Решить линейные неоднородные разностные стационарные уравнения

Решения разностных уравнений

Разностные уравнения для чайников

На этой странице мы рассмотрим примеры решения типовых задач, встречающихся в курсе дифференциальных и разностных уравнений, а именно нахождение общего или частного решения линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами. Чаще всего в контрольных встречаются уравнения второго или третьего порядка:

$$ a_0 y(x) + a_1 y(x+1) + a_2 y(x+2)=f(x), \\ a_0 y(x) + a_1 y(x+1) + a_2 y(x+2)+ a_3 y(x+3)=f(x). $$

Здесь $a_i$ — постоянные коэффициенты, $f(x)$ — правая часть (неоднородность уравнения), $y(x)$ — искомая неизвестная функция.

Решение разностных уравнений практически полностью аналогично решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (см. тут примеры): ищется решение однородного уравнения через составление характеристического уравнения, и частное решение неоднородного уравнения по виду правой части.

Примеры решений разностных уравнений

Задача 1. Решить разностное уравнение: $y(x+2)-4y(x+1)+4y(x)=2^x$

Задача 2. Найти общее решение линейного разностного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Задача 3. Решить разностное уравнение третьего порядка

$$ y(x+3)-16y(x+2)+83y(x+1)-140y(x)=0, \quad y(0)=3, y(1)=18, y(2)=120. $$

Задача 4. Найти частное решение однородного разностного уравнения:

Помощь с разностными уравнениями

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по дифференциальным и разностным уравнениям (и другим разделам математического анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Разностные уравнения

Содержание:

Разностные уравнения

Понятие разницы и разностного уравнения

Если для значений переменной x₁, x₂, x₃, . функция f (x) принимает значения f (x₁), f (x₂), f (x₃) . , то приращения функции составляют f (x₂) – f (x₁), f (x₃) – f (x₂), .

Приращение функции при переходе от значения x_i к значению x_i+1 будем обозначать: В частности можно взять в качестве значения независимых переменных x и x + 1 . Разность Δf (x) = f (x + 1) — f (x) называется первой разностью или разностью первого порядка. Она может рассматриваться в свою очередь как функция от x, а потому и для нее можно определить разницу:

Введем обозначения ΔΔf (x) = Δ 2 f (x), тогда Δ 2 f (x) = f (x + 2) — 2 f (x + 1) + f (x) и называется разностью второго порядка.

Аналогично можно найти разности третьего, четвертого и т. д. порядков.

Определим разности некоторых важнейших функций.

1) Если f (x) = С, где С — постоянная величина, то
Δf (x) = f (x + 1) – f (x) = С – С = 0.

Понятно, что и все разности следующих порядков будут также равняться нулю.

2) Если f (x) = ax + b, то
Δf = Δf (x + 1) — f (x) = a (x + 1) + b — ax — b = a.

Разница первого порядка линейной функции равна постоянной, а все остальные будут равны нулю.

3) Если f (x) = ax 2 + bx + c, то

Поскольку разница первого порядка является линейной функцией, то разница второго порядка — постоянная, а все последующие разности равны нулю.

4) Если f (x) = a x , то

В экономических исследованиях часто встречаются задачи, в которых время t является независимой переменной, а зависимая переменная определяется для времени t, t + 1, t + 2 и т. д.

Обозначим y_t — значение функции y в момент времени t; y_t+1 — значение функции в момент, сдвинутый на одну единицу, например, на следующий час, на следующую неделю и т. д., y_t+2 — значение функции y в момент, сдвинутый на две единицы и т. д.

Очевидно, что

Откуда:

За разность второго порядка, имеем или
поэтому

Аналогично можно доказать, что

Итак, любую функцию

можно представить в виде: (7.50)
и наоборот.

Определение. Уравнение
(7.51)
называется разностным уравнением n-го порядка.

Решить разностное уравнение n-го порядка — это значит найти такую функцию y_t, которая превращает уравнение (7.50) или (7.51) в тождество.

Решение, в котором есть произвольная постоянная, называется общим; решение, в котором постоянная отсутствует, называется частным.

Определение. Уравнение
(7.52)
где a₀, a₁, . a_n — постоянные числа, называется неоднородным разностным
уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Если в уравнении (7.52) f (t) = 0, то уравнение называется однородным разностным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами:
(7.53)

Уравнение есть однородное разностное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами a и b, а уравнение — неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами a, b, c.

ТЕОРЕМА 1. Если решениями однородного разностного уравнения (7.53) является y₁ (t) и y₂ (t), то его решением будет также функция y₁ (t) + y₂ (t).

ТЕОРЕМА 2. Если y (t) является решением однородного разностного уравнения (7.53), то его решением будет также функция Ay (t), где А — произвольная постоянная.

ТЕОРЕМА 3. Если y (t) — частное решение неоднородного уравнения (7.52) и y (t, A₁, A₂, . A_n) — общее решение однородного уравнения (7.53), то общим решением неоднородного разностного уравнения будет функция: y (t) + y (t, A₁, A₂, . A_n).

Эти теоремы схожи с теоремами для дифференциальных уравнений, которые были приведены нами в предыдущем разделе.

Разностные уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим неоднородное разностное уравнение
(7.54)

Соответствующее ему однородное уравнение будет:
(7.55)

Возьмем функцию и убедимся, что она будет решением уравнения (7.55). Поскольку , тогда . Подставим y_t и y_t-1 в уравнение (7.55):
Итак, является решением уравнения (7.55).

По теореме (2) общее решение однородного разностного уравнения (7.55) является функция , где А — произвольная постоянная.

Пусть — частное решение неоднородного разностного уравнения (7.54). По теореме (3) общим решением неоднородного разностного уравнения (7.54) будет функция

Частное решение найти нетрудно, если f (t) = α, где α — некоторая постоянная. На самом деле, если где u — постоянная. Подставим в уравнение (7.54), имеем: u — au = α, откуда
Итак, общее решение уравнения (7.54) запишем в виде: .

Разностные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Пусть задано неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
(7.56)
и соответствующее ему однородное уравнение
(7.57)

Убедимся, что функция будет решением уравнения (7.58). Подставим в уравнение (7.57) (λ ≠ 0), получим Поскольку λ ≠ 0, то поделим на λ t-2 , имеем λ 2 + aλ + b = 0 (7.58)

Это уравнение называется характеристическим уравнением для уравнения (7.57).

Здесь могут иметь место следующие три случая:

1. D = a 2 – 4b > 0, тогда уравнение (7.58) будет иметь два действительных различных корня.
Общее решение уравнения (7.57) запишется в виде:

а общее решение неоднородного уравнения (7.56) запишется так:

2. D = a 2 – 4b = 0, тогда и и

В этом случае однородное уравнение (7.57) примет вид:
(7.59)
Тогда

Легко убедиться, что решением уравнения (7.59) является также функция
Поэтому общим решением уравнения (7.59) является функция а общим решением неоднородного уравнения (7.56) функция

3. D = a 2 – 4b 2 – 5λ + 6 = 0 будет иметь действительные разные корни (D = 25 – 24 = 1 > 0), λ1 =2, λ2 = 3.
Общим решением однородного уравнения является функция

Далее положим, что y_t = y — частное решение неоднородного уравнения, тогда

Таким образом, общим решением неоднородного уравнения является функция Постоянные A₁ и A₂ определим из начальных условий: y₀ = 5, y₁ = 9. Тогда для t = 0 и t = 1 соответственно будем иметь:

Решим эту систему уравнений относительно A₁ и A₂:

Откуда

Итак, — общее решение заданного в условии разностного уравнения.

Примеры применения разностных уравнений в экономических задачах

Пример 1. Пусть некоторая сумма средств выдается под сложный процент p, то к концу t-го года ее размер будет составлять:
Это однородное разностное уравнение первого порядка. Его решением будет функция , где A — некоторая постоянная, которую можно найти из начальных условий.

Если положить y₀ = F , то A = F, откуда

Это известная формула величины фонда F, который выдается под сложный процент.

Пример 2. Пусть величина предложения сельскохозяйственной продукции в t-м году есть функция цены прошлого года а спрос на эту продукцию есть функция цены в этом году. Следовательно, спрос: а предложение

Цена равновесия для данной продукции определяется равенством:
а это разностное уравнение первого порядка.

Положим, что функция спроса определяется формулой а функция предложения — формулой

Цена равновесия запишется: то есть Решением этого уравнения является функция Постоянная A определяется из начальных условий, для t = 0 цена составляет p₀.

Тогда p₀ = A и решением уравнения является функция
Если начальная цена p₀ = 0, то p_t = 0 для всех значений t.

Следовательно, цена не подлежит изменению.

Вообще говоря, функция предложения — возрастающая, а потому b > 0; а функция спроса — убывающая, и поэтому a

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Линейные неоднородные стационарные разностные уравнения второго порядка

Лекция № 3. Разностные уравнения

1. Основные понятия теории разностных уравнений.

2. Стационарные разностные уравнения первого порядка.

3. Линейные однородные стационарные разностные уравнения второго порядка.

4. Линейные неоднородные СРУ второго порядка.

5. Нестационарные линейные разностные уравнения первого порядка.

Литература

1. Романко В.К. Разностные уравнения. – М.: Бином, 2006.

Основные понятия теории разностных уравнений

Функция для значений переменной принимает значения

Построим приращения этой функции при переходе из точки в точку :

= – . (1)

В экономических исследованиях нередко встречаются задачи, в которых роль независимой переменной играет время t, а значения функции фиксируются через равные промежутки времени (1 час, 1 день, 1 месяц, 1 год и т.п.).

Например, так называемая «паутинообразная» модель рынка одного товара описывается уравнением

(2)

где цена товара в период времени — некоторые числа.

При моделировании относительной численности какого-либо биологического вида появляется уравнение вида

), (3)

где — относительная численность популяции в момент времени t , а — коэффициент размножения.

По аналогии с (1) построим приращения значений функции

= ……………………..

— (4)

Из системы (4) следует

Из определения второй разности следует, что

, или +

= + 2 +

= + + 2 ) + ( + ) = + 3 + 3 + .

Используя метод математической индукции, можно доказать, что

= , (5)

= .

Поэтому каждую функцию

можно представить как функцию

, t).

Определение.

) = 0 (6)

, … , (7)

называетсяразностным уравнением n-го порядка.

Определение.

Решить разностное уравнение n-го порядка – значит найти функцию для которой справедливо уравнение вида (6) или (7).

Стационарные разностные уравнения первого порядка

Определение.

называется неоднородным стационарным разностным уравнением первого порядка.

Если однородным.

Обозначим и однородное уравнение запишем в виде

= 0.

Убедимся в том, что функция является решением этого уравнения:

= = ).

Отсюда следует, что любая функция вида , где

Итак, общее решение СРУ I порядка.

Теорема.Если — частное решение неоднородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения имеет вид

= + .

Пример.

Пусть = Отсюда = +

Линейные однородные стационарные разностные уравнения второго порядка

Определение.

Линейным разностным стационарным уравнением порядка nназывается уравнение вида

где , … , — заданная функция аргумента t

Такие уравнения являются наиболее важными для практики.

Определение.

Если то уравнение называется однородным.

Очевидно, такое уравнение всегда имеет решение

Будем рассматривать линейные разностные стационарные уравнения второго порядка:

+ (1)

Соответствующее однородное уравнение имеет вид:

+ (2)

Нетривиальное решение уравнения (2) будем искать в виде

, где

Для нахождения подставим в уравнение (2):

( +

Так как имеем уравнение

(3)

которое не имеет нулевых корней.

Уравнение (3) называется характеристическим уравнением для уравнения (2).

Таким образом, — решение уравнения (2), когда — корень уравнения (3).

Возможны три случая:

1. Дискриминант уравнения (3) положителен. Корни (3) действительные и различные:

Тогда функции — решения уравнения (2). Они линейно независимы, так как

Теорема 1.

Если и — линейно независимые решения уравнения (2), то

—

его решение для любых

Доказательство следует из линейности уравнения (2). Итак, в данном случае,

+ общее решение (2).

Пример.

Решить уравнение

+ 9 + 8 = 0

имеет два различных действительных корня

2. D = 0. Характеристическое уравнение имеет один двукратный действительный корень: Убедимся, что наряду с решением уравнения (2) будет функция Подставим её в левую часть уравнения (2), раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

(t + 2) + (t + 1) =

Функции , – линейно независимы, так как = t

Отсюда следует, что решение уравнения (2) имеет вид:

Пример.

Решим уравнение

+ 6 + 9 = 0

Имеет двукратный действительный корень Общее решение:

3. D Характеристическое уравнение имеет два комплексных сопряжённых корня:

Теорема.

Функция является комплексным решением уравнения (2) тогда и только тогда, когда функции – действительные решения (2).

Примечание: Real — действительный, Imagine – мнимый.

Доказательство следует из линейности (2).

Re — общее действительное решение уравнения (2).

Пример.

Найдём общее решение уравнения

Характеристическое уравнение + 4 = 0 имеет два комплексных сопряжённых корня

Общее комплексное решение имеет вид

Так как + ), то

= ( t), где

Общее решение однородного разностного стационарного уравнения.

Линейные неоднородные стационарные разностные уравнения второго порядка

Теорема.

Если — частное решение неоднородного линейного СРУ, а общее решение соответствующего ему однородного уравнения, то общее решение неоднородного ЛСРУ имеет вид: