Решить однородные уравнения 1 5

Однородные уравнения и неравенства

Однородные уравнения – это уравнения, в которых все слагаемые имеют одинаковую суммарную степень.

Однородные неравенства – это неравенства, в которых все слагаемые имеют одинаковую суммарную степень.

Пример. Решить уравнение \(\sin⁡x=\sqrt<3>\cos⁡x\).

Перед нами типичное однородно-тригонометрическое уравнение. Надо разделить уравнение на cos⁡x, но делить на число равное нулю нельзя, поэтому проверим, является ли \(\cos⁡x=0\) решением уравнения. Если \(\cos⁡x=0\), то \(\sin⁡x=±1\). Очевидно, что \(±1≠0\).

Теперь с чистой совестью поделим уравнение на \(\cos⁡x\)

Заметьте, что в этом примере перед тем, как делить на \(\cos⁡x\), была сделана проверка — является ли \(\cos⁡x=0\) решением уравнения. Нужно каждый раз проверять, является ли выражение, на которое вы хотите поделить, решением. Иначе вы рискуете потерять корни уравнения .

Пример. Решить уравнение \(7\cdot 9^+5\cdot 6^-48\cdot 4^=0\).

Показатели степеней в уравнении похожи – в каждом есть \(x^2-3x\). Давайте сделаем их одинаковыми.
Представим \(48\cdot 4^\) как \(12\cdot 4^1\cdot 4^\).

Получился классический вид однородного уравнения.
Поделим уравнение на \(4^\) .
Положительное число в степени никогда не будет равно нулю, поэтому проверку можно не делать.

Обратите внимание: \((\frac<3><2>)^2\) \(=\) \(\frac<9><4>\) . С учетом этого сделаем замену.

Положительное число в любой степени всегда больше нуля, поэтому \(t>0\). Отметим это в решении, чтобы не забыть.

Учебное занятие «Однородные уравнения и уравнения, сводимые к однородным»

Разделы: Математика

Дидактическая цель: Создать условия для осознания и осмысления новой информации и успешного применения ранее полученных знаний.

Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления нового материала.

Триединая дидактическая цель:

Образовательная:

продолжить формирование знаний по решению тригонометрических уравнений и умения применять эти знания в стандартной ситуации;
создавать условия для выработки умений применять известные алгоритмы в стандартной ситуации.

Развивающая:

создавать условия для развития аналитических навыков при решении однородных тригонометрических уравнений.

Воспитательная:

создание условий для качественного выполнения работы;
воспитание воли и упорства в достижении поставленной цели.

Технология проблемного обучения

Форма организации учебной деятельности — индивидуальная, фронтальная.

Конспект занятия

I. Математический диктант с самопроверкой (актуализация знаний)

Карточки с уравнениями на магнитах крепятся к доске. Ответы ученики пишут в тетрадях.

Уравнение

cos x = 0

sin x = 0

tg x = —

tg x = — 1

sin x = — 1

ctg x = —

tg x = 1

cos x = 1

ctg x = —

tg x =

Ответ	Уравнение	Ответ
x = + n, nZ	x = n, nZ
x = — + n	x = — + n
x = — + 2n	x = + n
x = + n	x = 2n
x = + n	x = +n

II. Изучение нового материала

A. sin x — cos x = 0 — однородное уравнение первой степени.

Заканчивая предыдущий урок, я сказала, что пока мы не умеем решать такое уравнение, но некоторые сомневались и предлагали разделить обе части уравнения на cos x. Сохранится ли равносильность? Может быть, решения уравнения cos x = 0 являются решениями данного уравнения? Нет! Почему? Как это доказать?

Если cos x = 0 , то sin x — 0 = 0 sin x = 0, что невозможно, т.к. теряет смысл тождество sin 2 x + cos 2 x = 1. Синус и косинус одного и того же аргумента не могут быть равны 0 одновременно. Следовательно, при делении на cos x получаем уравнение, равносильное данному.

sin x — cos x = 0 | : cos x

tg x — = 0; tg x = ; x = + n, n Z

(Ответ: x = + n, nZ)

Если это неубедительно, то обратимся к квадратному уравнению у 2 — у = 0; если разделим его на у, то потеряем корень 0.

Можно ли делить на sin x? Если делить на sin x, то выдвигать условие sin x 0. Будут ли значения x, при которых sin x = 0, корнями данного уравнения? Нет! Если sin x = 0, то cos x = 0 , что невозможно, т.к. теряет смысл основное тригонометрическое тождество sin 2 x + cos 2 x = 1.

Учащиеся изучают “Материалы к уроку”.

Материалы к уроку (раздаются каждому ученику)

Тема урока: “Однородные уравнения и уравнения, сводимые к однородным”

a·sin 2 x + b·sin x·cos x + c·cos 2 x = 0,

a·sin 3 x + b·sin 2 x·cos x + c·sin x·cos 2 x + d·cos 3 x = 0 и т.д.,

где a, b, с, d — действительные числа, называют однородными относительно sin x и cos x.

2. Сумма показателей степеней при sin x и cos x у всех членов такого уравнения одинакова. Эта сумма называется степенью однородного уравнения. Рассмотренные уравнения имеют соответственно первую, вторую и третью степень.

3. Делением на cos k x, где k — степень однородного уравнения, уравнение приводится к алгебраическому относительно функции tg x.

4. Разделим обе части уравнения на cos x. Значения x, при которых cos x = 0, не являются решениями данного уравнения, т.к. если cos х = 0, то и sin x должен обращаться в 0, а косинус и синус одного аргумента не могут быть равны нулю одновременно. Следовательно, при делении на cos x получаем уравнение, равносильное данному.

5. Например, sin x — cos x = 0. Если cos x = 0, то sin x — ·0 = 0 sin x = 0, что невозможно, т.к. теряет смысл основное тригонометрическое тождество sin 2 x + cos 2 x = l.

B. sin 2 x + sin x cos x — 2cos 2 x = 0 — однородное II степени.

sin 2 x + sin x cos x — 2cos 2 x = 0 | : cos 2 x

cos 2 x 0, т.к. если cos x = 0, то sin 2 x + sin x ·0 — 2 ·0 = 0 sin x = 0, что невозможно (противоречит основному тригонометрическому тождеству).

tg 2 x + tg x — 2 = 0

Пусть tg x = t, тогда t 2 + t — 2 = 0.

В полученном квадратном уравнении a + b + c = 0, значит, t₁ = 1, t₂ = — 2.

tg x = 1 или tg x = — 2

x = + n, nZ; x = — arctg 2 + k, kZ

Ответ: x = + n, nZ; x = — arctg 2 + k, kZ

C. sin x cos x — 3cos 2 x + 1 = 0. Является ли уравнение однородным?

Нет, т.к. слагаемое 1 — нулевой степени. Следовательно, чтобы привести это уравнение к однородному необходимо заменить 1 на sin 2 x + cos 2 x.

sin x cos x — 3cos 2 x + sin 2 x + cos 2 x = 0

sin 2 x + sin x cos x — 2 cos 2 x = 0 | : cos 2 x

tg 2 x + tg x — 2 = 0 и т.д. (см. пример B).

D. 4 sin 2 x + sin x cos x + cos 2 x = 3 — уравнение не является однородным.

4 sin 2 x + sin x cos x + cos 2 x = 3(sin 2 x + cos 2 x)

4 sin 2 x + sin x cos x + cos 2 x — 3 sin 2 x — 3 cos 2 x = 0

sin 2 x + sin x cos x — 2 cos 2 x = 0 | : cos 2 x однородное II степени

tg 2 x + tg x — 2 = 0 и т.д. (см. пример B).

E. sin 2 x + 3sin x cos x — 8cos 2 x = — 2 — уравнение не является однородным.

sin 2 x + 3sin x cos x — 8cos 2 x + 2(sin 2 x + cos 2 x) = 0

3sin 2 x + 3sin x cos x — 6cos 2 x = 0 | : 3

sin 2 x + sin x cos x — 2 cos 2 x = 0 | : cos 2 x однородное II степени

tg 2 x + tg x — 2 = 0 и т.д. (см. пример B)

III. Устная работа

Указать прием решения уравнения:

2) 3sin 2 x — 4sin x cos x + cos 2 x = 0

3) sin 3 x cos x — 2sin 2 x cos 2 x = 3sin x cos 3 x — 6cos 4 x

4) sin 2 x + sin 2x = 0 (sin 2 x + 2sin x cos x = 0)

5) cos 2 x + sin 2x = 0 (cos 2 x + 2sin x cos x = 0)

IV. Неполные однородные уравнения

Уравнения 4) и 5) из устной работы два ученика решают одновременно на доске.

Традиционная ошибка школьников при решении неполных однородных уравнений II степени делением на одну из функций — потеря корней. Решая уравнения разложением на множители оба ученика получают две серии корней. А при решении новым способом (деление на функцию) у одного получаются две серии корней, а у другого — одна. В чём ошибка?

После обсуждения проблемы сформулировали вывод: “дели на то, чего мало”.

sin 2 x + 2sin x cos x = 0.

разложим левую часть уравнения на множители

sin x = 0 или sin x + 2cos x = 0 | : cos x (получили однородное уравнение I степени)

x = n, nZ; tg x = — 2; x = — arctg 2 + k, kZ

Ответ: x = n, nZ; x = — arctg 2 + k, kZ

Решаем данное уравнение как однородное II степени

sin 2 x + 2sin x cos x = 0 | : cos 2 x

tg 2 x + 2tg x = 0

tg x = 0 или tg x + 2 = 0

x = n, nZ; tg x = — 2; x = — arctg2 + k, kZ

cos 2 x + 2sin x cos x = 0.

I способ (решаем как однородное уравнение II степени):

cos 2 x + 2sin x cos x = 0 | : sin 2 x (“дели на то, чего мало”)

если sin x = 0, то cos 2 x + 2·0·cos x = 0 U сos x = 0,что невозможно

сtg 2 x + 2сtg x = 0

сtg x = 0 или сtg x + 2 = 0

х = + n, nZ; x = — arcctg 2 + k, kZ.

Ответ: х = + n, nZ; x = — arcctg 2 + k, kZ

II способ для проверки (решаем разложением на множители):

cos x (cos x + 2sin x ) = 0

cos x = 0 или cos x + 2sin x = 0 | : cos x

х = + n, nZ; 1 + 2tg x = 0 ; tg x = — ;

x = — arctg + k, kZ

V. Самостоятельная работа

1)sin x — cos x = 0

1)sin x + cos x = 0

2)3cos 2 x — 5sin 2 x — 2sin x cos x = 0

2)3cos 2 x = 4sin x cos x — sin 2 x

3)6sin 2 x + sin 2x — 5cos 2 x = 2

3)6sin 2 x + sin 2x — cos 2 x = 2

4)sin 2 ( + x) + 3 cos 2 ( + x) =1

4)4 cos 2 — sin x + 5sin 2 = 3

5)2sin x + cos x = 2

5)sin 4x — 3cos 4x = 8 sin 2 2x

Ответы: во всех случаях полагается n, kI Z

1)x = + n.

1)x = — + n.

2)x = — + n; x = arctg + k.

2)x = + n; x = arctg 3 + k.

3)x = + n; x = — arctg + k.

3)x = — + n; x = arctg + k.

4)x = ± + n.

4)x = + 2n; x = 2arctg + 2k.

5)x = + 2n; x = 2arctg + 2k.

5)x

VI. Домашнее задание (Колмогоров А.Н. и др., “Алгебра и начала анализа”)

VII. Рефлексия (ответы на вопросы ученики пишут на листочках и сдают их учителю)

Однородные уравнения

Алгебраический многочлен f(x,y) с двумя переменными x и у называется однородным многочленом n -й степени относительно этих переменных , если при любом имеет место тождество

Это означает, что однородный многочлен n-й степени f (х, у) можно представить в виде

где — коэффициенты многочлена, одновременно не обращающиеся в нуль.

Уравнение f(x,y) = 0 называется однородным алгебраическим уравнением n -й степени с двумя неизвестными x,у, если f(x,y) — однородный многочлен n-й степени относительно этих переменных.

Например, уравнение вида является однородным уравнением 2-й степени относительно неизвестных x и у . Действительно, достаточно проверить выполнение условия (1). При одновременной замене , получим

т.е. условие (1) из определения выполняется (n = 2).

Аналогично, уравнение есть однородное уравнение 2-й степени по отношению к неизвестным x,y,z , поскольку при замене получаем

Итак, однородное алгебраическое уравнение — это уравнение, не меняющее своего вида при одновременном умножении всех его неизвестных на одно и то же число, отличное от нуля. Можно распространить понятие однородности на случай неалгебраических уравнений.

Пусть р(х) и q(x) — две произвольные функции, определённые на одном и том же множестве, .

Однородным уравнением n -й степени относительно функций р(х), q(x) называется уравнение вида

В частности, если функции р(х) и q(x) являются целыми алгебраическими многочленами, то и уравнение (2) будет относиться к аналогичному классу. В качестве другого примера рассмотрим уравнение вида

Оно является однородным тригонометрическим уравнением 2-й степени относительно функций

Перейдём к процедуре решения уравнения (2).

Если хотя бы один из коэффициентов или обращается в нуль, то левая часть уравнения легко раскладывается на множители. В результате уравнение оказывается равносильно на ОДЗ совокупности двух уравнений. Например, если , то получим совокупность

Если же и , то для решения однородного уравнения (2) необходимо рассмотреть два возможных случая.

1) Если то, поделив обе части уравнения на и обозначив после этого отношение p(x)/q(x) через t , получим алгебраическое уравнение n -й степени относительно t:

решив которое и сделав обратную подстановку, найдём часть решений однородного уравнения.

2) Если q(х) = 0. то, подставив в уравнение вместо q(x) нуль, получим, что тогда и р(х) должно обращаться в нуль. Таким образом, этот случай сводится к решению системы уравнений

Осталось объединить все найденные решения. Уравнение (2) решено. Обратимся к примерам.

Пример №185.

Решить уравнение

Решение:

Перепишем уравнение: Видно, что это однородное уравнение 2-й степени относительно функций и1) Пусть х + 1 = 0 , но система решений не имеет.

2) Пусть теперь . Поделив на и обозначив , придём к квадратному уравнению . Оно имеет два корня , . Возвращаясь к переменной x , приходим к совокупности двух уравнений

Пример №186.

Решить в целых числах уравнение

Решение:

Заметим, что если у = 0, то x = 0, и, значит, пара (0;0) удовлетворяет уравнению. Пусть , тогда поделим обе части уравнения на :

Обозначим t = x/у, тогда имеем кубическое уравнение Подбором находим корень t = — 1. Делением многочлена получаем: Убеждаемся в том, что данное кубическое уравнение имеет единственный корень t = — 1, что соответствует у = — x . Положим x = р, где р — произвольное целое число, не равное 0. Тогда у = — р , и имеем бесконечно много решений в виде пар чисел (р;- р), , . Объединяя все полученные решения, приходим к ответу.

Ответ: где .

Пример №187.

Для каждого действительного значения параметра а решить уравнение

Решение:

Заметим, что данное уравнение можно рассмотреть как однородное алгебраическое уравнение 4-й степени относительно x и а.

1) Если а = 0 , то х = 0 .

2) Если , то поделим на , и положим :

Первый сомножитель в нуль не обращается, а второй имеет два корня

Ответ: при а = 0 единственное решение x = 0 ;

при два решения

Пример №188.

Найти действительные корни уравнения

Решение:

Данное уравнение в исходном виде не является однородным, но может быть сведено преобразованиями к однородному. Действительно, достаточно привести его к виду