Решить графически уравнения 11 класс

Конпект урока алгебры в 11 классе по теме «Функционально-графический метод решения уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

формирование у учащихся умений и навыков решения уравнений функционально-графическим методом;

рассмотрение применения математической программы Advanced Grapher для решения уравнений функционально-графическим методом;

развитие познавательного интереса учащихся к предмету.

Тип урока: урок совершенствования знаний, формирования умений и навыков.

Учебно-наглядный материал : карточки с заданиями для учащихся, шаблон параболы, карточки с изображением графиков некоторых функций в одной системе координат, компьютеры заранее установленным программным обеспечением Advanced Grapher .

Постановка цели и мотивация учебной деятельности.

Учитель: нередко в учебниках математики можно встретить уравнения вида

Уравнение кажется неестественным, ведь оно относится одновременно к двум различным темам, которые редко пересекаются на одном уроке, а тем более в одном уравнении. Но функционально-графический метод, который мы будем использовать на этом уроке, поможет нам решить такое уравнение.

Из названия метода понятно, что он основан на свойствах функций и построении графиков функций. Конечно, строить графики — работа не из самых увлекательных, особенно когда приходиться находить производную или вычислять значения функций в ряде точек. Но имеем возможность, строить графики с помощью программы Advanced Grapher .

Учитель: Для того чтобы успешно работать в дальнейшем, необходимо вспомнить основные определения и свойства функций, ответив на вопросы:

1. Какую зависимость между величинами называют функцией?

Что называется графиком функции?

Что называется множеством значений функции?

Приведите множество значений функций ,у которых множество значений ограничено.

Для функций записанных на доске назовите их наибольшие и наименьшие значения, если таковые существуют.

3. Решение нестандартных уравнений.

Учитель: На этом уроке мы будем рассматривать так называемые уравнениянестандартного вида f ( x )= g ( x ), где f ( x ) и g ( x ) функции совершено разного типа.

Существуют теоремы, способные облегчить решение уравнения вида

Сегодня мы познакомимся с ними. Откройте учебник (стр.307). Здесь курсивом выделены два утверждения. Прочтём первое: Если одна из функций y = f ( x ), y = g ( x ) возрастает, а другая убывает, то уравнение f ( x )= g ( x ) либо не имеет корней, либо имеет один корень (который иногда можно угадать).

Воспользовавшись данным утверждением, решим уравнение ( x =0)

Но уравнение, приведенное в начале урока невозможно решить, опираясь на данное утверждение. Познакомимся со вторым утверждением: (читаем стр.307) Если на промежутке Х наибольшее значение одной из функций y = f ( x ), y = g ( x ) равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение f ( x )= g ( x ) равносильно системе уравнений

Данное утверждение мы вводим без доказательства, а для подтверждения решим уравнение . Ученик у доски строит графики функций и



4. Закрепление изучаемого материала.

Задание 1. Устно решить уравнение, обосновывая решение с помощью изученных теорем. . Рассуждения ученика: графиком функции у= является парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находиться в точке с координатами (0;-1), значит наибольшее значение –1 функция принимает при х=0.

Функция у= при х=0 принимает своё наименьшее значение, равное –1. Значит уравнение имеет один корень х=0.

Задание 2. Вернёмся к уравнению, записанному в начале урока. Удовлетворяют ли оно условию теоремы? Сразу трудно ответить на этот вопрос. По графику функции легче определить ограничена она или нет. А графики этих функций мы построим с помощью программы Advanced Grapher. Для того, чтобы построить на компьютере графики функций у= и у= мы должны записать формулы функций в виде, необходимом для компьютера.

Один из учащихся записывает формулы на доске: y=ln(x^2-4*x+8)/ln(2); y=sin(5*3.14*x/4)-cos(3*3.14*x/2). Затем учащиеся переходят к компьютерам, открывают программу Advanced Grapher и строят графики функций. На экране возникает рисунок.

Учитель: По построенным графикам ответьте на вопросы:

Ограничена ли логарифмическая функция? (да, снизу)

Имеет ли она наибольшее значение? (нет)

Имеет ли она наименьшее значение? (да)

Чему равно наименьшее значение логарифмической функции?

Ограничена ли тригонометрическая функция?

Имеет ли она наибольшее и наименьшее значения?

Чему равно наибольшее значение тригонометрической функции?

Удовлетворяют ли данные функции условию теоремы?

Каков корень уравнения?

Затем учащиеся знакомятся с записью решения, которое заранее записано на доске. Рассмотрим функции f ( x )= log ₂ ( x 2 -4 x +8) и f ( x )= .

( x 2 -4 x + log ₂ 8)  2 при x  ),  2 при x x  ).

=2.



log ₂ (x 2 -4x+8)=2,

5. Самостоятельная работа учащихся на компьютере по индивидуальным заданиям.

Используя программу Advanced Grapher , решите уравнения

. Ответ:-3.