Решить символьное уравнение в mathcad

Решить символьное уравнение в mathcad

В этом разделе обсуждается, как в символьном виде решать уравнения и системы уравнений. Команда Решить относительно переменной из меню Символика позволяет решить уравнение относительно некоторой переменной и выразить его корни через остальные параметры уравнения.

В этом разделе описывается также, как в символьном виде решить систему уравнений, используя блоки решения уравнений. Для этого требуется Mathcad PLUS.

Решать уравнение символьно гораздо труднее, чем численно. Может оказаться, что в символьном виде решение не существует. Это может быть вызвано рядом причин, обсуждаемых в разделе “Ограничения символьных преобразований”.

Решение уравнения относительно переменной

Чтобы решить уравнение относительно переменной:

• Напечайте уравнение. Убедитесь, что для выведения знака равенства использована комбинация клавиш [Ctrl]=.
• Выделите переменную, относительно которой нужно решить уравнение, щёлкнув на ней мышью.
• Выберите Решить относительно переменной из меню Символика

Mathcad решит уравнение относительно выделенной переменной и вставит результат в рабочий документ. Обратите внимание, что, если переменная возводилась в квадрат в первоначальном уравнении, при решении можно получить два ответа. Mathcad отображает их в виде вектора. Рисунок 20 показывает соответствующий пример.

Рисунок 20: Преобразование выражения для решения уравнения.

Можно также решать неравенство, использующее символы , и . Решения для неравенств будут отображаться в терминах булевых выражений Mathcad. Если имеется более одного решения, Mathcad помещает их в вектор. В Mathcad булево выражение типа x

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Решение уравнений в MathCad

Для решения уравнений в Mathcad можно воспользоваться двумя способами:

Использование метода Given — Find:

Это наиболее распространенный способ решения обычных алгебраических уравнений. Он достаточно прост. В рабочем поле записываем слово Given. Это служебное слово. Оно подключает определенные программные модули mathcad для обработки исходных данных, необходимых для решения уравнения численными методами.

Затем указывается начальное приближение для искомой переменной. Это нужно для увеличения скорости и точности решения уравнения. Если начальное приближение не задать, то mathcad по умолчанию примет его равным нулю

Рис. 1. Ввод данных в поле mathcad

Далее вводится уравнение. Его можно записать в явном или неявном виде. Само уравнение набирается с клавиатуры вручную с использованием панели Calculator. Из этой панели можно взять основные математические операции: дроби, тригонометрию, факториалы и прочее. Уравнение нужно записывать с использованием логического символа «ровно». На панели Boolean он выделен жирным шрифтом (см. рис. 2)

Рис. 2. Панели Boolean и Calculator

После уравнения вводится функция Find(x) (где х — переменная). Это функция, которая возвращает результат. Значение функции Find(x) можно присвоить какой-либо переменной с помощью символа «:=» и использовать ее далее в расчетах

Для получения результата, после Find(x) следует поставить символ «→» либо «=» из панели Evaluation (см. рис. 3). Причем, если вы используете символ «→«, то mathcad определит все корни уравнения и сформирует матрицу результатов. Но если вы используете символ «=«, то mathcad выведет единственный корень, который был наиболее близок к начальному приближению. Так что, если вы не знаете сколько корней имеет уравнение, то лучше использовать стрелочку

Рис. 3. Панель «Evaluation»

В зависимости от сложности уравнения через определенное время MathCad выведет результат. На рис.4 можно рассмотреть синтаксис и различие результатов выводимых mathcad. Обратите внимание, что выводимые результаты одного и того же уравнения различны

Рис. 4. Результат численного решения уравнения

Mathcad позволяет решать уравния в символьном виде. Например, если мы заменим все числовые константы на неизвестные параметры и решим уравнение относительно x, то результат выведется в символьном виде (см. рис. 5). Причем, обратите внимание, что в данном случае нам не нужно вводить начальное приближение и мы должны использовать символ «→» для вывода результата

Рис. 5. Результат символьного решения уравнения

Использование метода Solve:

Этот метод отличается от выше рассмотренного синтаксисом. На свободном поле вводим уравнение с использованием логического символа «ровно» из панели Boolean. После ввода уравнения, не смещая курсор ввода, на панели Symbolic нажимаем кнопку solve (см. рис. 6)

Рис. 6. Панель Symbolic

Затем ставим запятую и вводим переменную, относительно которой нужно решить уравнение (в нашем случае это x). Нажимаем Enter на клавиатуре и смотрим результат (см. рис. 7)

Рис. 7. Результат решения уравнения методом Solve

Обратите внимание, что метод подходит как для численного так и для символьного представления результатов

Как показывает моя личная инженерная практика, иногда не удается решить уравнения с помощью Given — Find, но получается в Solve. При этом, к сожалению, метод Solve не очень удобен для далнейшего использования результатов решения уравнения

Donec eget ex magna. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fergiat. Pellentesque in mi eu massa lacinia malesuada et a elit. Donec urna ex, lacinia in purus ac, pretium pulvinar mauris. Curabitur sapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Duis dapibus rutrum facilisis. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos himenaeos. Etiam tristique libero eu nibh porttitor fermentum. Nullam venenatis erat id vehicula viverra. Nunc ultrices eros ut ultricies condimentum. Mauris risus lacus, blandit sit amet venenatis non, bibendum vitae dolor. Nunc lorem mauris, fringilla in aliquam at, euismod in lectus. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. In non lorem sit amet elit placerat maximus. Pellentesque aliquam maximus risus, vel venenatis mauris vehicula hendrerit.

Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fersapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique lorem ipsum dolor.

Урок 19. Символьные вычисления в Mathcad – ключевые слова и модификаторы

В этом уроке мы исследуем различные вариации результатов символьных вычислений с использованием ключевых слов и модификаторов. Мы будем применять их для нахождения символьного результата решения уравнений и для разложения функции в многочлен.

Решение уравнений

В качестве первого примера решим квадратичное уравнение:

Обратите внимание, что в записи используется булево равенство. Чтобы решить уравнение, щелкните по нему и вставьте оператор символьного преобразования. В результате получилось то же уравнение:

Нужно добавить ключевое слово “solve” в местозаполнителе над стрелкой:

Так как уравнение содержит четыре переменных, нужно указать, для какой именно следует решить уравнение. В нашем случае это переменная x. Для этого наберите запятую за словом “solve”. В результате появится местозаполнитель для модификатора x:

Как видно, уравнение имеет два корня.

В следующем примере мы рассмотрим кубическое уравнение. Для констант следует указать значения, так как общее решение будет слишком громоздким.

Получено три корня уравнения, два из которых являются комплексными. Комплексное решение можно подавить, используя второе ключевое слово “assume” и модификатор “real” :

Другой пример – пересечение двух окружностей одного радиуса. Точки пересечений должны удовлетворять сразу двум уравнениям. Одна окружность смещена на расстояние ? вдоль оси абсцисс.

Чтобы решить систему, запишем уравнения в вектор. Так как нужно решить и для переменной x, и для переменной y, необходимо записать два модификатора:

Ответ представлен в качестве матрицы. Здесь два решения – две строки матрицы: «иксы» – первый столбец (они равны), «игреки» — второй (они различны). Если ?>2r, решение будет комплексным.

Перед тем, как решать уравнение, упростите его, насколько можете. Но даже в этом случае решение может получиться громоздким, или оно вообще может быть не найдено.

Ключевые слова “series” и “coeffs”

Mathcad может разложить функцию в ряд – с помощью ключевого слова “series”. Вы можете добавить два местозаполнителя с помощью запятых:

Главный местозаполнитель содержит ключевое слово, второй – переменную, а третий – порядок разложения. Разложение выполняется в окрестности точки 0.

Если нужно разложить, например, натуральный логарифм в окрестности точки x=1, добавьте еще один модификатор:

Можно проверить, насколько полученное разложение соответствует изначальной функции:

В Mathcad можно вычислять сумму ряда символьно:

Тесно связанно с “series” ключевое слово “coeffs”. Проиллюстрируем ее на примере разложения экспоненты:

“Coeffs” дает вектор коэффициентов любого многочлена. Этот вектор начинается с низшего порядка.

Ключевые слова можно комбинировать:

Резюме

В этом уроке мы познакомились с ключевыми словами “solve”, “series” и “coeffs”:

1. Ключевые слова вводятся над стрелкой оператора аналитического преобразования.
2. Модификаторы следует вводить за ключевым словом через запятую.
3. Ключевое слово “solve” решает уравнение, введенное перед ним.
4. С помощью модификатора определите ключевому слову “solve”, для какой переменной следует решить уравнение.
5. Вывод можно ограничить, используя модификаторы с булевыми функциями.
6. Систему уравнений для решения с помощью “solve” следует поместить в вектор.
7. Ключевое слово “series” может разложить функцию в ряд.
8. Важные модификаторы для ключевого слова series:

• переменная, по которой происходит разложение;
• порядок разложения;
• точка, в окрестности которой происходит разложение.

1. Вектор коэффициентов ряда (или другого многочлена) можно найти с помощью ключевого слова “coeffs”.