Решить неравенство и уравнение с синусом

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение тригонометрических неравенств.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое неравенство. Программа для решения тригонометрического неравенства не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите тригонометрическое неравенство
Решить неравенство

Немного теории.

Тригонометрические неравенства

Неравенства вида \( \sin x > a \) и \( \sin x

Пусть дано простейшее неравенство \( \sin x > a \).
1) При \(-1 1 \) решением неравенства является любое действительное число: \( x \in \mathbb \)
3) При \(а = 1 \) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( \frac<\pi> <2>+ 2\pi k, \; k \in \mathbb \)
4) При \(а \leqslant -1 \) неравенство не имеет решений.

Неравенства вида \( \cos x > a \) и \( \cos x

Пусть дано простейшее неравенство \( \cos x > a \).
1) При \(-1 1\) решением неравенства является любое действительное число: \( x \in \mathbb \)
3) При \(a \leqslant -1\) неравенство не имеет решений.
4) При \(a = 1\) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( 2\pi k, \; k \in \mathbb \)

Неравенства вида \( tg \;x > a \) и \( tg \;x

Пусть дано простейшее неравенство \( tg \;x > a \).
Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb \) решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left(arctg \;a + \pi k; \;\; \frac<\pi> <2>+ \pi k \right), \; k \in \mathbb $$

Пусть дано простейшее неравенство \( tg \;x

Неравенства вида \( ctg \;x > a \) и \( ctg \;x

Пусть дано простейшее неравенство \( ctg \;x > a \).
Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb \) решение неравенства будет таким:
$$ x \in ( \pi k; \;\; arcctg \;a + \pi k ), \; k \in \mathbb $$

Пусть дано простейшее неравенство \( ctg \;x

Решение тригонометрических неравенств

ПРИМЕР 1. Решим неравенство \( \sin x > \frac<1> <2>\).
Так как \( -1 \frac<1> <2>\).
Так как \( -1 1 \).
Очевидно, что решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left(\frac<\pi> <4>+ \pi k; \;\; \frac<\pi> <2>+ \pi k\right), \; k \in \mathbb $$

ПРИМЕР 6. Решим неравенство \( tg \;x \frac<\sqrt<3>> <3>\).
Очевидно, что решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left( \pi k; \;\; \frac<\pi> <3>+ \pi k \right), \; k \in \mathbb $$

ПРИМЕР 8. Решим неравенство \( ctg \;x

Здравствуй, уважаемый посетитель!

Меня зовут Александр Бабаев. И это мой сайт.Он посвящён не только математике. Вы найдёте здесь много интересных и полезных, я надеюсь, для себя вещей.
Кроме того, что здесь выкладываются интересные задачки, разбираются непонятные моменты и осуществляется помощь в решении трудных задач, на сайте выкладывается фото и видео мероприятий, которые я провожу, в блоге вы найдёте обсуждение различных проблем с которыми я сталкиваюсь и могу поделиться с вами, дорогой посетитель.
Для моих замечательных студентов есть специальный раздел, где они могут посмотреть всё, что им нужно для овладевания курсом математики.
Более того, в специальных разделах я публикую мои рецензии на просмотренные мной фильмы и игры.

Простейшие тригонометрические неравенства

п.1. Решение неравенств с синусом

Алгоритм решения неравенства \(sinx\gt a\)

Шаг 1. В числовой окружности на оси синусов отметить точку с ординатой \(a\). Провести горизонталь \(y=a\), отметить точки её пересечения с окружностью.

Шаг 2. Решить уравнение \(sin⁡x=a\). Про решение простейших тригонометрических уравнений – см. §19 данного справочника. Полученные базовые решения являются значениями точек пересечения, подписать их.

Шаг 3. Дуга числовой окружности над проведенной горизонталью – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: \((arcsina+2\pi k;\ \pi-arcsin a+2\pi k)\)

$$ sin x\gt \frac12 $$ 1. Проводим горизонталь \(y=\frac12\), отмечаем точки пересечения (незакрашенные, т.к. неравенство строгое). 2. Решаем уравнение \(sinx=\frac12\) \begin x=(-1)^k\frac\pi6+\pi k= \left[ \begin \frac\pi6+2\pi k\\ \frac<5\pi><6>+2\pi k \end \right. \end Подписываем точку справа \(\frac\pi6\) и точку слева \(\frac<5\pi><6>\). 3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: \((\frac\pi6;\ \frac<5\pi><6>)\). Добавляем к концам интервала полный период. Ответ: \(\left(\frac\pi6;+2\pi k;\ \frac<5\pi><6>+2\pi k\right)\)

Алгоритм решения неравенства \(sinx\geq a\) будет таким же, только точки на числовой окружности будут закрашенными, и в ответе будет отрезок (с квадратными скобками).

Алгоритм решения неравенства \(sin⁡x\lt a\) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу под горизонталью \(y=a\). При этом не забываем, что дугу нужно обходить в сторону возрастания. Поэтому угол слева пишут отрицательным (отсчитывая период назад).

Наконец, в неравенстве \(sin⁡x\leq a\) всё будет то же, что и в \(sin⁡x\lt a\). Только точки на концах будут закрашенными и войдут в ответ (с квадратными скобками).

$$ sin x\leq -\frac<\sqrt<2>> <2>$$ 1. Проводим горизонталь \(y=-\frac<\sqrt<2>><2>\), отмечаем точки пересечения (закрашенные, т.к. неравенство нестрогое). 2. Решаем уравнение \(sinx=-\frac<\sqrt<2>><2>\) \begin x=(-1)^k\left(-\frac\pi4\right)+\pi k= \left[ \begin -\frac<3\pi><4>+2\pi k\\ -\frac<\pi><4>+2\pi k \end \right. \end Подписываем точку справа \(-\frac<3\pi><4>\) и точку слева \(-\frac<\pi><4>\). 3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем отрезок: \(\left[-\frac<3\pi><4>;-\frac<\pi><4>\right]\). Добавляем к концам отрезка полный период. Ответ: \(\left[-\frac<3\pi><4>+2\pi k;-\frac<\pi><4>+2\pi k\right]\)

п.2. Решение неравенств с косинусом

Алгоритм решения неравенства \(cosx\gt a\)

Шаг 1. В числовой окружности на оси косинусов отметить точку с абсциссой \(a\). Провести вертикаль \(x=a\), отметить точки её пересечения с окружностью.

Шаг 2. Решить уравнение \(cos⁡x=a\). Полученные базовые решения являются значениями точек пересечения, подписать их.

Шаг 3. Дуга числовой окружности справа от проведенной вертикали – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: \((-arccos⁡a+2\pi k;\ arccos⁡a+2\pi k)\)

$$ cosx\gt \frac<\sqrt<3>> <2>$$ 1. Проводим вертикаль \(x=\frac<\sqrt<3>><2>\), отмечаем точки пересечения (незакрашенные, т.к. неравенство строгое). 2. Решаем уравнение \(cosx=\frac<\sqrt<3>><2>\) \begin x=\pm\frac\pi6+2\pi k \end Подписываем точку снизу \(-\frac\pi6\) и точку сверху \(\frac<\pi><6>\). 3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: \(\left(-\frac\pi6;\frac\pi6\right)\). Добавляем к концам интервала полный период. Ответ: \(\left(-\frac\pi6;+2\pi k;\ \frac<\pi><6>+2\pi k\right)\)

Алгоритм решения неравенства \(cosx\geq a\) будет таким же, только точки на числовой окружности будут закрашенными, и в ответе будет отрезок (с квадратными скобками).

Алгоритм решения неравенства \(cosx\lt a\) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу слева от вертикали \(x=a\). При этом не забываем, что дугу нужно обходить в сторону возрастания, сверху вниз. Значение угла снизу должно быть больше, чем угла сверху.

Наконец, в неравенстве \(cos⁡x\leq a\) всё будет то же, что и в \(cosx\lt a\). Только точки на концах будут закрашенными и войдут в ответ (с квадратными скобками).

п.3. Решение неравенств с тангенсом

Алгоритм решения неравенства \(tgx\gt a\)

Шаг 1. На оси тангенсов (касательной к числовой окружности в точке (1,0)) отметить точку с ординатой \(a\). Провести луч из начала координат через отмеченную точку, отметить точку её пересечения с окружностью.

Шаг 2. Решить уравнение \(tg⁡x=a\). Полученное базовое решение является значением точки пересечения.

Шаг 3. Дуга числовой окружности от отмеченной точки до \(\frac\pi2\) (в которой \(tgx\rightarrow +\infty\)) – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: \(\left(arctga+\pi k;\ \frac\pi2+\pi k\right)\)

$$ tg x\gt -\frac<1><\sqrt<3>> $$ 1. На оси тангенсов отмечаем точку \(-\frac<1><\sqrt<3>>\). Проводим луч из начала координат через эту точку. 2. Решаем уравнение \(tgx=-\frac<1><\sqrt<3>>\) \begin x=-\frac\pi6+\pi k \end Подписываем точку снизу \(-\frac\pi6.\) Верхней границей интервала будет \(\frac\pi2\), угол, в котором \(tgx\rightarrow +\infty .\) 3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: \(\left(-\frac\pi6;\frac\pi2\right)\). Добавляем к концам интервала период для тангенса. Строго говоря, на числовой окружности длиной \(2\pi\) получим две дуги для тангенса с периодом \(\pi\). Ответ: \(\left(-\frac\pi6;+\pi k;\ \frac<\pi><2>+\pi k\right)\)

Алгоритм решения неравенства \(tg⁡x\lt a\) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу от точки \(-\frac\pi2\) (в которой \(tgx\rightarrow -\infty\)) до найденного арктангенса.

Для нестрогих неравенств будут получаться полуинтервалы, в которых точки \(\pm\frac\pi2\) (\(tgx\rightarrow \pm\infty\)) будут ограничены круглой скобкой, а найденные арктангенсы – квадратной.

п.4. Решение неравенств с котангенсом

Решение неравенств с котангенсом аналогично решению с тангенсом. Для решения используется ось котангенсов (касательная к числовой окружности в точке (0;1)).

В неравенствах вида \(ctgx\gt a\) пределу \(ctgx\rightarrow +\infty\) соответствует угол 0.

В неравенствах вида \(ctgx\lt a\) пределу \(ctgx\rightarrow -\infty\) соответствует угол \(\pi\).

п.5. Примеры

Пример 1. Решите неравенства:

a) \(sinx\leq \frac<\sqrt<2>><2>\) $$ x\in\left[-\frac<5\pi><4>+2\pi k;\ \frac<\pi><4>+2\pi k\right] $$	б) \(cosx\lt -\frac<1><2>\) $$ x\in\left(\frac<2\pi><3>+2\pi k;\ \frac<4\pi><3>+2\pi k\right) $$
в) \(sinx\gt -\frac<\sqrt<3>><2>\) $$ x\in\left(-\frac<\pi><3>+2\pi k;\ \frac<4\pi><3>+2\pi k\right] $$	г) \(tgx\geq 1\) $$ x\in\left.\left(-\frac<\pi><2>+\pi k;\ \frac<\pi><4>+\pi k\right.\right] $$

Пример 2*. Решите неравенства:

a) \(cosx\gt -1\) Справа от вертикали \(x=-1\) расположена вся числовая окружность, кроме точки \(\pi\).

Ответ: \(x\ne \pi+2\pi k\)б) \(4cos^2\frac x2-3\leq 0\)
\(4\cdot \frac<1+cosx><2>\leq 3\)
\(2+2cosx\leq 3\)
\(cosx\leq\frac12\)

Ответ: \(\left[\frac\pi3+2\pi k;\ \frac<5\pi><3>+2\pi k\right]\)

в) \(-\sqrt<3>\lt tgx\leq 5\)
\(-arctg\sqrt<3>+\pi k\lt x\leq arctg5+\pi k\)
\(-\frac\pi3+\pi k\lt x\leq arctg5+\pi k\)
Ответ: \(\left.\left(-\frac<\pi><3>+\pi k;\ arctg5+\pi k\right.\right]\)

г) \(tg\left(x-\frac\pi4\right)\gt\sqrt<3>\)
\(arctg\sqrt<3>+\pi k\lt x-\frac\pi4\lt\frac\pi2+\pi k\)
\(\frac\pi4+\frac\pi3+\pi k\lt x\lt\frac\pi4+\frac\pi2+\pi k\)
\(\frac<7\pi><12>+\pi k\lt x\lt\frac<3\pi><4>+\pi k\)
Ответ: \(\left(\frac<7\pi><12>+\pi k;\ \frac<3\pi><4>+\pi k\right)\)