Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)

Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)

Список математических функций и констант :

• ln(x) — натуральный логарифм

• sh(x) — гиперболический синус

• ch(x) — гиперболический косинус

• th(x) — гиперболический тангенс

• cth(x) — гиперболический котангенс

• sch(x) — гиперболический секанс

• csch(x) — гиперболический косеканс

• arsh(x) — обратный гиперболический синус

• arch(x) — обратный гиперболический косинус

• arth(x) — обратный гиперболический тангенс

• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

• arsch(x) — обратный гиперболический секанс

• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс

Виды нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка

Описание: Дифференциальное уравнение уравнение связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение содержащее производные неизвестной функции является дифференциальным уравнением. Нелинейное дифференциальное уравнение дифференциальное уравнение обыкновенное или с частными производными в которое по крайней мере одна.

Дата добавления: 2015-01-14

Размер файла: 163.25 KB

Работу скачали: 139 чел.

Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

ПГУ им. Т.Г. Шевченко

Виды нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка

студент 211 группы

Бирт Игорь Андреевич

Тирасполь 2014 год

1. Введение 3 стр.

2. Виды дифференциальных уравнений 4 стр.

3. Практическая часть 8 стр.

4. Литература 20 стр.

Дифференциальное уравнение — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением.

Порядок дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на линейные и не линейные.

Нелинейное дифференциальное уравнение — дифференциальное уравнение ( обыкновенное или с частными производными ), в к ото рое по крайней мере о дна из производных неизвестной функции ( включая и производную нулевого порядка — саму неизвестную функцию ) входит нелинейно .

Иногда под Н.Д.У. понимается наиболее общее уравнение определенного вида. Напр ., нелинейнымобыкновенным дифференциальным уравнением 1 — го порядка наз . уравнение с произвольной

функцией при этом линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка соответствует частному случаю

Н . д . у . с частными производными 1-го порядка для неизвестной функции z

от независимых переменных имеет вид:

где F — произвольная функция своих аргументов ;

Виды нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка:

Уравнения с разделенными переменными

Уравнение в полных дифференциалах

Существует такая функция u(x, y) , что

Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах u(x, y) = C.

Функция u может быть представлена в виде

где P(x, y) , Q(x, y) — однородные функции одной и той же степени

Подстановка y = ux , dy = xdu + udx переводит однородное уравнение в линейное относительно функции u :

1. Если прямые и пересекаются в точке

( x 0 ; y 0 ), то замена приводит его к однородному уравнению

2. Если прямые и параллельны, то замена приводит к уравнению с разделяющимися переменными

Подстановкой сводится к линейному

Если известно какое-либо из решений , то уравнение сводится к

Дифференцируя по x и полагая y’ = p , приходим к линейному уравнению относительно x как функции p :

— частный случай уравнения Лагранжа.

Решить дифференциальное уравнение

Данное уравнение является простейшим уравнением Риккати с постоянными коэффициентами. Переменные x, y здесь легко разделяются, так что общее решение уравнения определяется в следующем виде:

Решить уравнение Риккати

Будем искать частное решение в форме:

Подставляя это в уравнение, находим:

Получаем квадратное уравнение для c:

Мы можем выбрать любое значение c. Например, пусть c = 2. Теперь, когда частное решение известно, сделаем замену:

Снова подставим это в исходное уравнение Риккати:

Как видно, мы получили уравнение Бернулли с параметром m = 2. Сделаем еще одну замену:

Разделим уравнение Бернулли на z2 (полагая, что z ≠ 0) и запишем его через переменную v:

Последнее уравнение является линейным и легко решается с помощью интегрирующего множителя:

Общее решение линейного уравнения определяется функцией

Теперь мы будем последовательно возвращаться к предыдущим переменным. Так как z = 1/v, то общее решение для z записывается следующим образом:

Можно переименовать константу: 3C = C1 и записать ответ в виде

где C1 − произвольное действительное число.

Найти все решения дифференциального уравнения

Данное уравнение является уравнением Бернулли с дробным параметром

m = 1/2. Его можно свести к линейному дифференциальному уравнению с помощью замены

Производная новой функции z ( x ) будет равна

Разделим исходное уравнение Бернулли на

Аналогично другим примерам на этой веб-странице, корень y = 0 также является тривиальным решением дифференциального уравнения. Поэтому можно записать:

Заменяя y на z , находим:

Итак, мы имеем линейное уравнение для функции z ( x ). Интегрирующий множитель здесь будет равен

Выберем в качестве интегрирующего множителя функцию u ( x ) = x . Можно проверить, что после умножения на u ( x ) левая часть уравнения будет представлять собой производную произведения z ( x ) u ( x ):

Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения будет определяться выражением:

Возвращаясь к исходной функции y ( x ), записываем решение в неявной форме:

Итак, полный ответ имеет вид:

Уравнения с разделяющимися переменными

Найти все решения дифференциального уравнения

Преобразуем уравнение следующим образом:

Очевидно, что деление на e y не приводит к потере решения, поскольку e y > 0. После интегрирования получаем

Данный ответ можно выразить в явном виде:

В последнем выражении предполагается, что константа C > 0, чтобы удовлетворить области определения логарифмической функции.

Найти частное решение уравнения, при

Перепишем уравнение в следующем виде:

Разделим обе части на 1 + e x :

Поскольку 1 + e x > 0, то при делении мы не потеряли никаких решений. Интегрируем полученное уравнение:

Теперь найдем константу C из начального условия y(0) = 0.

Следовательно, окончательный ответ имеет вид:

Найти общее и особое решения дифференциального уравнения

Полагая y’ = p, его можно записать в виде

Продифференцировав по переменной x, находим:

Заменим dy на pdx:

Приравнивая первый множитель к нулю, получаем:

Теперь подставим это во второе уравнение:

В результате получаем общее решение заданного уравнения Клеро. Графически, это решение представляется в виде однопараметрического семейства прямых. Приравнивая нулю второй сомножитель, находим еще одно решение:

Это уравнение соответствует особому решению дифференциального уравнения и в параметрической форме записывается как

Исключая p из системы, получаем следующее уравнение интегральной кривой:

С геометрической точки зрения, парабола

является огибающей семейства прямых, определяемых общим решением.

Найти общее и особое решения дифференциального уравнения

Введем параметр y’ = p:

Дифференцируя обе части уравнения по переменной x, получаем:

Поскольку dy = pdx, то можно записать:

Рассмотрим случай dp = 0. Тогда p = C. Подставляя это в уравнение, находим общее решение:

Графически это решение соответствует однопараметрическому семейству прямых линий.

Второй случай описывается уравнением

Найдем соответствующее параметрическое выражение для y:

Параметр p можно исключить из формул для x и y. Возводя последние уравнения в квадрат и складывая их, получаем:

Полученное выражение является уравнением окружности радиусом 1, расположенным в начале координат. Таким образом, особое решение представляется единичной окружностью в плоскости xy, которая является огибающей для семейства прямых линий.

1. Н.С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисление», том второй, издательство «Наука», Москва 1985

1. В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001.

1. К.Н. Лунгу, В.П. Норин и др. «Сборник задач по высшей математике», второй курс, Москва: Айрис-пресс, 2007

1. Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.

1. Источники информации в интернете.

Примеры решений задач по дифференциальным уравнениям

Теперь, когда вы научились находить производные и интегралы, самое время перейти к более сложной теме: решению дифференциальных уравнений (они же дифуры, диффуры и диф.уры :)), то есть уравнений, которые вместе с самой функцией (и/или аргументом), содержат и производную или даже несколько.

Как же решать дифференциальные уравнения? Главное, что понадобится, это а) умение правильно определить тип дифференциального уравнения и б) умение хорошо интегрировать — это существенная часть работы. А дальше следовать алгоримам для каждого из типов уравнений, которые подробно описаны в учебниках и ниже в примерах.

В этом разделе вы найдете решенные задачи на составление и решение дифференциальных уравнений. Примеры решений дифуров выложены бесплатно для вашего удобства и отсортированы по темам — изучайте, ищите похожие, решайте свои. Есть трудности в выполнении заданий? Мы готовы оказать помощь по дифференциальным уравнениям

Как решить дифференциальное уравнение онлайн?

Да ладно, неужели только вручную? Мучиться, определять тип, переносить, интегрировать, заменять, снова интегрировать, подставлять, выводить? Наверняка ведь есть онлайн-калькуляторы, которые позволяют решать дифференциальные уравнения?

У меня две новости, хорошая и плохая. Хорошая в том, что действительно самые распространенные типы дифференциальных уравнений математические программы умеют решать. Плохая в том, что обычно они выводят ответ (для научных расчетов этого достаточно), а не полное решение.

Есть известный математический сервис www.wolframalpha.com, которые представляет полные решения множества математических задач, в том числе диффуров онлайн (на английском языке) за 7 долларов в месяц. Ответы же доступны всем и могут помочь проверять правильность своего решения (см. ниже на скриншоте обведено само уравнение и его решение). Подробнее об этом сайте и типичных задачах, решаемых на нем, вы можете узнать тут.

Если вы забьете в поисковик что-то вроде «решить дифференциальное уравнение онлайн», то получите десятки ссылок на сайты, обещающие именно это.

Я проверила все сайты с первых страниц Яндекса и Гугла. Большая часть сайтов использует результаты расчетов www.wolframalpha.com (см. выше) и показывает вам ответ (и рекламу :)). Некоторые при этом не показывают даже ответа или говорят, что уравнение введено некорректно (хотя это вполне стандартное решаемое вручную линейное уравнение с постоянными коэффициентами). Полное решение не выдал ни один сайт.

Выводы? Бесплатно и полно и онлайн — не бывает. Хотите получать полные решения — используйте платную подписку на ВольфрамАльфа (или проконсультируйтесь у нас). Хотите ответы — там же бесплатно. Хотите научиться решать? Придется засучить рукава. Примеры на этой странице и ссылки внизу помогут вам. Удачи!

Общий интеграл, семейство кривых

Задача 1. Показать, что функция $y^2-x^2-Cy=0$ является общим интегралом дифференциального уравнения $y'(x^2+y^2)-2xy=0.$

Задача 2. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых $C_1 x+(y-C_2)^2=0.$

Решения дифференциальных уравнений 1 порядка

Задача 3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка $ xy’+x^2+xy-y=0.$

Задача 4. Решить однородное дифференциальное уравнение $y’=-y/x \quad (x \ne 0).$

Задача 5. Решить дифференциальное уравнение $(y^4-2x^3y)dx+(x^4-2xy^3)dy=0.$

Задача 6. Решить однородное дифференциальное уравнение $(2x+y+1)dx+(x+2y-1)dy=0.$

Задача 7. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка $y’-2xy=3x^2-2x^4.$

Задача 8. Решить дифференциальное уравнение $(x+y^2)y’=y-1.$

Решение задачи Коши для ДУ

Задача 9. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $(1+x^2)dy-2xydx=0.$ Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию $y(0)=1$.

Задача 10. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка $2y y» +1 =(y’)^2, \, y(1/3)=1, \, y'(1/3)=2$.

Задача 11. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения $$ y’= \frac<2y-x><2x+y>, y(1)=1. $$

Задача 12. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения третьего порядка $$ y»’=x+\cos x, \quad y(0)=0, y'(0)=0, y»(0)=0. $$

Решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Задача 13. Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами $y»+4y’+4y=xe^<2x>.$

Задача 14. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации: $$ y»-3y’=\frac<9e^<-3x>><3+e^<-3x>>, \quad y(0)=4\ln 4, y'(0)=3(3\ln 4-1). $$

Cоставление дифференциальных уравнений

Задача 15. Скорость остывания нагретого тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. За 10 минут тело охладилось от 100 до 60 градусов. Температура среды постоянна и равна 20 градусам. Когда тело остынет до 25 градусов?

Задача 16. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 5 м/сек. На полном ходу ее мотор выключается и через 40 сек после этого скорость лодки уменьшается до 2 м/сек. Определить скорость лодки через 2 минуты после остановки мотора, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.

Решения нелинейных дифференциальных уравнений

Задача 17. Решить дифференциальное уравнение $y^2 ^2 -2xyy’+2y^2-x^2=0.$

Задача 18. Решить дифференциальное уравнение $^2-4xyy’+8y^2=0.$