Решить неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами онлайн

Решение линейных дифференциальных уравнений

Пример 1 . Общее решение дифференциального уравнения с правой частью: y» + py’ + qy = R(x) получается с помощью квадратур из общего решения соответствующего уравнения без правой части y» + py’ + qy = 0 где R(x) = e αx [P₁(x)cos(βx) + P₂sin(βx)]

1. Для уравнения y»’ — 4y» + 5y’ – 2y = 2x+3 корнями характеристического уравнения r 3 – 4r 2 + 5r – 2 = 0 являются r=2 кратности 1 и r=1 кратности 2. Следовательно α+β i=0 и не является корнем характеристического уравнения. Поэтому k=0 и частное решение ищем в виде y = cx + d. Так как y’ = 0, y’’ = 0, y’’’ = 0, то, подставляя в уравнение, получаем 5c — 2cx — 2d = 2x + 3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем -2c = 2. -5c – 2d = 3. Следовательно, c=-1, d= -4 и y = -x-4 — частное, а y = -x-4+C₁e x + C₂e 2 x — общее решения уравнения.

2. Для уравнения y»’ — 4y» + 5y’ – 2y = (2x+3)e 2 x число α+β i=2 является корнем характеристического уравнения кратности 1. Поэтому частное решение ищем в виде y = x(cx + d)e 2 x .

3. Для уравнения y’’ + y = cos(x) корнями характеристического полинома r 2 +1 являются числа r = ±i кратности 1. Поэтому частное решение ищем в виде y=x(a₁cosx + a₂ sinx). Тогда
y’ = (a₁ + a₂x)cosx + (a₂ – a₁x)sinx,
y’’ = (2a₂ – a₁x)cosx + (-2a₁-a₂x)sinx
Подставляя в исходное уравнение и приводя подобные, получаем 2a₂ cosx – 2a₁sinx = cosx, откуда a₁ = 0;a₂=0,5.

4. Найти общее решение уравнения: y» — 3y’ + 2y = x 2 + 3x
Находим решение однородного уравнения y» — 3y’ + 2y = 0.
Характеристическое уравнение: r 2 -3r+2=0 имеет корни r₁= 1, r₂= 2.
Общее решение уравнения без правой части равно: y_Общ = C₁e x + C₂e 2x
Правая часть уравнения имеет вид R(x) = P(x)e αx , причем P(x) = x 2 + 3x и число α = 0 не является корнем характеристического уравнения. Ищем решение вида: y * = Ax 2 + Bx + C Находим y»,y’, которые подставляем в равенство:
2Ax 2 + (2B — 6A)x + 2C — 3B + 2A = x 2 + 3x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему:
2A = 1; 2B — 6A = 3; 2C — 3B + 2A = 0,
из которых находим: A = 1/2, B = 3, C = 4, так что
y * = x 2 /2 + 3x + 4
Общее решение дифференциального уравнения есть: y = y_Общ + y * = C₁e x + C₂e 2x + x 2 /2 + 3x + 4

5. Найти общее решение уравнения: y» — 3y’ = x 2 + 3x
Характеристическое уравнение: r 2 — 3r = 0 имеет корни r₁= 3, r₂= 0.
Общее решение уравнения без правой части равно: y_Общ = C₁e 3x + C₂e 0 = C₁e 3x + C₂ Правая часть уравнения имеет вид R(x) = P(x)e αx , причем P(x) = x 2 + 3x и число α = 0 является однократным корнем характеристического уравнения. Ищем решение вида: y * = x(Ax 2 + Bx + C) Находим y»,y’, которые подставляем в равенство y» — 3y’ = x 2 + 3x.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему:
-9A = 1, -6B + 6A = 3, -3C + 2B = 0,
из которых находим: A = -1/9, B = -11/18, C = -11/27, так что
y * = x 2 /9 — 11x/18 -11/27
Общее решение дифференциального уравнения есть: y = y_Общ + y * = C₁e 3x + C₂ + x 2 /9 — 11x/18 -11/27

Пример 2 . Решить дифференциальное уравнение 8y» +2y’ — 3y = 0.
Решение. Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
8r 2 +2r — 3 = 0
D = 2 2 — 4·8·(-3) = 100
,
Корни характеристического уравнения: r₁ = 1 /₂, r₂ = -3 /₄
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y₁ = e 1/ 2x , y₂ = e -3/ 4x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Найдем частное решение при условии: y(0) = -6, y'(0) = 7
Поскольку y(0) = c₁+c₂, то получаем первое уравнение:
c₁+c₂ = -6
Находим первую производную:
y’ = 1 /₂•c₁•e 1/ 2•x — 3 /₄•c₂•e -3/ 4•x
Поскольку y'(0) = 1 /₂•c₁— 3 /₄•c₂, то получаем второе уравнение:
1 /₂•c₁— 3 /₄•c₂ = 7
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c₁+c₂ = -6
1 /₂•c₁— 3 /₄•c₂ = 7
которую решаем или методом матриц или методом исключения переменных.
c₁ = 2, c₂ = -8
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Дифференциальные уравнения по-шагам

Результат

Примеры дифференциальных уравнений

• Простейшие дифференциальные ур-ния 1-порядка
• Дифференциальные ур-ния с разделяющимися переменными
• Линейные неоднородные дифференциальные ур-ния 1-го порядка
• Линейные однородные дифференциальные ур-ния 2-го порядка
• Уравнения в полных дифференциалах
• Решение дифференциального уравнения заменой
• Смена y(x) на x в уравнении
• Другие

Указанные выше примеры содержат также:

• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x)
• число Пи pi
• комплексное число i

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5

Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:

Задача Коши онлайн

Данная задача возникает при поиске частного решения дифференциального уравнения. Наш онлайн калькулятор, построенные на основе системы Wolfram Alpha, позволяет найти решение задачи Коши для различных типов дифференциальных уравнений. Чтобы начать работу, необходимо ввести данные своей задачи (дифференциальное уравнение и начальные условия) в калькулятор.

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения:

при заданных начальных условиях:

При постановке задачи Коши, указываются так называемые начальные условия, позволяющие однозначно выделить искомое частное решение из общего. Эти условия включают в себя значения функции и всех её производных до включительно (где -порядок дифференциального уравнения), заданные в одной и той же точке .

Поясним вышесказанное на конкретном примере. Пусть нам требуется найти частное решение дифференциального уравнения:

удовлетворяющее начальным условиям:

Первым делом, используя различные методы (Бернули, вариации произвольной постоянной Лагранжа), сначала находим общее решение данного дифференциального уравнения:

Теперь, для поиска частного решения, нам необходимо использовать заданные начальные условия. Для этого, находим производную функции полученной ранее:

Далее, поставляем начальные условия в функцию и её производную :

Решая полученную систему уравнений получаем значения произвольных постоянных и :

Подставляем полученные результаты в общее решение дифференциального уравнения, в результате получаем искомое частное решение:

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий:

Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме