Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Метод подстановки и сложения.
С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения.
Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
При вводе уравнений можно использовать скобки. При этом уравнения сначала упрощаются. Уравнения после упрощений должны быть линейными, т.е. вида ax+by+c=0 с точностью порядка следования элементов.
Например: 6x+1 = 5(x+y)+2
В уравнениях можно использовать не только целые, но также и дробные числа в виде десятичных и обыкновенных дробей.
Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например: 2.1n + 3,5m = 55
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Примеры.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p — 2&1/8q)
Решить систему уравнений
Немного теории.
Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки
Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки:
1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\< \begin
Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
$$ \left\< \begin
Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$
Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$
Пара (1;4) — решение системы
Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.
Решение систем линейных уравнений способом сложения
Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\< \begin
В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
$$ \left\< \begin
Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение \( x-3y=38 \) получим уравнение с переменной y: \( 11-3y=38 \). Решим это уравнение:
\( -3y=27 \Rightarrow y=-9 \)
Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: \( x=11; y=-9 \) или \( (11; -9) \)
Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Системы линейных уравнений (7 класс)
Если несколько линейных уравнений с одними теми же неизвестными рассматривают совместно, то говорят, что это система линейных уравнений с несколькими неизвестными.
Решить систему с двумя неизвестными – это значит найти все пары значений переменных, которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Каждая такая пара называется решением системы.
Пример:
Пара значений \(x=3\);\(y=-1\) является решением первой системы, потому что при подстановке этих тройки и минус единицы в вместо \(x\) и \(y\), оба уравнения превратятся в верные равенства \(\begin
А вот \(x=1\); \(y=-2\) — не является решением первой системы, потому что после подстановки второе уравнение «не сходится» \(\begin
Отметим, что такие пары часто записывают короче: вместо «\(x=3\); \(y=-1\)» пишут так: \((3;-1)\).
Как решить систему линейных уравнений?
Есть три основных способа решения систем линейных уравнений:
Возьмите любое из уравнений системы и выразите из него любую переменную.
Полученное выражение подставьте вместо этой переменной в другое линейное уравнение системы.
Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\)
Замечание к шагу 1: нет никакой разницы какую переменную и из какого уравнения выражать. Обычно более удобно выражать ту переменную, перед которой нет коэффициента или, говоря точнее, коэффициент которой равен единице (в примере выше это был икс в первом уравнении).
Почему так? Потому что во всех остальных случаях у нас при выражении переменной получилась бы дробное выражение . Попробуем, например, выразить икс из второго уравнения системы:
И сейчас нам нужно будет эту дробь подставлять в первое уравнение и решать то, что получиться. До верного ответа мы бы всё равно дошли, но идти было бы неудобнее
Способ алгебраического сложения.
Равносильно преобразовывая каждое уравнение в отдельности, запишите систему в виде:\(\begin
Теперь нужно сделать так, чтоб коэффициенты при одном из неизвестных стали одинаковы (например, (\(3\) и \(3\)) или противоположны по значению (например, \(5\) и \(-5\)). В нашем примере уравняем коэффициенты при игреках. Для этого первое уравнение домножим на \(2\), а второе — на \(3\).
\(\begin
Сложите (или вычтите) почленно обе части уравнения так, чтобы получилось уравнение с одним неизвестным.
Найдите неизвестное из полученного уравнения.
Подставьте найденное значение неизвестного в любое из исходных уравнений и найдите второе неизвестное.
Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\).
Замечание к шагу 3: В каком случае уравнения складывают, а в каком вычитают? Ответ прост – делайте так, чтоб пропала переменная: если «уравненные» коэффициенты имеют один и тот же знак – вычитайте, а если разные – складывайте.
Пример. Решите систему уравнений: \(\begin
Приводим систему к виду \(\begin
«Уравняем» коэффициенты при иксах. Для этого домножим второе уравнение на \(3\).
Знаки при иксах разные, поэтому чтоб иксы пропали, уравнения надо сложить.
Делим уравнение на \(8\), чтобы найти \(y\).
Игрек нашли. Теперь найдем \(x\), подставив вместо игрека \(-2\) в любое из уравнений системы.
Икс тоже найден. Пишем ответ.
Приведите каждое уравнение к виду линейной функции \(y=kx+b\).
Постройте графики этих функций. Как? Можете прочитать здесь .
Ответ: \((4;2)\)
Матхак. Если сомневаетесь в правильности ответа (неважно каким способом вы решали), проверьте подстановкой значений \(x_0\) и \(y_0\) в каждое уравнение. Если оба уравнения превратятся в верные равенства, то ответ правильный.
Пример: решая систему \(\begin
Оба уравнения сошлись, решение системы найдено верно.
Пример. Решите систему уравнений: \(\begin
Перенесем все выражения с буквами в одну сторону, а числа в другую.
Во втором уравнении каждое слагаемое — четное, поэтому упрощаем уравнение, деля его на \(2\).
Эту систему линейных уравнений можно решить любым из способов, но мне кажется, что способ подстановки здесь удобнее всего. Выразим y из второго уравнения.
Подставим \(6x-13\) вместо \(y\) в первое уравнение.
Первое уравнение превратилась в обычное линейное . Решаем его.
Сначала раскроем скобки.
Перенесем \(117\) вправо и приведем подобные слагаемые.
Поделим обе части первого уравнения на \(67\).
Ура, мы нашли \(x\)! Подставим его значение во второе уравнение и найдем \(y\).
Разработка урока по алгебре на тему «Решение систем уравнений методом алгебраического сложения» (7 класс)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Тема урока: «Решение систем линейных уравнений методом алгебраического сложения»
Цели урока: познакомить обучающихся с методом решения систем уравнений методом алгебраического сложения;
Развивать память, речь, наблюдательность, подмечать закономерность, обобщать, проводить логическое мышление, суждения по аналогии, умение работать с учебником.
Воспитание дисциплины, аккуратности, настойчивости, ответственного отношения к учёбе, умение контролировать свою деятельность.
Оборудование: ноутбук, проектор, доска.
Здравствуйте, ребята! Сегодня у нас на уроке будут присутствовать гости. Поприветствуйте их. Садитесь.
Учитель: Любой человек, который начинает какое-то новое дело, обычно задумывается над тем, что он хочет получить в результате, чего достичь. Давайте и мы подумаем, чего мы сегодня должны достичь на уроке?
Ученик: Познакомиться с новым методом решения систем. Научиться решать системы линейных уравнений методом алгебраического сложения.
Слайд 2 . Девизом нашего урока будут слова «Математику нельзя изучать,
наблюдая как это делает сосед». А.Нивен.
Слайд 3. Учитель: Ничего нового не бывает без старого. Давайте ответим на вопросы.
2. Ответить на вопросы
1. Что называют решением системы уравнений? (пару значений (х;у), которая является решением и первого и второго уравнений системы)
2. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя неизвестными? ( 1 решение, бесконечно много решений или не иметь решения)
3. Как называется система, если она не имеет решений? (система несовместна – прямые параллельны)
4. Как называется система, если она имеет бесконечно много решений (неопределенна – прямые совпадают)
5. Какие методы решения систем уравнений вам известны?
6. Сформулируйте алгоритм решения систем уравнений методом подстановки. — Слайд 5
Решить систему методом подстановки
у-х=30,
1 ученик выполняет на интерактивной доске.
Решим систему способом подстановки, при этом ответим на вопросы:
1. Что нужно сделать? Выразить одну переменную через другую, например, х=80+2у.
2. Подставить полученное выражение в первое уравнение:
3. Решим полученное уравнение: 4у-80-2у=30, 2у=110, у=55.
4. Подставим найденное значение переменной в выражение, полученное в 1 и найдем х. х=80+ 2*55, х=190.
Изучение нового материала
Учитель: А теперь проанализируем, для чего мы выражали одну переменную через другую и подставляли полученный результат в первое уравнение?
Ученик: Чтобы получить уравнение с одной переменной.
Учитель: Правильно, чтобы исключить одну переменную. Но её можно исключить и значительно проще – достаточно сложить оба уравнения системы.
Затем найденное значение переменной подставить в любое уравнение системы и найти значение другой переменной.
Рассмотрим еще один пример.
Рассмотрим систему, где сложение уравнений на первом этапе
не позволяет исключить ни одной переменной.
обратите внимание, коэффициент перед х (1 уравнение) =4,
коэффициент перед х (2 уравнение), =5 , найдем для этих двух чисел наименьшее общее кратное число — это 20 значит,
умножим левую и правую часть 1-го уравнения на 5 , а второго уравнения на 4:
теперь мы можем вычесть второе уравнение из первого,
вычтем левую часть 2-го уравнения из левой части 1-го уравнения,
приравняв результат разности соответствующих правых частей,
подставим полученное значение y = 5 в любое уравнение системы,
например в 1-ое,
Учитель: Теперь я думаю, что вы сможете сформулировать алгоритм метода алгебраического сложения (учащиеся формулируют, учитель корректирует)
Первичное закрепление в устной речи
Работа со слайдом: учащиеся читают алгоритм.
Этап первичной проверки знаний
1. Решить систему методом алгебраического сложения
2. Работа с учебником
Этап проверки усвоения нового материала
Выполнение самостоятельной работы по карточкам с последующей самопроверкой
Способом сложения решите систему линейных уравнений:
Самостоятельная работа (для слабых обучающихся)
Способом сложения решите систему линейных уравнений:
http://cos-cos.ru/math/123/
http://infourok.ru/razrabotka-uroka-po-algebre-na-temu-reshenie-sistem-uravneniy-metodom-algebraicheskogo-slozheniya-klass-664448.html