр прямоугольника — см.

Воспользуемся теоремой Пифагора:

Решим систему. Выразим из первого уравнения у:

Подставим во второе уравнение:

Корни уравнения:

Найдём

С учётом условия получим ответ: длина — 12 см, ширина — 5 см.

Пример 9:

Если произведение двух положительных чисел увеличить на первое из них, то получится 128. Если это же произведение увеличить на второе из них то получится 135. Найдите эти числа.

Пусть х — первое число, у — второе число.

Тогда: — произведение, увеличенное на первое число, ху 4-у — произведение, увеличенное на второе число.

Вычтем из второго уравнения первое. Получим:

Дальше будем решать методом подстановки:

Подставим в первое уравнение выражение для у:

Корни уравнения: (не подходит по смыслу задачи).

Найдём у из уравнения:

Получим ответ: 16 и 7.

Симметричные системы уравнений с двумя неизвестными

Уравнение с двумя неизвестными называется симметричным, если при перестановке этих неизвестных местами уравнение не меняется. Например, уравнение симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид , то есть не меняется. А вот уравнение не симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид , то есть меняется.

Система двух уравнений с двумя неизвестными называется симметричной, если каждое уравнение этой системы симметричное.

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ. В определении симметричной системы уравнений требуется, чтобы каждое уравнение в отдельности не менялось.

Например, если в системе уравнений

переставить местами неизвестные х и у, то получим систему:

Видно, что система в целом не изменилась (уравнения поменялись местами по сравнению с первоначальной системой). Но такая система не является симметричной, так как каждое из уравнений в отдельности изменилось.

Убедитесь, что симметричные системы с двумя неизвестными х и у можно решать с помощью замены неизвестных:

Сначала научитесь выражать через неизвестные выражения:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Решить графически систему уравнений 7 класс задания

Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться , такую группу уравнений мы называем системой.

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

Графический метод

Недаром ответ записывается так же, как координаты какой-нибудь точки.

Ведь если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Например, построим графики уравнений из предыдущего примера.

Пример 1

Для этого сперва выразим y y y в каждом уравнении, чтобы получить функцию (ведь мы привыкли строить функции относительно x x x ):

Для того чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными нужно:

1) построить графики уравнений в одной системе координат;
2) найти координаты точек пересечения этих графиков (координаты точек пересечения графиков и есть решения системы);

Разберем это задание на примере.

Решить графически систему линейных уравнений.

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.

Пример 2

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может:

а) иметь единственное решение;

б) не иметь решений;

в) иметь бесконечное множество решений.

2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.

Пример 3

Графическое решение системы

Пример 4

Решить графическим способом систему уравнений.

Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.

Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).

Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).

Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.

Пример 5

Выражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.

Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).

Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).

ОБЯЗАТЕЛЬНО: Познакомимся с видео, где нам объяснят как решаются системы линейных уравнений графическим способом. РАССКАЖУТ, КАК РЕШАТЬ СИСТЕМЫ ГРАФИЧЕСКИ.

Видео YouTube

Учебное занятие по алгебре в 7 классе по теме: «Системы линейных уравнений. Графический метод решения систем линейных уравнений».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Бондарь Е.Ф., учитель математики муниципального

бюджетного общеобразовательного учреждения

«Средняя общеобразовательная школа № 47» г. Чита

Разработка открытого учебного занятия по алгебре в 7 классе

для слушателей курсов повышения квалификации института развития образования Забайкальского края «Профессиональная деятельность учителя математики в условиях ФГОС «

по теме: «Системы линейных уравнений.

Графический метод решения систем линейных уравнений».

Цель модуля: Организация деятельности учащихся по усвоению понятий «система линейных уравнений», «решение системы линейных уравнений»; овладению навыками решения систем линейных уравнений графическим методом.

1. Создать условия для актуализации опорных знаний.

2. Организовать формулировку темы урока.

3. Организовать постановку учебной цели учащимися; способствовать организации деятельности учащихся по самостоятельному определению понятий «система линейных уравнений и ее решение» и выходу на графический метод решения.

4. Способствовать формированию умений учащихся решать системы линейных уравнений с помощью графического метода.

5. Продолжить работу по формированию у учащихся умения обобщать изучаемые факты, формулировать выводы; развитию исследовательских навыков. Продолжить работу по формированию навыков сотрудничества, самостоятельности, самоконтроля и самооценки.

Тип учебного занятия : модуль усвоения новых знаний.

1. Организационный момент. — 3 мин

Ребята, я рада снова вас видеть. Сегодня у нас с вами присутствуют гости, и мы будем работать вместе. Давайте вспомним, что вы научились делать на предыдущих занятиях

(узнали, что такое линейные уравнения с двумя переменными, линейная функция, научились строить графики линейной функции, узнали о взаимном расположении графиков)

Сегодня нам предстоит не только использовать наши предыдущие знания, но и продолжить работу с уравнениями. Это, на самом деле, очень интересное понятие, и даже великий ученый и видный общественный деятель 19-20 века Альберт Эйнштейн говорил «Уравнения для меня важнее, потому что политика — для настоящего, а уравнения — для вечности».

2. Актуализация опорных знаний. – 5 мин

-Решим фантастическую задачу «В 7 классе Г МБОУ СОШ № 47 семь учащихся не выполнили д/з. Сколько из них мальчиков и сколько девочек?». Составим математическую модель задачи

-Как называется такая запись?

(линейное уравнение с двумя переменными)

-Решим задачу (называют решения)

-Сколько может быть решений (бесконечное множество)

-Что является решением линейного уравнения с двумя переменными (пара чисел, обращающая уравнение в верное равенство)

3. Изучение нового материала + целеполагание – 10 мин

-Неужели мы не сможем решить эту задачу? (Надо добавить еще одно условие, какое?)

-Например, мальчиков на 3 человека больше чем девочек. Тогда задача звучит так «В 7 классе Г МБОУ СОШ № 47 семь учащихся не выполнили д/з, причем мальчиков на 3 человека больше чем девочек. Сколько из них мальчиков и сколько девочек?». Появляется еще одно уравнение

-Сколько теперь условий, и как они должны выполняться? (два и одновременно).

Для решения таких задач в математике применяется новый символ и новое понятие. Два уравнения объединяются фигурной скобкой.

-Может, кто — нибудь знает, что это за символ? (Система)

— Итак имеется система двух линейных уравнений с двумя переменными.

-Как вы думаете, что такое система? (Система – это объединение нескольких условий так, чтобы они выполнялись одновременно)

-Дадим определение системе уравнений (Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно) — слайд.

-Итак, мы рассмотрели новое математическое понятие. С чем же мы сегодня будем работать и чему нужно научиться? (Решать системы линейных уравнений)

-Запишем тему и данную систему.

-Можете ли вы решить эту систему?

-Что значит решить систему (Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство) — слайд.

— Каким методом мы решили систему? (Подбора)

Но, во – первых метод подбора, угадывания, не всегда применим на практике

0, 5 х +1/2 у=0,9785

-7/18 у – 0, 11 х = 1 4/18

Во вторых, где гарантия, что иного решения быть не может, что мы до него не додумались, не доугадали?

-Можно ли решить систему каким-нибудь другим методом?

— Как мы можем представить данные уравнения? (выразить у через х)

— Что получим? (линейную функцию)

— Можем построить графики, что нам это даст (точку пресечения, это и будет решением)

— Как назовем этот метод? (графический)

-Значит, чему мы должны еще сегодня научиться? (Решать системы графическим методом)

Решение системы на доске — 5 мин

Ученик на доске решает систему.

В данной системе очень просто было выразить y через х, давайте вспомним, как это делается в более сложных случаях – 2 мин – по времени

Итог части модуля: познакомились с понятием системы линейных уравнений, рассмотрели графический способ ее решения. Встречались ли вы уже с чем то подобным? (взаимное расположение графиков линейных функций)

4. Первичное применение знаний. Работа в парах – 10 мин.

Обучающиеся получают карточки со следующими заданиями

1. Решить систему уравнений графическим способом

2. Объясните решение соседу по парте

3. Составьте алгоритм решения систем линейных уравнений графическим способом.

1. Решить систему уравнений графическим способом

2. Объясните решение соседу по парте

3. Составьте алгоритм решения систем линейных уравнений графическим способом.

Выводы учащихся (системы записаны на доске)

Проверка по слайдам – 3 мин

— У вас на партах лежат памятки, в которых отражены случаи решения систем линейных уравнений графическим способом, изобразите рисунки в первом столбце.

Проверим, что у нас получилось – слайд — 3 мин

Теперь нам надо составить алгоритм решения системы линейных уравнений графическим способом, составляем, проверяем по слайду.

Итак, алгоритм составлен, с его помощью, решим самостоятельно систему – 6 мин:

Рис 51, стр 63 – графики пересекаются в т. А, координаты которой мы точно определить не сможем.

Если не успеваем, смотрим по рисунку в учебнике

Мы с вами рассмотрели сегодня графический метод решения систем линейных уравнений, отметьте, пожалуйста, его плюсы и минусы. Несмотря на минусы, этот метод имеет большое значение – слайд

6. Домашнее задание. Дома вы еще потренируетесь в применении графического способа решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными, д/з как обычно записано на доске и в АИС (параграф 11, №№ 11.7, 11.10 (а), 11.12 (б, в),

7. Подведение итогов. Рефлексия.

1) Ответьте на вопросы.

1) Какую математическую модель мы сегодня рассматривали?

2) Что такое система линейных уравнений?

3) Что является ее решением?

4) Какой метод решения систем линейных уравнений сегодня узнали?

5) Расскажите алгоритм решения системы линейных уравнений с помощью графического метода.

2) Рефлексия модуля.

— Чем лично для вас был интересен этот модуль?

— Какие формы работы вам понравились?

— На каком этапе модуля вы испытывали затруднения?

— Как вы думаете, над какими вопросами данной темы нам предстоит еще работать?

8. Заключительное слово учителя.

Итак, мы познакомились с новой математической моделью – системой двух линейных уравнений с двумя переменными. Как могли убедиться, метод подбора не очень надежен, графический метод тоже выручает не всегда. Значит, нам еще нужны надежные

алгебраические методы. Об этом и пойдет речь на следующих занятиях.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 592 871 материал в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра (в 2 частях)», Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)

Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 24.02.2021
• 111
• 1

• 24.02.2021
• 635
• 3

• 24.02.2021
• 142
• 4

• 24.02.2021
• 86
• 0

• 24.02.2021
• 140
• 4

• 24.02.2021
• 105
• 2

• 24.02.2021
• 117
• 1

• 24.02.2021
• 650
• 47

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 24.02.2021 165
• DOCX 78 кбайт
• 3 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Бондарь Елена Федоровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 3 года и 9 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 292
• Всего материалов: 2

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.