Как решить однородное дифференциальное уравнение
Чтобы решить однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка, используют подстановку u=y/x, то есть u — новая неизвестная функция, зависящая от икса. Отсюда y=ux. Производную y’ находим с помощью правила дифференцирования произведения: y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (так как x’=1). Для другой формы записи: dy=udx+xdu.После подстановки уравнение упрощаем и приходим к уравнению с разделяющимися переменными.
Примеры решения однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка.
1) Решить уравнение
Проверяем, что это уравнение является однородным (см. Как определить однородное уравнение). Убедившись, делаем замену u=y/x, откуда y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Подставляем: u’x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Так как логарифм произведения равен сумме логарифмов, ln(ux)=lnu+lnx. Отсюда
u’x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). После приведения подобных слагаемых: u’x+u=u(1+lnu). Теперь раскрываем скобки
u’x+u=u+u·lnu. В обеих частях стоит u, отсюда u’x=u·lnu. Поскольку u — функция от икса, u’=du/dx. Подставляем,
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные, для чего обе части умножаем на dx и делим на x·u·lnu, при условии, что произведение x·u·lnu≠0
В левой части — табличный интеграл. В правой — делаем замену t=lnu, откуда dt=(lnu)’du=du/u
ln│t│=ln│x│+C. Но мы уже обсуждали, что в таких уравнениях вместо С удобнее взять ln│C│. Тогда
ln│t│=ln│x│+ln│C│. По свойству логарифмов: ln│t│=ln│Сx│. Отсюда t=Cx. ( по условию, x>0). Пора делать обратную замену: lnu=Cx. И еще одна обратная замена:
По свойству логарифмов:
Это — общий интеграл уравнения.
Вспоминаем условие произведение x·u·lnu≠0 (а значит, x≠0,u≠0, lnu≠0, откуда u≠1). Но x≠0 из условия, остается u≠1, откуда x≠y. Очевидно, что y=x ( x>0) входят в общее решение.
2) Найти частный интеграл уравнения y’=x/y+y/x, удовлетворяющий начальным условиям y(1)=2.
Сначала проверяем, что это уравнение является однородным (хотя наличие слагаемых y/x и x/y уже косвенно указывает на это). Затем делаем замену u=y/x, откуда y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Подставляем полученные выражения в уравнение:
u’x=1/u. Так как u — функция от икса, u’=du/dx:
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Чтобы разделить переменные, умножаем обе части на dx и u и делим на x (x≠0 по условию, отсюда u≠0 тоже, значит, потери решений при этом не происходит).
и поскольку в обеих частях стоят табличные интегралы, сразу же получаем
Выполняем обратную замену:
Это — общий интеграл уравнения. Используем начальное условие y(1)=2, то есть подставляем в полученное решение y=2, x=1:
3) Найти общий интеграл однородного уравнения:
(x²-y²)dy-2xydx=0.
Замена u=y/x, откуда y=ux, dy=xdu+udx. Подставляем:
(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Выносим x² за скобки и делим на него обе части (при условии x≠0):
(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Раскрываем скобки и упрощаем:
xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Группируем слагаемые с du и dx:
(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Выносим общие множители за скобки:
x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Разделяем переменные:
x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Для этого обе части уравнения делим на xu(u²+1)≠0 (соответственно, добавляем требования x≠0 (уже отметили), u≠0):
В правой части уравнения — табличный интеграл, рациональную дробь в левой части раскладываем на простые множители:
(или во втором интеграле можно было вместо подведения под знак дифференциала сделать замену t=1+u², dt=2udu — кому какой способ больше нравится). Получаем:
По свойствам логарифмов:
Вспоминаем условие u≠0. Отсюда y≠0. При С=0 y=0, значит, потери решений не происходит, и y=0 входит в общий интеграл.
Можно получить запись решения в другом виде, если слева оставить слагаемое с x:
Геометрический смысл интегральной кривой в этом случае — семейство окружностей с центрами на оси Oy и проходящих через начало координат.
Задания для самопроверки:
Так как u=y/x, u²=y²/x², то есть y²=u²x²,
2) Проверив, что данное уравнение является однородным, делаем замену y=ux, отсюда y’=u’x+u. Подставляем в условие:
Делим обе части уравнения на x:
Интегрируем обе части:
и, умножив на x обе части уравнения, получаем:\
Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)
Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5
Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin
Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)
Список математических функций и констант :
• ln(x) — натуральный логарифм
• sh(x) — гиперболический синус
• ch(x) — гиперболический косинус
• th(x) — гиперболический тангенс
• cth(x) — гиперболический котангенс
• sch(x) — гиперболический секанс
• csch(x) — гиперболический косеканс
• arsh(x) — обратный гиперболический синус
• arch(x) — обратный гиперболический косинус
• arth(x) — обратный гиперболический тангенс
• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс
• arsch(x) — обратный гиперболический секанс
• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс
Однородные уравнения первого порядка
Вы будете перенаправлены на Автор24
Понятие однородного уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка, представленное в стандартном виде $y’=f\left(x,y\right)$, является однородным, если его правая часть зависит не просто от переменных $x$ и $y$, а от отношения функции $y$ к независимой переменной $x$, то есть $ f (x,y) = f (x/y)$.
Зависимость функции от отношения $\frac
Общий метод решения
Однородное дифференциальное уравнение $y’=f (x/y)$ решают посредством применения замены $\frac
Представим замену в виде $y=u\cdot x$ и продифференцируем её: $\frac
Полученное дифференциальное уравнение представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Действительно, после элементарных преобразований его можно представить в виде $\frac
Готовые работы на аналогичную тему
Сначала вычисляем интеграл $I_ <1>=\int f_ <1>\left(x\right)\cdot dx $. Получаем: $I_ <1>=\int \frac<1>
Окончательно получаем: $\int \frac
Общий метод решения можно представить в виде следующего алгоритма:
- В первую очередь убеждаемся, что решаемое дифференциальное уравнение является однородным. Для этого нужно представить его в стандартном виде $y’=f\left(x,y\right)$, после чего в функции $f\left(x,y\right)$ переменные $x$ и $y$ заменить на $t\cdot x$ и $t\cdot y$ соответственно. Если после элементарных тождественных преобразований удается вернуться к той же функции $f\left(x,y\right)$, то данное дифференциальное уравнение является однородным и $ f (x,y) = f (x/y)$. Если добиться этого оказалось невозможным, то данное дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
- Находим $f\left(u\right)$, выполнив для функции $f (x/y)$ замену $y=u\cdot x$, после чего записываем функцию $f\left(u\right)-u$.
- Находим интеграл $I=\int \frac
$ и записываем общее решение в виде $I=\ln \left|x\cdot C\right|$. - Выполняем обратную замену $u=\frac
$ и проводим упрощающие тождественные преобразования. - Находим особые решения, которые могли быть утрачены при разделении переменных.
Решение типичных задач
Найти общее решение дифференциального уравнения $y’=2+\frac
По внешнему виду данного дифференциального уравнения его можно сразу отнести к однородному.
Для функции $f (x/y)=2+\frac
Записываем общее решение в виде $\frac <2>=\ln \left|x\cdot C\right|$.
Выполняем обратную замену $u=\frac
Так как $f\left(u\right)-u=2$, то особых решений данное дифференциальное уравнение не имеет.
Найти общее решение дифференциального уравнения $x\cdot y’=5\cdot y+x$.
Приводим данное дифференциальное уравнение к стандартному виду $y’=5\cdot \frac
Для функции $f (x/y)=5\cdot \frac
Записываем функцию $f\left(u\right)-u=5\cdot u+1-u=4\cdot u+1$.
Находим интеграл $I=\int \frac
Записываем общее решение в виде $\frac<1> <4>\cdot \ln \left|4\cdot u+1\right|=\ln \left|x\cdot C\right|$, откуда $\ln \left|4\cdot u+1\right|=\ln \left|x\cdot C\right|^ <4>$; $4\cdot u+1=x^ <4>\cdot C^ <4>$ или просто $4\cdot u+1=C\cdot x^ <4>$.
Выполняем обратную замену $u=\frac
Таким образом, общее решение имеет вид: $4\cdot y+x=C\cdot x^ <5>$.
Решая уравнение $f\left(u\right)-u=4\cdot u+1=0$ или $4\cdot \frac
Однако это же решение можно получить из общего решения $4\cdot y+x=C\cdot x^ <5>$, положив в нём $C=0$.
Таким образом, окончательный результат: $4\cdot y+x=C\cdot x^ <5>$.
Уравнения, приводящиеся к однородным
При определенных условиях дифференциальное уравнение вида $y’=\frac
Если $\Delta \equiv \left|\begin
Так как $\Delta \ne 0$, то эта система имеет единственное решение, которое проще всего найти по формулам Крамера.
Используя найденные выражения для $x=m+\alpha $ и $y=n+\beta $, получим дифференциальное уравнение $\frac
http://mathdf.com/dif/ru/
http://spravochnick.ru/matematika/differencialnye_uravneniya/odnorodnye_uravneniya_pervogo_poryadka/