Решить систему дифференциальных уравнений методом собственных векторов

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом

Вы будете перенаправлены на Автор24

Матричная запись системы обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) с постоянными коэффициентами

Линейную однородную СОДУ с постоянными коэффициентами $\left\<\begin <\frac> =a_ <11>\cdot y_ <1>+a_ <12>\cdot y_ <2>+\ldots +a_ <1n>\cdot y_ > \\ <\frac> =a_ <21>\cdot y_ <1>+a_ <22>\cdot y_ <2>+\ldots +a_ <2n>\cdot y_ > \\ <\ldots >\\ <\frac> =a_ \cdot y_ <1>+a_ \cdot y_ <2>+\ldots +a_ \cdot y_ > \end\right. $,

где $y_ <1>\left(x\right),\; y_ <2>\left(x\right),\; \ldots ,\; y_ \left(x\right)$ — искомые функции независимой переменной $x$, коэффициенты $a_ ,\; 1\le j,k\le n$ — заданные действительные числа представим в матричной записи:

Теперь на основе правила умножения матриц данную СОДУ можно записать в виде матричного уравнения $\frac =A\cdot Y$.

Общий метод решения СОДУ с постоянными коэффициентами

Решение СОДУ отыскивается в следующем виде: $y_ <1>=\alpha _ <1>\cdot e^ $, $y_ <2>=\alpha _ <2>\cdot e^ $, \dots , $y_ =\alpha _ \cdot e^ $. В матричной форме: $Y=\left(\begin > \\ > \\ <\ldots >\\ > \end\right)=e^ \cdot \left(\begin <\alpha _<1>> \\ <\alpha _<2>> \\ <\ldots >\\ <\alpha _> \end\right)$.

Теперь матричному уравнению данной СОДУ можно придать вид:

Полученное уравнение можно представить так:

Последнее равенство показывает, что вектор $\alpha $ с помощью матрицы $A$ преобразуется в параллельный ему вектор $k\cdot \alpha $. Это значит, что вектор $\alpha $ является собственным вектором матрицы $A$, соответствующий собственному значению $k$.

Готовые работы на аналогичную тему

Это уравнение называется характеристическим.

Одно из значений в этой матрице выбирают произвольно.

Окончательно, решение данной системы в матричной форме записывается следующим образом:

где $C_ $ — произвольные постоянные.

Записываем матрицу системы: $A=\left(\begin <5>& <4>\\ <4>& <5>\end\right)$.

Получаем характеристическое уравнение:

Корни характеристического уравнения: $k_ <1>=1$, $k_ <2>=9$.

Получаем решение СОДУ в матричной форме:

В обычной форме решение СОДУ имеет вид: $\left\<\begin =C_ <1>\cdot e^ <1\cdot x>+C_ <2>\cdot e^ <9\cdot x>> \\ =-C_ <1>\cdot e^ <1\cdot x>+C_ <2>\cdot e^ <9\cdot x>> \end\right. $.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 19 01 2022

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом

Запишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

в матричном виде:

, где .

Рассмотрим матричный метод решения систем. Ограничимся однородными системами. Пусть

однородная система. Находим корни характеристического уравнения

.

Простому корню характеристического уравнения соответствует решение , где — собственный вектор матрицы соответствующий собственному значению . Для кратного корня, ситуация более сложная, чем при решении одного уравнения. В этом случае число линейно независимых решений системы может быть меньше кратности корня. Если пара собственных корней характеристического уравнения комплексно сопряженные, то и решения тоже комплексно сопряженные. Поэтому можно выделить пару действительных решений. Приведем несколько примеров.

Пример 1 Решить систему дифференциальных уравнений

.

Составим характеристическое уравнение

Его корни . Находим собственные , отвечающие этим собственным значениям

Следовательно, можно взять и решение соответствующее первому собственному значению . Точно так же, находим собственный вектор отвечающий второму собственному значению:

Решение соответствующее второму собственному значению такое: .

Наконец, находим третье решение:

Таким образом, третий собственный вектор можно взять и третье решение: .

Общее решение запишем в векторном виде:

.

Пример 2 Решить систему дифференциальных уравнений .

Составляем характеристическое уравнение:

Поскольку система с вещественными коэффициентами, то можно найти решение соответствующее корню , а другое решение, соответствующее комплексно сопряженному корню будет комплексно сопряженным найденному.

Ищем собственные векторы:

.

Второе уравнение системы не пишем, так как оно линейно зависимое с первым. Можем взять . Таким образом, решение такое: . Чтобы найти два вещественных решения, нужно взять действительную и мнимые части полученного комплексного решения

Таким образом, общее решение системы:

.

Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?

Методы решения задач о собственных
значениях и векторах матриц

Постановка задачи

Пусть [math]A[/math] — действительная числовая квадратная матрица размера [math](n\times n)[/math] . Ненулевой вектор [math]X= \bigl(x_1,\ldots,x_n\bigr)^T[/math] размера [math](n\times1)[/math] , удовлетворяющий условию

называется собственным вектором матрицы [math]A[/math] . Число [math]\lambda[/math] в равенстве (2.1) называется собственным значением. Говорят, что собственный вектор [math]X[/math] соответствует (принадлежит) собственному значению [math]\lambda[/math] .

Равенство (2.1) равносильно однородной относительно [math]X[/math] системе:

Система (2.2) имеет ненулевое решение для вектора [math]X[/math] (при известном [math]\lambda[/math] ) при условии [math]|A-\lambda E|=0[/math] . Это равенство есть характеристическое уравнение:

где [math]P_n(\lambda)[/math] — характеристический многочлен n-й степени. Корни [math]\lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_n[/math] характеристического уравнения (2.3) являются собственными (характеристическими) значениями матрицы [math]A[/math] , а соответствующие каждому собственному значению [math]\lambda_i,

i=1,\ldots,n[/math] , ненулевые векторы [math]X^i[/math] , удовлетворяющие системе

являются собственными векторами.

Требуется найти собственные значения и собственные векторы заданной матрицы. Поставленная задача часто именуется второй задачей линейной алгебры.

Проблема собственных значений (частот) возникает при анализе поведения мостов, зданий, летательных аппаратов и других конструкций, характеризующихся малыми смещениями от положения равновесия, а также при анализе устойчивости численных схем. Характеристическое уравнение вместе с его собственными значениями и собственными векторами является основным в теории механических или электрических колебаний на макроскопическом или микроскопическом
уровнях.

Различают полную и частичную проблему собственных значений, когда необходимо найти весь спектр (все собственные значения) и собственные векторы либо часть спектра, например: [math]\rho(A)= \max_|\lambda_i(A)|[/math] и [math]\min_|\lambda_i(A)|[/math] . Величина [math]\rho(A)[/math] называется спектральным радиусом .

1. Если для собственного значения [math]\lambda_i[/math] — найден собственный вектор [math]X^i[/math] , то вектор [math]\mu X^i[/math] , где [math]\mu[/math] — произвольное число, также является собственным вектором, соответствующим этому же собственному значению [math]\lambda_i[/math] .

2. Попарно различным собственным значениям соответствуют линейно независимые собственные векторы; k-кратному корню характеристического уравнения соответствует не более [math]k[/math] линейно независимых собственных векторов.

3. Симметрическая матрица имеет полный спектр [math]\lambda_i,

i=\overline<1,n>[/math] , действительных собственных значений; k-кратному корню характеристического уравнения симметрической матрицы соответствует ровно [math]k[/math] линейно независимых собственных векторов.

4. Положительно определенная симметрическая матрица имеет полный спектр действительных положительных собственных значений.

Метод непосредственного развертывания

Полную проблему собственных значений для матриц невысокого порядка [math](n\leqslant10)[/math] можно решить методом непосредственного развертывания. В этом случае будем иметь

Уравнение [math]P_n(\lambda)=0[/math] является нелинейным (методы его решения изложены в следующем разделе). Его решение дает [math]n[/math] , вообще говоря, комплексных собственных значений [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n[/math] , при которых [math]P_n(\lambda_i)=0

(i=\overline<1,n>)[/math] . Для каждого [math]\lambda_i[/math] может быть найдено решение однородной системы [math](A-\lambda_iE)X^i=0,

i=\overline<1,n>[/math] . Эти решения [math]X^i[/math] , определенные с точностью до произвольной константы, образуют систему [math]n[/math] , вообще говоря, различных векторов n-мерного пространства. В некоторых задачах несколько этих векторов (или все) могут совпадать.

Алгоритм метода непосредственного развертывания

1. Для заданной матрицы [math]A[/math] составить характеристическое уравнение (2.5): [math]|A-\lambda E|=0[/math] . Для развертывания детерминанта [math]|A-\lambda E|[/math] можно использовать различные методы, например метод Крылова, метод Данилевского или другие методы.

2. Решить характеристическое уравнение и найти собственные значения [math]\lambda_1, \lambda_2, \ldots,\lambda_n[/math] . Для этого можно применить методы, изложенные далее.

3. Для каждого собственного значения составить систему (2.4):

и найти собственные векторы [math]X^i[/math] .

Замечание. Каждому собственному значению соответствует один или несколько векторов. Поскольку определитель [math]|A-\lambda_iE|[/math] системы равен нулю, то ранг матрицы системы меньше числа неизвестных: [math]\operatorname(A-\lambda_iE)=r и в системе имеется ровно [math]r[/math] независимых уравнений, а [math](n-r)[/math] уравнений являются зависимыми. Для нахождения решения системы следует выбрать [math]r[/math] уравнений с [math]r[/math] неизвестными так, чтобы определитель составленной системы был отличен от нуля. Остальные [math](n-r)[/math] неизвестных следует перенести в правую часть и считать параметрами. Придавая параметрам различные значения, можно получить различные решения системы. Для простоты, как правило, попеременно полагают значение одного параметра равным 1, а остальные равными 0.

Пример 2.1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы [math]A\in \mathbb^<2\times 2>[/math] , где [math]A=\begin3&-2\\-4&1\end[/math] .

1. Запишем уравнение (2.5): [math]|A-\lambda E|= \begin3-\lambda&-2\\-4& 1-\lambda \end= \lambda^2-4 \lambda-5=0[/math] , отсюда получаем характеристическое уравнение [math]P_2(\lambda)\equiv \lambda^2-4 \lambda-5=0[/math] .

2. Находим его корни (собственные значения): [math]\lambda_1=5,

3. Составим систему [math](A-\lambda_iE)X^i=0,

i=1,2[/math] , для каждого собственного
значения и найдем собственные векторы:

Отсюда [math]x_1^1=-x_2^1[/math] . Если [math]x_2^1=\mu[/math] , то [math]x_1^1=-\mu[/math] . В результате получаем [math]X^1= \bigl\^T= \bigl\<\mu(-1;1)\bigr\>^T[/math] .

Для [math]\lambda_2=-1[/math] имеем

Отсюда [math]x_2^2=2x_1^2[/math] . Если [math]x_1^2=\mu[/math] , то [math]x_2^2=2\mu[/math] . В результате получаем [math]X^2= \bigl\^T= \bigl\<\mu(1;2)\bigr\>^T[/math] , где [math]\mu[/math] — произвольное действительное число.

Пример 2.2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы [math]A= \begin2&-1&1\\-1&2&-1\\0&0&1\end[/math] .

1. Запишем характеристическое уравнение (2.5):

2. Корни характеристического уравнения: [math]\lambda_<1,2>=1[/math] (кратный корень), [math]\lambda_3=3[/math] — собственные значения матрицы.

3. Найдем собственные векторы.

Для [math]\lambda_<1,2>=1[/math] запишем систему [math](A-\lambda_<1,2>E)\cdot X^<1,2>=0\colon[/math]

Поскольку [math]\operatorname(A-\lambda_<1,2>E)=1[/math] , в системе имеется одно независимое уравнение

x_3^<1,2>=3[/math] , получаем [math]x_1^<1,2>=1[/math] и собственный вектор [math]X^1= \begin1&1&0\end^T[/math] .

x_3^<1,2>=1[/math] , получаем [math]x_1^<1,2>=-1[/math] и другой собственный вектор [math]X^2= \begin-1&0&1\end^T[/math] . Заметим, что оба собственных вектора линейно независимы.

Для собственного значения [math]\lambda_3=3[/math] запишем систему [math](A-\lambda_3E)\cdot X^3=0\colon[/math]

Поскольку [math]\operatorname(A-\lambda_3E)=2[/math] , то выбираем два уравнения:

x_1^3=-x_2^3[/math] . Полагая [math]x_2^3=1[/math] , получаем [math]x_1^3=-1[/math] и собственный вектор [math]X^3=\begin-1&1&0 \end^T[/math] .

Метод итераций для нахождения собственных значений и векторов

Для решения частичной проблемы собственных значений и собственных векторов в практических расчетах часто используется метод итераций (степенной метод). На его основе можно определить приближенно собственные значения матрицы [math]A[/math] и спектральный радиус [math]\rho(A)= \max_\bigl|\lambda_i(A)\bigr|[/math] .

Пусть матрица [math]A[/math] имеет [math]n[/math] линейно независимых собственных векторов [math]X^i,

i=1,\ldots,n[/math] , и собственные значения матрицы [math]A[/math] таковы, что

Алгоритм метода итераций

1. Выбрать произвольное начальное (нулевое) приближение собственного вектора [math]X^<1(0)>[/math] (второй индекс в скобках здесь и ниже указывает номер приближения, а первый индекс без скобок соответствует номеру собственного значения). Положить [math]k=0[/math] .

\lambda_1^<(1)>= \frac>>[/math] , где [math]i[/math] — любой номер [math]1\leqslant i\leqslant n[/math] , и положить [math]k=1[/math] .

4. Найти [math]\lambda_1^<(k+1)>= \frac>>[/math] , где [math]x_i^<1(k+1)>, x_i^<1(k)>[/math] — соответствующие координаты векторов [math]X^<1(k+1)>[/math] и [math]X^<1(k)>[/math] . При этом может быть использована любая координата с номером [math]i,

1\leqslant i\leqslant n[/math] .

5. Если [math]\Delta= \bigl|\lambda_1^<(k+1)>— \lambda_1^<(k)>\bigr|\leqslant \varepsilon[/math] , процесс завершить и положить [math]\lambda_1\cong \lambda_1^[/math] . Если \varepsilon»>[math]\Delta>\varepsilon[/math] , положить [math]k=k+1[/math] и перейти к пункту 3.

1. Процесс последовательных приближений

сходится, т.е. при [math]x\to\infty[/math] вектор [math]X^<1(k)>[/math] стремится к собственному вектору [math]X^1[/math] . Действительно, разложим [math]X^<1(0)>[/math] по всем собственным векторам: [math]\textstyle= \sum\limits_^ c_iX^i>[/math] . Так как, согласно (2.4), [math]AX^i= \lambda_iX^i[/math] , то

При большом [math]k[/math] дроби [math]<\left(\frac<\lambda_2><\lambda_1>\right)\!>^k, \ldots, <\left(\frac<\lambda_n><\lambda_1>\right)\!>^k[/math] малы и поэтому [math]A^kX^<1(0)>= c_1\lambda_1^kX^1[/math] , то есть [math]X^<1(k)>\to X^1[/math] при [math]k\to\infty[/math] . Одновременно [math]\lambda_1= \lim\limits_ \frac^<1(k+1)>>^<1(k)>>[/math] .

2. Вместо применяемой в пункте 4 алгоритма формулы для [math]\lambda_1^<(k+1)>[/math] можно взять среднее арифметическое соответствующих отношений для разных координат.

3. Метод может использоваться и в случае, если наибольшее по модулю собственное значение матрицы [math]A[/math] является кратным, т.е.

4. При неудачном выборе начального приближения [math]X^<1(0)>[/math] предел отношения [math]\frac>>[/math] может не существовать. В этом случае следует задать другое начальное приближение.

5. Рассмотренный итерационный процесс для [math]\lambda_1[/math] сходится линейно, с параметром [math]c=\frac<\lambda_2><\lambda_1>[/math] и может быть очень медленным. Для его ускорения используется алгоритм Эйткена.

6. Если [math]A=A^T[/math] (матрица [math]A[/math] симметрическая), то сходимость процесса при определении [math]\rho(A)[/math] может быть ускорена.

7. Используя [math]\lambda_1[/math] , можно определить следующее значение [math]\lambda_2[/math] по формуле [math]\lambda_2= \frac— \lambda_1 x_i^<1(k)>>— \lambda_1 x_i^<1(k-1)>>

(i=1,2,\ldots,n)[/math] . Эта формула дает грубые значения для [math]\lambda_2[/math] , так как значение [math]\lambda_1[/math] является приближенным. Если модули всех собственных значений различны, то на основе последней формулы можно вычислять и остальные [math]\lambda_j

8. После проведения нескольких итераций рекомендуется «гасить» растущие компоненты получающегося собственного вектора. Это осуществляется нормировкой вектора, например, по формуле [math]\frac><\|X^<1(k)>\|_1>[/math] .

Пример 2.3. Для матрицы [math]A=\begin5&1&2\\ 1&4&1\\ 2&1&3 \end[/math] найти спектральный радиус степенным методом с точностью [math]\varepsilon=0,\,1[/math] .

1. Выбирается начальное приближение собственного вектора [math]X^<(0)>= \begin 1&1&1 \end^T[/math] . Положим [math]k=0[/math] .

5. Так как \varepsilon»>[math]\bigl|\lambda_1^<(2)>— \lambda_1^<(1)>\bigr|= 0,\!75> \varepsilon[/math] , то процесс необходимо продолжить. Результаты вычислений удобно представить в виде табл. 10.10.

Точность по достигнута на четвертой итерации. Таким образом, в качестве приближенного значения [math]\lambda_1[/math] берется 6,9559, а в качестве собственного вектора принимается [math]X^1= \begin 2838& 1682& 1888\end^T[/math] .

Так как собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя, то [math]X^1[/math] лучше пронормировать, т.е. поделить все его компоненты на величину нормы. Для рассматриваемого примера получим

Согласно замечаниям, в качестве собственного значения [math]\lambda_1[/math] матрицы можно взять не только отношение

а также их среднее арифметическое [math]\frac<6,\!9559+6,\!728+6,\!8905><3>\approx 6,\!8581[/math] .

Пример 2.4. Найти максимальное по модулю собственное значение матрицы [math]A=\begin2&-1&1\\ -1&2&-1\\ 0&0&3 \end[/math] и соответствующий собственный вектор.

1. Зададим начальное приближение [math]X^<1(0)>= \begin1&-1&1 \end^T[/math] и [math]\varepsilon=0,\!0001[/math] .

Выполним расчеты согласно методике (табл. 10.11).

В результате получено собственное значение [math]\lambda_1\cong 3,\!00003[/math] и собственный вектор [math]X^1= \begin 88573&-88573&1\end^T[/math] или после нормировки

Метод вращений для нахождения собственных значений

Метод используется для решения полной проблемы собственных значений симметрической матрицы и основан на преобразовании подобия исходной матрицы [math]A\in\mathbb^[/math] с помощью ортогональной матрицы [math]H[/math] .

Напомним, что две матрицы [math]A[/math] и [math]A^<(i)>[/math] называются подобными ( [math]A\sim A^<(i)>[/math] или [math]A^<(i)>\sim A[/math] ), если [math]A^<(i)>=H^<-1>AH[/math] или [math]A=HA^<(i)>H^<-1>[/math] , где [math]H[/math] — невырожденная матрица.

В методе вращений в качестве [math]H[/math] берется ортогональная матрица, такая, что [math]HH^=H^H=E[/math] , т.е. [math]H^=H^<-1>[/math] . В силу свойства ортогонального преобразования евклидова норма исходной матрицы [math]A[/math] не меняется. Для преобразованной матрицы [math]A^<(i)>[/math] сохраняется ее след и собственные значения [math]\lambda_i\colon[/math]

[math]\operatorname