Решить линейные уравнения методом бернулли

Уравнения Бернулли

Назначение сервиса . Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения дифференциальных уравнений Бернулли.

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

Пример 1 . Найти общее решение уравнения y’ + 2xy = 2xy 3 . Это уравнение Бернулли при n=3. Разделив обе части уравнения на y 3 получаем Делаем замену Тогда и поэтому уравнение переписывается в виде -z’ + 4xz = 4x. Решая это уравнение методом вариации произвольной постоянной, получаем откуда или, что то же самое, .

Пример 2 . y’+y+y 2 =0
y’+y = -y 2

Разделим на y 2
y’/y 2 + 1/y = -1

Делаем замену:
z=1/y n-1 , т.е. z = 1/y 2-1 = 1/y
z = 1/y
z’= -y’/y 2

Получаем: -z’ + z = -1 или z’ — z = 1

Далее надо найти z и выразить через него y = 1/z .

Пример 3 . xy’+2y+x 5 y 3 e x =0
Решение.
а) Решение через уравнение Бернулли.
Представим в виде: xy’+2y=-x 5 y 3 e x . Это уравнение Бернулли при n=3 . Разделив обе части уравнения на y 3 получаем: xy’/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x . Делаем замену: z=1/y 2 . Тогда z’=-2/y 3 и поэтому уравнение переписывается в виде: -xz’/2+2z=-x 5 e x . Это неоднородное уравнение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение: -xz’/2+2z=0
1. Решая его, получаем: z’=4z/x

Интегрируя, получаем:
ln(z) = 4ln(z)
z=x 4 . Ищем теперь решение исходного уравнения в виде: y(x) = C(x)x 4 , y'(x) = C(x)’x 4 + C(x)(x 4 )’
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)’ x 4 )+2y=-x 5 e x
-C(x)’ x 5 /2 = -x 5 e x или C(x)’ = 2e x . Интегрируя, получаем: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
Из условия y(x)=C(x)y, получаем: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x ) или y = Cx 4 +2x 4 e x . Поскольку z=1/y 2 , то получим: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x

б) решение через замену переменных
y=uv
x(u’v + uv’)+2uv+x 5 u 3 v 3 e x =0
v(x u’ + 2u) + xuv’+ x 5 u 3 v 3 e x = 0
a) xu’+2u = 0
или ln(u)=ln(x -2 ). Откуда u = x -2
b) xuv’+ x 5 u 3 v 3 e x = 0
x x -2 v’+ x 5 x -6 v 3 e x = 0
v’/x+ v 3 e x /x = 0
v’+ v 3 e x = 0

или 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x

Дифференциальное уравнение Бернулли

Статья раскрывает методы решения дифференциального уравнения Бернулли. В заключении будут рассмотрены решения примеров с подробным объяснением.

Приведение к линейному уравнению 1 порядка

Дифференциальное уравнение Бернулли записывается как y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y n . Если n = 1 , тогда его называют с разделяющими переменными. Тогда уравнение запишется как y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y ⇔ y ‘ = Q ( x ) — P ( x ) · y .

Для того, чтобы решить такое уравнение, необходимо первоначально привести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению 1 порядка с новой переменной вида z = y 1 — n . Проделав замену, получаем, что y = z 1 1 — n ⇒ y ‘ = 1 1 — n · z n 1 — n · z ‘ .

Отсюда вид уравнения Бернулли меняется:

y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y n 1 1 — n · z 1 1 — n · z ‘ + P ( x ) · z 1 1 — n = Q ( x ) · z 1 1 — n z ‘ + ( 1 — n ) · P ( x ) · z = ( 1 — n ) · Q ( x )

Этот процесс вычисления и подстановки способствует приведению к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка. В итоге проводим замену и получаем его решение.

Найти общее решение для уравнения вида y ‘ + x y = ( 1 + x ) · e — x · y 2 .

Решение

По условию имеем, что n = 2 , P ( x ) = x , Q ( x ) = ( 1 + x ) · e — x . Необходимо ввести новую переменную z = y 1 — n = y 1 — 2 = 1 y , отсюда получим, что y = 1 z ⇒ y ‘ = — z ‘ z 2 . Провести замену переменных и получить ЛНДУ первого порядка. Запишем, как

y ‘ + x y = ( 1 + x ) · e — x · y 2 — z ‘ z 2 + x z = ( 1 + x ) · e — x · 1 z 2 z ‘ — x z = — ( 1 + x ) · e — x

Следует проводить решение при помощи метода вариации произвольной постоянной.

Проводим нахождение общего решения дифференциального уравнения вида:

d z d x — x z = 0 ⇔ d z z = x d x , z ≠ 0 ∫ d z z = ∫ x d x ln z + C 1 = x 2 2 + C 2 e ln z + C 1 = e x 2 2 + C 2 z = C · e x 2 2 , C = e C 2 — C 1

Где z = 0 , тогда решение дифференциального уравнения считается z ‘ — x z = 0 , потому как тождество становится равным нулю при нулевой функции z . Данный случай записывается как z = C ( x ) · e x 2 2 , где С = 0 . Отсюда имеем, что общим решением дифференциального уравнения z ‘ — x z = 0 считается выражение z = C · e x 2 2 при С являющейся произвольной постоянной.

Необходимо варьировать переменную для того, чтобы можно было принять
z = C ( x ) · e x 2 2 как общее решение дифференциального уравнения вида z ‘ — x z = — ( 1 + x ) · e — x .

Отсюда следует, что производится подстановка вида

C ( x ) · e x 2 2 ‘ — x · C ( x ) · e x 2 2 = — ( 1 + x ) · e — x C ‘ ( x ) · e x 2 2 + C ( x ) · e x 2 2 ‘ — x · C ( x ) · e x 2 2 = — 1 + x · e — x C ‘ ( x ) · e x 2 2 + C ( x ) · x · e x 2 2 — x · C ( x ) · e x 2 2 = — ( 1 + x ) · e — x C ‘ ( x ) · e x 2 2 = — ( 1 + x ) · e — x 2 2 — x C ( x ) = ∫ — ( 1 + x ) · e — x 2 2 — x d x = ∫ e — x 2 2 — x d — x 2 2 — x = e — x 2 x — x + C 3

С 3 принимает значение произвольной постоянной. Следовательно:

z = C x · e x 2 2 = e — x 2 2 — x + C 3 · e x 2 2 = e — x + C 3 · e x 2 2

Дальше производится обратная замена. Следует, что z = 1 y считается за y = 1 z = 1 e — x + C 3 · e x 2 2 .

Ответ: это решение считается решением исходного дифференциального уравнения Бернулли.

Представление произведением функций u ( x ) и v ( x )

Имеется другой метод решения дифференциального уравнения Бернулли, который основывается на том, что функцию представляют при помощи произведения функций u ( x ) и v ( x ) .

Тогда получаем, что y ‘ = ( u · v ) ‘ = u ‘ · v + u · v ‘ . Производим подстановку в уравнение Бернулли y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y n и упростим выражение:

u ‘ · v + u · v ‘ + P ( x ) · u · v = Q ( x ) · u · v n u ‘ · v + u · ( v ‘ + P ( x ) · v ) = Q ( x ) · u · v n

Когда в качестве функции берут ненулевое частное решение дифференциального уравнения v ‘ + P ( x ) · v = 0 , тогда придем к равенству такого вида

u ‘ · v + u · ( v ‘ + P ( x ) · v ) = Q ( x ) · ( u · v ) n ⇔ u ‘ · v = Q ( x ) · ( u · v ) n .

Отсюда следует определить функцию u .

Решить задачу Коши 1 + x 2 · y ‘ + y = y 2 · a r c t g x , y ( 0 ) = 1 .

Решение

Переходим к нахождению дифференциального уравнения вида 1 + x 2 · y ‘ = y · a r c t g x , которое удовлетворяет условию y ( 0 ) = 1 .

Обе части неравенства необходимо поделить на x 2 + 1 , после чего получим дифференциальное уравнение Бернулли y ‘ + y x 2 + 1 = y 2 · a r c t g x x 2 + 1 .

Перейдем к поиску общего решения.

Принимаем y = u · v , отсюда получаем, что y ‘ = u · v ‘ = u ‘ · v + u · v ‘ и уравнение запишем в виде

y ‘ + y x 2 + 1 = y 2 · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ · v + u · v ‘ + u · v x 2 + 1 = u · v 2 · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ · v + u · v ‘ + v x 2 + 1 = u 2 · v 2 · a r c t g x x 2 + 1

Проведем поиск частного решения с наличием разделяющих переменных v ‘ + v x 2 + 1 = 0 , отличных от нуля. Получим, что

d v v = — d x x 2 + 1 , v ≠ 0 ∫ d v v = — ∫ d x x 2 + 1 ln v + C 1 = — a r c t g x + C 2 v = C · e — a r c t g x , C = e C 2 — C 1

В качестве частного решения необходимо брать выражение вида v = e — a r c r g x . Преобразуем и получим, что

u ‘ · v + u · v ‘ + v x 2 + 1 = u 2 · v 2 · a r c r g x x 2 + 1 u ‘ · v + u · 0 = u 2 · v 2 · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ = u 2 · v · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ = u 2 · e — a r c t g x · a r c t g x x 2 + 1 ⇔ d u u 2 = e — a r c t g x · a r c t g x x 2 + 1 d x , u ≠ 0 ∫ d u u 2 = ∫ e — a r c t g x · a r c t g x x 2 + 1 d x ∫ d u u 2 = ∫ e — a r c t g x · a r c t g x d ( a r c t g x )

Имеем, что u = 0 рассматривается как решение дифференциального уравнения. Далее необходимо решить каждый из полученных интегралов по отдельности.

Интеграл с левой стороны, имеющего вид ∫ d u u 2 , необходимо найти по таблице первообразных. Получаем, что

∫ d u u 2 = — 1 u + C 3 .

Чтобы найти интеграл вида ∫ e — a r c t g x · a r c t g x d ( a r c t g x ) , принимаем значение a r c t g x = z и применяем метод интегрирования по частям. Тогда имеем, что

∫ e — a r c t g x · a r c t g x d ( a r c t g x ) = a r c t g x = z = = ∫ e — z · z d z = u 1 = z , d v 1 = e — z d z d u 1 = d z , v 1 = — e — z = = — z · e — z + ∫ e — z d z = — z · e — z — e — z + C 4 = = — e — z · ( z + 1 ) + C 4 = — e — a r c t g x · ( a r c t g x + 1 ) + C 4

— 1 u + C 3 = — e — a r c t g x · a r c t g x + 1 + C 4 1 u = e — a r c r g x · a r c t g x + 1 + C 3 — C 4 u = 1 e — a r c r g x · ( a r c t g x + 1 ) + C

Отсюда находим, что

y = u · v = e — a r c t g x e — a r c r g x · ( a r c t g x + 1 ) + C и y = 0 · v = 0 · e — a r c r g x = 0 являются решениями дифференциального уравнения Бернулли вида y ‘ + y x 2 + 1 = y 2 · a r c t g x x 2 + 1 .

На данном этапе следует переходить к поиску частного решения, которое удовлетворяет начальному условию. Получим, что

y = e — a r c t g x e — a r c t g x · a r c t g x + 1 + C , тогда запись примет вид y 0 = e — a r c t g 0 e — a r c t g 0 · a r c t g 0 + 1 + C = 1 1 + C .

Очевидно, что 1 1 + C = 1 ⇔ C = 0 . Тогда искомой задачей Коши будет являться полученное уравнение вида y = e — a r c t g x e — a r c t g x · a r c t g x + 1 + 0 = 1 a r c t g x + 1 .

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
и уравнение Бернулли

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид

где и — заданные функции от , непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1).

Если , то уравнение (1) называется линейным однородным . Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение

Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной , который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Применим метод вариации постоянной. Рассмотрим однородное уравнение , соответствующее данному неоднородному уравнению. Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид .

Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде , где — неизвестная функция от . Подставляя, получаем , откуда . Итак, общее решение неоднородного уравнения будет , где — постоянная интегрирования.

Замечание. Может оказаться, что дифференциальное уравнение линейно относительно как функция от . Нормальный вид такого уравнения

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение является линейным, если рассматривать как функцию от :

Применяем метод вариации произвольной постоянной. Сначала решаем соответствующее однородное уравнение

которое является уравнением с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид .

Общее решение уравнения ищем в виде , где — неизвестная функция от . Подставляя, получаем

Отсюда, интегрируя по частям, будем иметь

Исходное уравнение может быть проинтегрировано также следующим образом. Полагаем

где и — неизвестные функции от , одна из которых, например , может быть выбрана произвольно.

Подставляя в , после преобразования получаем

Определяя из условия , найдем затем из функцию , а следовательно, и решение уравнения . В качестве можно взять любое частое решение уравнения .

Пример 3. Решить задачу Коши: .

Решение. Ищем общее решение уравнения в виде ; имеем . Подставляя выражение для и в исходное уравнение, будем иметь

Функцию находим из условия . Беря любое частное решение последнего уравнения, например , и подставляя его, получаем уравнение , из которого находим функцию . Следовательно, общее решение уравнения будет

Используя начальное условие , получаем для нахождения уравнение , откуда ; так что решением поставленной задачи Коши будет функция .

Пример 4. Известно, что между силой тока и электродвижущей силой в цепи, имеющей сопротивление и самоиндукцию , существует зависимость , где и — постоянные. Если считать функцией времени , то получим линейное неоднородное уравнение для силы тока :

Найти силу тока для случая, когда и .

Решение. Имеем . Общее решение этого уравнения имеем вид . Используя начальное условие (13), получаем из , так что искомое решение будет

Отсюда видно, что при сила тока стремится к постоянному значению .

Пример 5. Дано семейство интегральных кривых линейного неоднородного уравнения .

Показать, что касательные в соответственных точках к кривым , определяемым линейным уравнением, пересекаются в одной точке (рис. 13).

Решение. Рассмотрим касательную к какой-либо кривой в точке .Уравнение касательной в точке имеет вид

По определению, в соответственных точках является постоянным, а переменным. Беря любые две касательные к линиям в соответственных точках, для координат точки их пересечения, получаем

Отсюда видно, что все касательные к кривым в соответственных точках ( фиксировано) пересекаются в одной и той же точке

Исключая в системе аргумент , получаем уравнение геометрического места точек .

Пример 6. Найти решение уравнения , удовлетворяющее условию: ограничено при .

Решение. Общее решение данного уравнения . Любое решение уравнения, получаемое из общего решения при , будет неограниченно, так как при функция ограничена, а . Отсюда следует, что данное уравнение имеет единственное решение , ограниченное при , которое получается из общего решения при .

Уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид

С помощью замены переменной уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное.

Пример 7. Решить уравнение Бернулли .

Решение. Делим обе части уравнения на :

Делаем замену переменной , откуда . После подстановки последнее уравнение обратится в линейное уравнение

Замечание. Уравнение Бернулли может быть проинтегрировано также методом вариации постоянной, как и линейное уравнение, и с помощью подстановки .

Пример 8. Решить уравнение Бернулли .

Решение. Применим метод вариации произвольной постоянной. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид . Общее решение уравнения ищем в виде , где — новая неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнение, будем иметь

Для нахождения функции получим уравнение с разделяющимися переменными, из которого, разделяя переменные и интегрируя, найдем

Итак, общее решение исходного уравнения .

Некоторые нелинейные уравнения первого порядка с помощью удачно найденной замены переменных сводятся к линейным уравнениям или к уравнениям Бернулли.

Пример 9. Решить уравнение .

Решение. Запишем данное уравнение в виде .

Деля обе части уравнения на , получаем .

Замена приводит это уравнение к линейному , общее решение которого .

Заменяя его выражением через , получаем общий интеграл данного уравнения .

В некоторых уравнениях искомая функция может находиться под знаком интеграла. В этих случаях иногда удается путем дифференцирования свести данное уравнение к дифференциальному.

Пример 10. Решить уравнение 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />.

Решение. Дифференцируя обе части этого уравнения по , получаем

Дифференцируя еще раз по , будем иметь линейное однородное уравнение относительно

Разделяя переменные и интегрируя, найдем . Это решение, как легко проверить, удовлетворяет исходному уравнению.