Решить систему дифференциальных уравнений частное

Примеры по дифференциальным уравнениям в частных производных

Немного теории

Дифференциальным уравнением с частными производными (ДУ с ЧП) называется уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных (ФНП) и ее частных производных. Наивысший порядок частных производных (существенно входящих в уравнение) называется порядком этого уравнения.

ДУ с ЧП называется линейным (ЛДУ с ЧП), если неизвестная функция и ее производные входят в это ДУ линейно (в первой степени).

В этом разделе вы найдете подробно решенные задачи по темам: классификация и приведение к каноническому виду ДУ с ЧП второго порядка с двумя переменными, определение типа уравнения, решение уравнений и систем ДУ в ЧП.

ДУ с ЧП находят широкое применение в прикладных науках: квантовая механика, электродинамика, термодинамика, теория теплои массопереноса и др. при математическом описании и моделировании различных физических процессов. Поэтому такие уравнения изучаются под общим названием уравнений математической физики (примеры решений 16 задач).

Приведение к каноническому виду

Задача 1. Привести к каноническому виду уравнение

Задача 2. Привести уравнение к каноническому виду.

Задача 3. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду:

Решение ДУ в ЧП

Задача 4. Решить уравнение Пфаффа

$$ z^2 dx +zdy +(3zx +2y)dz=0. $$

Задача 5. Решить задачу Коши для уравнения в частных производных

$$ u_-2\Delta u =(x^2+y^2+z^2)t; \quad u(t=0)=xyz, u_t(t=0)=x-y. $$

Задача 6. Найти общее решение уравнения в частных производных

Задача 7. Найти общее решение уравнения в частных производных первого порядка.

$$ xy u_x +(x-2u)u_y = yu. $$

Задача 8. Найти решение задачи Коши для уравнения в частных производных

$$ y u_x -xy u_y=2xu, \quad u(x+y=2)=1/y. $$

Задача 9. Решить систему дифференциальных уравнений в частных производных

Разные задачи на исследование ДУ в ЧП

Задача 10. Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению и проходящую через данную линию

Задача 11. Найти области гиперболичности, эллиптичности и параболичности уравнения и исследовать их зависимость от $l$, где $l$ – числовой параметр.

Задача 12. Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса $R$ c центром в начале координат и такую, что

Помощь с решением ДУ в ЧП

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по дифференциальным уравнениям (и другим разделам математического анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)

Порядок производной указывается штрихами — y''' или числом после одного штриха — y'5

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)

Список математических функций и констант :

• ln(x) — натуральный логарифм

• sh(x) — гиперболический синус

• ch(x) — гиперболический косинус

• th(x) — гиперболический тангенс

• cth(x) — гиперболический котангенс

• sch(x) — гиперболический секанс

• csch(x) — гиперболический косеканс

• arsh(x) — обратный гиперболический синус

• arch(x) — обратный гиперболический косинус

• arth(x) — обратный гиперболический тангенс

• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

• arsch(x) — обратный гиперболический секанс

• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс

Системы дифференциальных уравнений

Этот раздел мы решили посвятить решению систем дифференциальных уравнений простейшего вида d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 , в которых a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 - некоторые действительные числа. Наиболее эффективным для решения таких систем уравнений является метод интегрирования. Также рассмотрим решение примера по теме.

Решением системы дифференциальных уравнений будет являться пара функций x ( t ) и y ( t ) , которая способна обратить в тождество оба уравнения системы.

Рассмотрим метод интегрирования системы ДУ d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 . Выразим х из 2 -го уравнения системы для того, чтобы исключить неизвестную функцию x ( t ) из 1 -го уравнения:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

Выполним дифференцирование 2 -го уравнения по t и разрешим его уравнение относительно d x d t :

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t

Теперь подставим результат предыдущих вычислений в 1 -е уравнение системы:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 - ( a 1 + b 2 ) · d y d t + ( a 1 · b 2 - a 2 · b 1 ) · y = a 2 · c 1 - a 1 · c 2

Так мы исключили неизвестную функцию x ( t ) и получили линейное неоднородное ДУ 2 -го порядка с постоянными коэффициентами. Найдем решение этого уравнения y ( t ) и подставим его во 2 -е уравнение системы. Найдем x ( t ) . Будем считать, что на этом решение системы уравнений будет закончено.

Найдите решение системы дифференциальных уравнений d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3

Начнем с первого уравнения системы. Разрешим его относительно x :

x = d y d t - 2 y + 3

Теперь выполним дифференцирование 2 -го уравнения системы, после чего разрешим его относительно d x d t : d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 - 2 d y d t

Полученный в ходе вычислений результат мы можем подставить в 1 -е уравнение системы ДУ:

d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

В результате преобразований мы получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 -го порядка с постоянными коэффициентами d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2 . Если мы найдем его общее решение, то получим функцию y ( t ) .

Общее решение соответствующего ЛОДУ y 0 мы можем найти путем вычислений корней характеристического уравнения k 2 - 3 k + 2 = 0 :

D = 3 2 - 4 · 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 k 2 = 3 + 1 2 = 2

Корни, которые мы получили, являются действительными и различными. В связи с этим общее решение ЛОДУ будет иметь вид y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t .

Теперь найдем частное решение линейного неоднородного ДУ y

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Правая часть записи уравнения представляет собой многочлен нулевой степени. Это значит, что частное решение будем искать в виде y

= A , где А – это неопределенный коэффициент.

Определить неопределенный коэффициент мы можем из равенства d 2 y

= 2 :
d 2 ( A ) d t 2 - 3 d ( A ) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

Таким образом, y

= 1 и y ( t ) = y 0 + y

= C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . Одну неизвестную функцию мы нашли.

Теперь подставим найденную функцию во 2 -е уравнение системы ДУ и разрешим новое уравнение относительно x ( t ) :
d ( C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 ) d t = x + 2 · ( C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 ) - 3 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t = x + 2 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t - 1 x = - C 1 · e t + 1

Так мы вычислили вторую неизвестную функцию x ( t ) = - C 1 · e t + 1 .

Ответ: x ( t ) = - C 1 · e t + 1 y ( t ) = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1