Решить систему уравнений mathcad prime

Решить систему уравнений mathcad prime

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

4 Решение уравнений и систем средствами Mathcad

Система Mathcad обладает широкими возможностями численного решения уравнений и систем уравнений.

Функция root, блоки Given…Find, Given…Minerr

В ходе численного решения обычно выделяют два этапа:

• отделение корней – определение интервала нахождения каждого корня или определение приблизительного значения корня. В системе Mathcad наиболее наглядным будет отделение корней уравнения графическим способом;
• уточнение корней – нахождение численного значения корня с указанной точностью.

Точность нахождения корня устанавливается с помощью системной переменной TOL (Convergence Tolerance – Допуск сходимости), которая по умолчанию равна 10 -3 . Чем меньше значение TOL, тем точнее, вообще говоря, находится корень уравнения. Однако оптимальным является TOL = 10 -5 . Переопределить значение TOL можно в окне математических свойств документа Math Options на вкладке Build-In Variables (Встроенные переменные) или присваиванием, например, TOL:=0.0001.

Для решения одного уравнения с одной неизвестной предназначена встроенная функция root, которая в общем виде задается

root(f(x), x, [a, b])

и возвращает значение переменной x, при котором функция f(x) обращается в ноль. Аргументы функции root:

• f(x) – функция левой части уравнения f(x) = 0;
• x – переменная, относительно которой требуется решить уравнение;
• a, b (необязательные) – действительные числа, такие что a -1 слева: A -1 Ax=A -1 b. Учитывая, что A -1 A, вектор-столбец решений системы можно искать в виде

Этот прием используется в Mathcad так:

1. задается матрица коэффициентов при неизвестных системы A;
2. задается столбец свободных членов b;
3. вводится формула для нахождения решения системы X:=A -1 b;
4. выводится вектор решений системы X=.

Кроме того, пакет Mathcad имеет встроенную функцию

lsolve(A, b),

возвращающую вектор-столбец решений системы линейных алгебраических уравнений. Аргументами функции lsolve являются матрица коэффициентов при неизвестных системы и столбец свободных членов. Порядок решения аналогичен рассмотренному, но вместо формулы X:=A -1 b используется X:=lsolve(A, b).

Реализовать широко известный метод Гаусса решения систем линейных уравнений позволяет встроенная функция rref(M), возвращающая ступенчатый вид матрицы M. Если в качестве аргумента взять расширенную матрицу системы, то в результате применения rref получится матрица, на диагонали которой – единицы, а последний столбец представляет собой столбец решений системы.

Решение системы линейных уравнений можно осуществить с помощью блоков Given…Find, Given…Minerr. При этом неизвестным системы задается произвольное начальное приближение, а проверка необязательна.

Порядок выполнения лабораторной работы

1. Загрузить Mathcad Start / All Programs / Mathsoft Apps / Mathcad (Пуск / Все программы / Mathsoft Apps / Mathcad).
2. Сохранить в личной папке на диске z:\ новый документ с именем ФИО1, лучше использовать латинские буквы. Производить сохранение регулярно в процессе работы (Ctrl + S).
3. Вставить текстовую область Insert / Text Region (Вставка / Область текста) и ввести в поле документа текст:

Лабораторная работа № 4
Решение уравнений и систем в Mathcad.

1. В новой текстовой области ввести фамилию, имя, отчество, учебный шифр и номер варианта.
2. Выполнить задание 1.

Задание 1. Решить уравнение .

Решение.

Решение данного уравнения будем проводить в два этапа: отделение корней уравнения графически, уточнение корней уравнения.

Определим функцию f(x), равную левой части данного уравнения, когда правая равна нулю:

Зададим ранжированную переменную x на некотором диапазоне с мелким шагом, например:

Вставим в документ графическую область. Для этого выберем дважды пиктограмму с изображением графика сначала на панели Math (Математика), затем на палитре графиков Graph или выполним из главного меню последовательность команд Insert / Graph / X-Y Plot (Вставка / График / X-Y Зависимость).

Снизу по оси абсцисс наберем x, а сбоку по оси ординат введем f(x).

Для появления графика щелкнем левой клавишей мыши вне графической области.

Отформатируем график функции f(x). Для этого щелкнем правой клавишей мыши в области графика и выберем в контекстном меню команду Format (Формат). Установим пересечение осей графика (Crossed – Только оси), добавим вспомогательные линии по координатным осям (Grid Lines – Вспомогательные линии). Отменим при этом автосетку (Autogrid – Автосетка) и установим количество линий сетки, равное 10.

Для подтверждения внесенных изменений нажмем последовательно кнопки Apply (Применить) и ОК.

После указанных преобразований график функции f(x) будет выглядеть следующим образом:

Из графика функции f(x) видно, что уравнение имеет три корня, которые приблизительно равны: x1 ≈ -1; x2 ≈ 1; x3 ≈ 2,5.

Этап отделения корней завершен.

Уточним теперь корни уравнения с помощью функции root.

Присвоим начальное приближение переменной x и укажем точность поиска корня:

Уточним заданное приближение к значению корня с помощью функции root:

Выполним проверку, подтверждающую, что первый корень найден с заявленной точностью:

Начальное приближение можно не задавать при использовании в качестве аргументов root границ отрезка нахождения корня, например, второй корень можно уточнить:

Задание 2. Решить уравнение .

Решение.

Напечатаем левую часть уравнения, не приравнивая выражение к 0, и выделим синим курсором переменную x:

Выберем из главного меню Symbolics / Polynomial Coefficients (Символика / Коэффициенты полинома). Появившийся вектор коэффициентов полинома выделим целиком синим курсором и вырежем в буфер обмена, используя кнопку Вырезать на панели инструментов Formatting (Форматирование) или комбинацию клавиш Ctrl + X.

Напечатаем v := и вставим вектор из буфера обмена, используя кнопку Вставить на панели инструментов или комбинацию клавиш Ctrl + V.

Для получения результата напечатаем polyroots(v) =:

Задание 3. Решить систему линейных уравнений Сделать проверку.

Решение.

1-й способ. Использование блока Given … Find.

Зададим всем неизвестным, входящим в систему уравнений, произвольные начальные приближения, например:

Напечатаем слово Given. Установим визир ниже и наберем уравнения системы, каждое в своем блоке. Используем при этом логический знак равенства (Ctrl + =).

После ввода уравнений системы напечатаем X := Find(x, y, z) и получим решение системы в виде вектора, состоящего из трех элементов:

Сделаем проверку, подставив полученные значения неизвестных в уравнения системы, например, следующим образом

После набора знака «=» в каждой строке должен быть получен результат, равный или приблизительно равный правой части системы. В данном примере системная переменная ORIGIN = 1.

2-й способ. Использование блока Given…Minerr.

Порядок решения системы этим способом аналогичен порядку использования блока Given … Find и представлен ниже вместе с проверкой:

3-й способ. Решение системы линейных уравнений матричным способом.

Создадим матрицу А, состоящую из коэффициентов при неизвестных системы. Для этого напечатаем A := , вызовем окно создания массивов (Ctrl + M). Число строк (Rows) и столбцов (Columns) матрицы данной системы равно 3. Заполним пустые места шаблона матрицы коэффициентами при неизвестных системы, как показано ниже:

Зададим вектор b свободных членов системы. Сначала напечатаем b :=, затем вставим шаблон матрицы(Ctrl + M), где количество строк (Rows) равно 3, а количество столбцов (Columns) равно 1. Заполним его:

Решим систему матричным способом по формуле

Решим систему с помощью функции lsolve:

Для проверки правильности решения системы, полученного матричным способом, достаточно вычислить произведение A·X, которое должно совпасть с вектором-столбцом свободных членов b:

Решить систему уравнений mathcad prime

Уравнение и системы уравнений в математическом пакете Mathcad в символьном виде решаются с использованием специального оператора символьного решения solve в сочетании со знаком символьного равенства, который может быть также введен с рабочей панели “Символика”. Например:

Аналогичные действия при решении уравнений в Mathcad можно выполнить, используя меню “Символика”. Для этого необходимо записать вычисляемое выражение. Затем выделить переменную, относительно которой решается уравнение, войти в меню Символика, Переменная, Разрешить. Например:

В случае, если необходимо упростить полученный результат, используется знак равенства [=]. Например:

При решении некоторых уравнений, результат включает большое количество символов. Mathcad сохраняет его в буфере, а на дисплей выводитcя сообщение: “This array has more elements than can be displayed at one time. Try using the “submatrix” function” – “Этот массив содержит больше элементов, чем может быть отображено одновременно. Попытайтесь использовать функцию “submatrix””. В этом случае рекомендуется использовать численное решение. Или, в случае необходимости, символьное решение может быть выведено и отображено на дисплее.

Символьное решение может быть получено с использованием блока given … find. В этом случае при записи уравнения для связи его левой и правой части использует символ логического равенства “=” с панели инструментов Boolean, например:

Аналогичным способом решаются системы уравнений в символьном виде. Ниже приводятся примеры решения систем уравнений в символьном виде различными способами. При использовании оператора символьного решения solve в сочетании со знаком символьного равенства система уравнений должна быть задана в виде вектора, который вводится вместо левого маркера оператора solve, а перечень переменных, относительно которых решается система, вместо правого маркера. Например:

Пример использования блока given…find для решения системы уравнений:

Категории

• 3ds Max (12)
• AutoCAD (9)
• Mathcad (9)
• Microsoft Excel (10)
• Microsoft Word (18)
• Mudbox (3)
• Windows (24)
• Главная (1)
• Железо (14)
• Компас 3D (5)
• Компьютерные курсы (3)
• Программирование (8)
  • PHP (5)
  • Python (3)
• Программы (21)
• Прочее (19)

Mathcad системы уравнений

Программа Mathcad предоставляет возможность численного и символьного решения систем уравнений. Один из популярных методов решения систем уравнения в Mathcad это метод с использованием команд Given и Find. Давайте подробнее разберем как это сделать.

Численное решение систем уравнений в Mathcad

Для примера рассмотрим задачу:

1. Для начала надо задать начальные значения для всех неизвестных, т.к. блок Given – Findиспользует для решения численный метод (итерационный метод).

1. Далее вводим команду Given (можно ввести с клавиатуры, либо воспользоваться булевым оператором)

1. Теперь вводим уравнения. Обратите внимание что знак «=» ставится не как «определение» или «вычисление», а вводится как «Ctrl» + «=» и знак выделяется жирным.

mathcad система уравнений

1. Теперь вводим оператор Find после чего программа выдает нам результат.

Как видим, правильный ответ будет под номером 4.

Символьное решение систем уравнений в Mathcad

Чтобы решить систему уравнений символьно, будем использовать те же операторы, только будут кое-какие различия в воде. Т.к. нам не нужно конкретное значение, то и начальные значения переменных вводить не нужно. Возьмем для рассмотрения пример:

1. Повторяем действия из пунктов 2 и 3 предыдущего примера, а именно вводим команду Given и уравнения используя «Ctrl» + «=»

1. Теперь вводим оператор Find, вводим переменные (x,y) чтобы произвести вычисления символьно нужно нажать «Ctrl» + « . » (клавиша Ctrl и клавиша точки на латинской раскладке) после чего кликаем мышкой вне блока решения и программа производит расчет.