Решить интегральное уравнение методом последовательных приближений

Решения интегральных уравнений онлайн

В этом разделе мы рассмотрим типовые задачи по интегральным уравнениям с решениями. Интегральное уравнение содержит неизвестную функцию под знаком интеграла (по аналогии как дифференциальное — функцию под знаком дифференциала:)).

Выделяют два основных класса интегральных уравнений: уравнения Фредгольма I и II рода:

$$ (I) \quad \int_a^b K(x,s)u(s)ds = f(x),\\ (II) \quad u(x)=\int_a^b K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

В случае переменного верхнего предела интегрирования получаем соответственно уравнение Вольтерра I и II рода:

$$ (I) \quad \int_a^x K(x,s)u(s)ds = f(x),\\ (II) \quad u(x)=\int_a^x K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

Это линейные неоднородные уравнения (при $f(x)=0$ — однородные), иногда рассматриваются более общий случай с параметром $\lambda$ перед интегралом.

Ниже вы найдете примеры нахождения решений интегральных уравнений, собственных значений и функций, исследования ядра, применения интегральных уравнений для решения других задач.

Примеры решений интегральных уравнений

Задача 1. Пользуясь теоремой Гильберта-Шмидта, исследовать и решить интегральное уравнение 2-го рода $(E+\lambda A)x=y$ в гильбертовом пространстве $X$.

Задача 2. Найти собственные значения и собственные функции уравнения:

$$ y(x)=\lambda \int_0^1 (\cos 2\pi x +2x \sin 2\pi t +t \sin \pi x)y(t)dt. $$

Задача 3. Решить уравнение Вольтерры, сведя его к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 4. Решить или установить неразрешимость уравнений с вырожденным ядром.

Задача 5. Решить интегральное уравнение, сведя его предварительно к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 6. Найти резольвенту для интегрального уравнения Вольтерры со следующим ядром $K(x,t)=x^<1/3>t^<2/3>$.

Задача 7. Исследовать решения уравнения с вырожденным ядром при различных значениях параметра $\lambda$ (ограничиться случаем вещественных характеристических чисел).

$$ y(x)-\lambda \int_0^1 x y(t)dt = \sin 2\pi x. $$

Задача 8. Для симметричного ядра $$K(x,t) = \frac<1> <2>\sin |x-t| \quad (0 \le, x,t \le \pi)$$ найти характеристические числа и соответствующие им собственные функции, сводя интегральное уравнение к однородной краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения.

Задача 9. Решить краевую задачу, используя функцию Грина

Задача 10. Применяя преобразование Лапласа, решить интегральное уравнение

Помощь с интегральными уравнениями

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по интегральным уравнениям (и другим разделам математического и функционального анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 200 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Метод последовательных приближений решения дифференциального уравнения

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения

Будем предполагать, что в некотором прямоугольнике для уравнения (1) выполнены условия а) и б) теоремы существования и единственности решения задачи (1)-(2).

Решение задачи (1)-(2) может быть найдено методом последовательных приближений , который состоит в следующем.

Строим последовательность функций, определяемых рекуррентными соотношениями

В качестве нулевого приближения можно взять любую функцию, непрерывную в окрестности точки , в частности — начальное значение Коши (2). Можно доказать, что при сделанных предположениях относительно уравнения (1) последовательные приближения сходятся к точному решению уравнения (1), удовлетворяющему условию (2), в некотором интервале , где

Оценка погрешности, получаемой при замене точного решения n-м приближением , даётся неравенством

где . Применяя метод последовательных приближений, следует остановиться на таком , для которого не превосходит допустимой погрешности.

Пример 1. Методом последовательных приближений найти решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Очевидно, что для данного уравнения на всей плоскости выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Строим последовательность функций, определяемых соотношениями (3), приняв за нулевое приближение :

Ясно, что при . Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция решает поставленную задачу Коши.

Пример 2. Методом последовательных приближений найти приближенное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию в прямоугольнике

Решение. Имеем , т. е. . За берем меньшее из чисел , т. е. . Последовательные приближения согласно (4) будут сходится в интервале . Составляем их

Абсолютная погрешность третьего приближения не превосходит величины

Замечание. Функция должна удовлетворять всем условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Следующий пример показывает, что одной непрерывности функции недостаточно для сходимости последовательных приближений.

Пусть функция определена следующим образом:

На множестве , функция непрерывна и ограничена постоянной . Для начальной точки последовательные приближения при имеют вид:

Поэтому последовательность для каждого не имеет, предела, т. е. последовательные приближения не сходятся. Заметим также, что ни одна из сходящихся подпоследовательностей и не сходится к решению, поскольку

Если же последовательные приближения сходятся, то полученное решение может оказаться неединственным , как показывает следующий пример: .

Возьмем начальное условие ; тогда

Беря в качестве нулевого приближения функцию , будем иметь

так что все последовательные приближения равны нулю и поэтому они сходятся к функции, тождественно равной нулю. С другой стороны, функция представляет собой также решение этой задачи, существующее на полупрямой .