Решить систему уравнений методом итераций паскаль

Программа решения системы линейных уравнений методом итераций. Разработка Pascal-программы. Блок-схема алгоритма и его описание

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Иногда используются и многошаговые итерационные методы, в которых x ( k +1) определяется через значения x на двух и более предыдущих итерациях.

Очень часто для ускорения сходимости в итерационные методы вводят числовые параметры t_k , которые зависят, вообще говоря, от номера итераци. Способ выбора итерационных параметров определяется при

исследовании сходимости метода, когда выясняется при каких значениях параметров метод сходится и при каких значениях параметров сходимость будет наиболее быстрой (соответствующие параметры называются оптимальными). Для исследования сходимости удобнее записывать итерационные методы не в координатной, а в матричной форме, придерживаясь стандартной формы записи итерационных методов

Канонической формой одношагового итерационного метода решения СЛАУ называется его запись в виде

где B_k+1 — матрица, задающая тот или иной итерационный метод, t_k+1 — итерационный параметр. Предполагается, что существуют обратные матрицы [B_k+1] -1 . Итерационный метод называют явным, если стационарным, ес B_k+1 — единичная матрица. Неявные итерационные методы имеет смысл применять лишь в том случае, когда каждую матрицу B_k обратить легче, чем исходную матрицу A (т. е. когда решение системы уравнений с матрицей B_k требует меньше машинной памяти или времени или алгоритмически проще, чем решение исходной системы).

Итерационный метод называется ecли B_k+1=B и t_k+1=t, (т.е. не зависят от номера итерации), и нестационарным — в противоположном случае. Согласно этой классификации метод простой итерации является одношаговым явным стационарным методом с диагональной матрицей B (b_ii.= a_ii) и может быть записан в виде , где r ( k ) — вектор невязки.

На практике используют три способа определения окончания итераций. При первом определяют величину стабилизации и прекращают вычисления, если она меньше e . Недостатком этого способа является то, что при медленно сходящихся итерациях величина стабилизации может быть малой, хотя приближенное решение сильно отличается от точного.

При втором способе вычисляют нормы невязки до начала итераций и на каждой итерации. При выполнении неравенства итерации прекращают.

При третьем способе предварительно оценивается число итераций, необходимое для получения заданной точностиe. Если для погрешности

итерационного метода выполняются оценки

, где qÎ (0,1), то говорят, что метод сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q. Можно определить число итераций, достаточное для того, чтобы начальная погрешность уменьшилась в заданное число раз, потребовав, чтобы q n i then s:=s-an[i,j]*x0[j];

Итерационные методы решения СЛАУ. Метод простых итераций. Метод Зейделя.

Введение

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений классифицируют на прямые (точные) и итерационные. Прямые методы основаны на выполнении конечного числа арифметических операций, это, например, метод обратной матрицы, метод Гаусса, метод Гаусса-Жордана, метод прогонки для трехдиагональных матриц и т.д. Суть итерационных методов, в свою очередь, заключаются в том, чтобы за счет последовательных приближений получить решение системы, определяемое необходимой точностью. Я попытаюсь наиболее подробно рассмотреть два из них, а именно метод простых итераций и метод Зейделя. Они практически эквивалентны, поэтому ограничусь подробным анализом метода простых итераций, а в конце пару слов скажу по поводу метода Зейделя. А прежде чем приступить к рассмотрению какого-то конкретного метода, хочется немного описать итерационные методы решения СЛАУ в общем плане.

Эти методы характеризуются большими расчетными объемами, что не мешает им быть по своей структуре достаточно простыми. Всего-навсего за счет предыдущих приближений мы получаем новые приближения, и, если система удовлетворяет условию сходимости, то эти приближения все меньше и меньше отличаются от аналитического решения.

Для итерационных методов можно выделить три последовательных этапа:

1. Приведение исходной системы вида к итерационной форме.
2. Проверка условия сходимости.
3. Решение системы одним из методов.

Метод простых итераций

Теперь, опираясь на представленную последовательность, разберем метод простых итераций. Сразу условимся, что для общего вида систем выполняется тождество m=n, где m — количество уравнений в системе, n — количество неизвестных. Т.е. не имеет смысла решать недоопределенные (m n) системы, т.к. они могут быть сведены путем элементарных алгебраических преобразований к нормальным (m=n) системам линейных уравнений. Другими словами, если у вас имеется «ненормальная» система, то прежде, чем использовать метод простых итераций, преобразуйте ее к нормальной.

Все мы знаем, что система линейных уравнений может быть записана в матричной форме, где A – матрица коэффициентов, b – вектор свободных членов, x – вектор неизвестных. Возьмем систему:

Ее матричная форма:

Смотрим на первый этап итерационных методов – он предполагает преобразование исходной системы, а именно матрицы А и вектора b к итерационной форме, где С и d – итерационные формы исходных данных.

Переход к итерационному виду осуществляется по следующим формулам:

Также следует отметить, что, несмотря на эти формулы, диагональные элементы новой матрицы обнуляются, хотя должны быть равны -1.

В итоге для нашей системы должно получиться:

Проверьте. Ошибка? Если считать по исходной системе, то да. Все дело в том, что я не сказал про одно «НО».

Это «НО» заключается в следующем. Если мы будем преобразовывать исходную систему к итерационной форме, то она не удовлетворит условию сходимости:

Некоторые элементы матрицы C будут больше единицы. А глядя на условие сходимости, становится понятно, что, если хотя бы один будет больше единицы, то условие не выполнится, и решение системы путем простых итераций не будет найдено.

Поэтому открываем учебник по линейной алгебре и вспоминаем элементарные матричные преобразования! Прежде чем следовать этапам итерационных методов, нужно привести исходную систему к виду, в котором все диагональные элементы были бы максимальными по модулю в своих строках. Только при таком виде матрицы коэффициентов можно надеется на выполнение условия сходимости.

Смотрим нашу начальную систему. Видим, что третий элемент третьей строки по модулю больше других. Оставим его неизменным. Меняем местами первую и вторую строки. Теперь умножаем строку, ставшую первой, на -1 и складываем с новой второй. В итоге получаем:

Теперь при подстановке в формулы мы получим итерационную форму верно. К сожалению, это преобразование начальной системы к «благоприятному» виду — чистая аналитика, поэтому записать его в программный код очень сложно, а если даже и попытаться, то в некоторых случаях вероятно возникновение ошибок.

Переходим ко второму этапу: «Проверка условия сходимости» (формулу смотрите выше). Если система не проходит проверку, то приближения не будут сходиться к реальному решению, и ответ получен не будет. В этом случае можно попытаться получить другую «благоприятную» форму. Если условие сходимости выполнено, то стратегия метода простых итераций применима и осуществляется переход к третьему этапу.

В конечном счете, мы получили систему линейных алгебраических уравнений в итерационной форме:

где x₁, x₂, x₃ – приближения, получаемые на текущей итерации за счет приближений полученных на предыдущей итерации — x 0 ₁, x 0 ₂, x 0 ₃.

Итерационный процесс в методе простых итераций идет до тех пор, пока вектор приближений не достигнет заданной точности, т.е. пока не выполнится условие выхода:

Я думаю, что теории достаточно, осталось лишь обратить внимание на программную реализацию метода.

Далее представлен код, написанный в среде PascalABC.Net. Эта система была выбрана мной благодаря возможности работать с динамическими массивами (в Turbo Pascal предусмотрены только статические). Поэтому программа может решать любую нормальную систему линейных уравнений, которая проходит проверку условия сходимости. Главное, чтобы вид этой системы соответствовал вышеописанным критериям.

Применимо к нашей СЛАУ программа выдаст ответ: x₁=1.0000002, x₂=2.000000009, x₃=-1.0000002. Такой вектор приближений соответствует точности 10 -6 , прописанной в коде.

Метод Зейделя

Как я уже говорил, метод простых итераций и метод Зейделя почти идентичны. Разница лишь в том, что в методе Зейделя расчет вектора приближений на текущей итерации происходит с использованием данных, полученных ни только на предыдущей, но и на нынешней итерации. То есть элемент x₁ вычисляется на основе x₂ и x₃, значения которых, расчитаны на предыдущей итерации, а следующий элемент x₂ уже вычисляется за счет x₁, полученного именно на текущей итерации, и x₃ на предыдущей. Другими словами данные в методе Зейделя для расчета вектора X поступают в процесс по мере их вычисления. А в методе простых итераций используются данные, строго полученные на предыдущей итерации.

Это различие говорит нам о том, что метод Зейделя обладает наилучшей сходимостью нежели метод простых итераций, так как для него характерна тенденция использования приближений, получаемых по ходу процесса, наиболее близких к конечному результату.

И на последок покажем это различие в практической реализации. Чтобы метод простых итераций «превратился» в метод Зейделя нужно поменять процедуру ProstIterMetode, например, на следующую:

Лабораторная работа: Итерационные методы решения нелинейных уравнений

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1-2.

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Цель работы: научиться решать нелинейные уравнения методом простых итераций, методом Ньютона и модифицированным методом Ньютона с помощью ЭВМ.

1. Изучить метод простых итераций, метод Ньютона и модифицированный метод Ньютона для решения нелинейных уравнений.

2. На конкретном примере усвоить порядок решения нелинейных уравнений с помощью ЭВМ указанными методами.

3. Составить программу (программы) на любом языке программирования и с ее помощью решить уравнение с точностью и . Сделать вывод о скорости сходимости всех трех методов.

4. Изменить и снова решить задачу. Сделать вывод о точности полученных результатов.

5. Составить отчет о проделанной работе.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Доказать графическим и аналитическим методами существование единственного корня нелинейного уравнения

(1)

на отрезке .

2. Построить рабочие формулы метода простых итераций, метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона, реализующие процесс поиска корня нелинейного уравнения (1) на указанном отрезке.

3. Составить программу (программы) на любом языке программирования, реализующие построенные итерационные процессы.

1. Докажем графическим методом единственность корня нелинейного уравнения (1). Из графика функции на Рис.1 видно, что функция пересекает ось в одной точке, являющейся приближенным значением корня нелинейного уравнения (1). Но так как данная функция имеет сложный аналитический вид, то преобразуем уравнение (1) к виду и построим два графика и , имеющих более простой аналитический вид (Рис.2). Абсцисса точки пересечения графиков является приближенным значением корня. Заметим, что графический метод показывает количество корней исходного уравнения, но не доказывает единственность корня на отрезке.

Рис.1

Аналитический метод. Функция непрерывна на отрезке , имеет на концах отрезка разные знаки (), а производная функции не меняет знак на отрезке (). Следовательно, нелинейное уравнение (1) имеет на указанном отрезке единственный корень.

2. Метод простых итераций. Для построения рабочей формулы перепишем уравнение (1) в виде: . Проверим, выполняется ли достаточное условие сходимости на отрезке:

(2)

Если условие выполняется, то итерационный процесс строится по формуле

Заметим, что в точке из отрезка , значение .

Построим функцию . Константа выбирается из условия (2). Если производная , то значение выбирается из интервала , если производная , то – из интервала . Так как всюду положительна на отрезке, то, конкретизируя значение производной в любой точке отрезка (например ), значение определяется из интервала . Выбрав значение , запишем рабочую формулу метода простых итераций:

(3)

Итерационный процесс (3) можно начать, задав произвольное начальное приближение . Процесс (3) заканчивается при одновременном выполнении двух условий: и . В этом случае значение является приближенным значением корня нелинейного уравнения (1) на отрезке .

Метод Ньютона. В качестве начального приближения здесь выбирается правый или левый конец отрезка, в зависимости от того, в котором выполняется достаточное условие сходимости метода Ньютона вида:

(4)

Заметим, что в точке условие (4) не выполняется, а в точке — выполняется. Следовательно в качестве начального приближения выбирается точка . Рабочая формула метода Ньютона для данной задачи запишется так:

(5)

Условия выхода итерационного процесса (5) аналогичны условиям метода простых итераций.

Модифицированный метод Ньютона. Начальное приближение выбирается аналогично методу Ньютона, т.е. . Рабочая формула модифицированного метода Ньютона для данной задачи запишется так:

(6)

Условия выхода итерационного процесса (6) аналогичны условиям метода простых итераций.

Замечание: для того, чтобы сделать вывод о скорости сходимости методов, необходимо в каждом методе выбирать одинаковое начальное приближение.

3. Блок-схема метода простых итераций, метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона приведена на рисунке 3.

Ниже в качестве примера приведены программы на языках программирования Паскаль и С, реализующие итерационный процесс метода простых итераций.

ПРИМЕР ПРОГРАММЫ НА ЯЗЫКЕ ПАСКАЛЬ

printf(“%d %.4f %.4f %.4f %.4f\n”,n++,x,y,fabs(y-x),

Решение: в результате решения нелинейного уравнения (1) на указанном отрезке тремя методами при начальном приближении с точностью и получены следующие результаты: методом простых итераций ; методом Ньютона ; модифицированным методом Ньютона .

4. Содержание отчета.

Отчет о проделанной работе должен содержать: номер и название лабораторной работы; цель работы; содержание работы; задание на работу; теоретическую часть работы (вывод итерационных формул); листинг(и) программ(ы); таблицы результатов (в случае, если число итераций в таблице достаточно большое, в отчет занести две первых и две последних итерации); выводы о проделанной работе.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Определить количество корней исходного нелинейного уравнения графическим методом и построить график (пример приведен на рисунке 2).

2. Доказать аналитическим методом единственность корня исходного нелинейного уравнения на указанном отрезке.

3. Построить итерационные формулы, реализующие процесс поиска корня на отрезке методом простых итераций, методом Ньютона и модифицированным методом Ньютона.

4. Составить программу(ы) на любом языке программирования, реализующую(ие) построенные итерационные процессы, используя алгоритм методов, приведенный на рисунке. Печать результатов должен осуществляться на каждом шаге итераций в виде следующей таблицы: