Решить систему уравнений на pascal

Решение системы уравнений

Задача

Требуется определить, сколько можно преобрести ручек (по цене 10 руб.), карандашей (5 руб.) и ластиков (2 руб.) на 100 рублей. При этом всего предметов должно быть 30.

Решение

Обозначим искомое количество ручек, карандашей и ластиков через переменные a , b и c соответственно.

Цены предметов: pa , pb , pc .

Количество предметов: qty .

Сумма покупки: sum .

Алгоритм решения задачи:

Составим систему уравнений.
Уравнение суммы покупки: 10*a + 5*b + 2*c = 100
Уравнение количества предметов: a + b + c = 30

Заменим числа соответствующими переменными:
Уравнение суммы покупки: pa*a + pb*b + pc*c = sum
Уравнение количества предметов: a + b + c = qty

Чтобы перебрать все возможные варианты сочетания переменных a , b и с , надо использовать три цикла, вложенные друг в друга.
Если при каких-либо значениях a , b и c оба уравнения будут истинны, значит эти значения являются решением для системы уравнений.
Система уравнений может иметь несколько решений или не иметь ни одного.

Программа на языке Паскаль:

При заданных данных программа выдаст два варианта решения системы уравнений:

Программа может выглядеть немного по-другому. При заданных значениях a и b определить c можно по формуле qty — a — b . В таком случае код будет выглядеть так:

Решить систему уравнений на pascal

Матвеева Антонина Гавриловна №241-922-342

Учитель информатики МОУ СОШ №17 с углубленным изученим математики г. Тверь

Разработка программы на языке программирования Паскаль «Решения системы линейных уравнений» разными методами.
С одержание

1.1 Метод Гаусса 4

1.2 Матричный метод 5

1.3 Вычисление определителей второго и третьего порядка 6

1.4 Решение системы линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера 8

2. Описание программы 9

2.1 Работа программы 9

2.2 Блок-схема программы 10

1. Описание математических методов решения систем линейных уравнений

1.1 Метод Гаусса

Пример 1.

Выбирается ведущее уравнение с коэффициентом при х₁, равным 1. В нашем примере ведущим уравнением будет второе. Систему лучше переписать, поставив это уравнение на первое место:

Умножаем первое уравнение на 6 и вычитаем из полученного второе, чтобы исключить из второго неизвестное х₁. Первое уравнение записываем, а на место второго — результат вычитания.

Затем первое уравнение умножим на 3 и складываем с третьим уравнением. Тогда получаем систему

Или

первое уравнение переписываем без изменения, а второе умножаем на 7 и вычитаем из него третье уравнение, умноженное на 15, чтобы избавиться от х₂ в третьем уравнении. При этом второе записываем без изменения, на месте третьего — результат вычитания. Тогда

Из третьего следует х₃ =-3, подставим его во второе, получим х₂ = — 2. Далее подставим найденные х₂ и х₃ в первое уравнение, получим х₁ = 1.

Примечание: если система уравнений не содержит уравнения с коэффициентом 1 при х₁, тогда исключение х₁ из второго и третьего достигается умножением сначала первого на коэффициент второго, а второго на коэффициент первого. Затем умножаем первое на коэффициент третьего, а третье на коэффициент первого. Таким образом при вычитании исключаем х₁.

1.2 Матричный метод

Запишем систему линейных 3 уравнений с 3 неизвестными

Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных

А =

Введем в рассмотрение матрицы — столбцы для неизвестных и свободных членов:

Х = ; В = .

Тогда систему (2) можно переписать в матричной форме

Умножив это уравнение на слева, получим , откуда =или

Следовательно, матрица — решение Х находится как произведение на В.

Пример 2. Решить систему уравнений матричным методом

Решение: определитель матрицы

А=
∆=-1, значит, существует обратная матрица .

Матрица — столбец при неизвестных:

Х =

Матрица — столбец из свободных членов:

В =
Тогда решение запишется в виде
==
Откуда следует, х₁ = 1; х₂ = 0; х₃ = 2.

1.3 Вычисление определителей второго и третьего порядка

Число (а₁₁ а₂₂ — а₁₂ а₂₁) называется определителем второго порядка и обозначается символом

Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца. Числа а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂ называются элементами определителя. Диагональ определителя, на которой расположены числа а₁₁, а₂₂ — главная, а элементы а₁₂, а₂₁ составляют побочную диагональ.

Определитель 3-го порядка содержит три строки и три столбца:

Для вычисления определителя третьего порядка существует несколько способов.

Рассмотрим метод вычисления определителя разложением по элементам первой строки.

Введем понятие минора и алгебраического дополнения.

Минором некоторого элемента определителя называется определитель, полученный из данного вычеркиванием той строки и того столбца в которых этот элемент расположен. Обозначается М_{ij (}i — номер строки, j — номер столбца).

Например, минором элемента а₁₂ является определитель

Алгебраическим дополнением данного элемента определителя называется его минор, умноженный на (-1) i + j . Алгебраические дополнения обозначаются буквами А_ij, и тогда А_y= (-1) i + j M_y.

Определитель вычисляется так:

=.
Так же можно разложить определитель по любой строке или столбцу.

Изложенный метод применим к вычислению определителей 4-го и т.д. порядков.

Пример3. Вычислить определитель разложением по элементам первой строки

Решение: Элементы первой строки

А₁₁ = (-1) 1+1 . М₁₁==4+1=5.

М₁₁ получили, вычеркнув первую строку и первый столбец.
А₁₂ = (-1) 1+2 . М₁₂= — = — (8+3) = — 11.
М₁₂ получили, вычеркнув первую строку и второй столбец.
А₁₃ = (-1) 1+3 . М₁₃ = = 2-3 = — 1.
М₁₃ получили, вычеркнув первую строку и третий столбец.

= 1.5+2. (-11) — 2. (-1) = — 15

1.4 Решение системы линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера

2. Описание программы

2.1 Работа программы

Для решения систем линейных уравнений методом Гаусса и матричным методом создана программа на языке Паскаль. Программа запрашивает исходные данные (рис.1):

матрицу коэффициентов при неизвестных х;

столбец свободных членов

способ решения системы линейных уравнений — вариант 1 или 2.

Рисунок 3.1 Ввод исходных данных

В зависимости от выбранного вариант в программе происходит решение системы уравнений методом Гаусса (рис.2) или матричным методом (рис.3) с выдачей на экран результатов:

Рисунок 3.2 Результаты расчетов системы линейных уравнений методом Гаусса.

Рисунок 3.3 Результаты расчетов системы линейных уравнений матричным методом.
Программа состоит из 7 подпрограмм — 6 процедур и одной функции:

процедура Gauss обеспечивает решение системы линейных уравнений по методу Гаусса;

процедура matrica обеспечивает решение системы линейных уравнений матричным методом;

процедура PrintMatr2 предназначена для выдачи на экран исходной и обратной матрицы;

процедура MultString предназначена для умножения строк матрицы на число r;

процедура AddStrings прибавляет к i1-ой строке матрицы i2-ю, умноженную на число r;

процедура MultMatr предназначена для умножения матриц.

Функция Sign используется для изменения знака на противоположный при вычислении обратной матрицы.

Программа настроена на решение системы 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными. Чтобы решить систему из 2-х уравнений с 2-мя неизвестными необходимо в программе изменить значение константы N с N=3 на N =2 (рис.4).

Рисунок 3.4. Фрагмент программы с описанием констант и переменных.

ВВЕДЕНИЕ

Данный проект о сравнении эффективности решения систем линейных уравнений различными методами и об их аналогах в программах на ЯП ABC Pascal и С++.

Проблема: Но каким способом пользоваться, если нет явных свойств системы уравнений? Есть способы, которые мы не изучаем в школе, такие как методы Гаусса и Крамера. Актуальность – на экзаменах в заданиях встречаются системы уравнений, и знать дополнительный метод их решения не помешает никому; применение опыта решения СЛУ различными способами способствует развитию логической культуры.

Цель. Разработка наиболее рациональной программы для решения СЛУ различной размерности.

изучить основные методы решения СЛУ

изучить метод Крамера и метод Гаусса для решения СЛАУ различной размерности

сравнить рациональность применения методов

сделать программы на Pascal

создать программу на С++

Методы исследования:Сравнение, анализ, обобщение, эксперимент.

Продукт: рациональная программа для решения СЛУ с дополнительным функционалом.

1. Системы линейных уравнений

Определение.Система (1), где х, у – неизвестные, a ₁, a ₂, b ₁, b ₂, с₁, с₂ – коэффициенты системы (данные числа), называется системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Существует три способа решения систем линейных уравнений: графический, подстановки и сложения.

2. Основные методы решения систем линейных уравнений 2-го порядка

При решении таких систем возможны следующие случаи:

система имеет единственное решение – прямые пересекаются,

система не имеет решений – прямые параллельны,

система имеет бесчисленное множество решений – прямые совпадают.

2.1. Графический метод

АЛГОРИТМ: Способ заключается в построении графика каждого уравнения, входящего в данную систему, в одной координатной плоскости и нахождении точки пересечения этих графиков. Координаты этой точки (x; y) и будут являться решением данной системы уравнений.

Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, пересекаются, то система уравнений имеет единственное решение.

Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны, то система уравнений не имеет решений.

Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают, то система уравнений имеет бесконечное множество решений.

2.2. Метод подстановки

Заключается в том, что используя одно из уравнений, выражаем y, а затем подставляем полученное выражение во второе уравнение, вместо y. Решаем уравнение с одной переменной, находим x, а затем и y.

Выразить y в первом уравнении.

Подставить выражение, которое получилось в первом (то есть, чему равно y ), во второе уравнение вместо y.

Найти x, используя полученное уравнение.

Найти y, используя уравнение, которое получили при первом действии.

Выполнить проверку решения.

2.3. Способ сложения

Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом сложения:

1. Если требуется, путем равносильных преобразований уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях.

2. Складывая или вычитая полученные уравнения получить линейное уравнение с одним неизвестным

3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из переменных.

4. Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную.

5. Сделать проверку решения.

3. Метод Крамера для решения СЛУ

1) Решим систему:

Умножим первое уравнение этой системы на b ₂≠0, а второе уравнение на (- b ₁)≠0, тогда данная система приобретает вид:

Сложим уравнения полученной системы (при этом у нас получится неизвестное у):

если выражение ≠0, то можно выразить неизвестное х:

подставим полученное значение х в одно из уравнений системы и найдем значение у:

Условимся выражение обозначать . Тогда выражение

Числа a ₁, a ₂, b ₁, b ₂ – элементы определителя, a ₁, b ₂ – главная диагональ, a ₂, b ₁ – вспомогательная диагональ. Чтобы вычислить определитель второго порядка достаточно найти разность произведений элементов главной и вспомогательной диагоналей.Обозначения:

Определитель ∆ _x получается из ∆ заменой элементов первого столбца свободными членами системы; аналогично получается ∆ _y .

Т аблица. Условия, определяющие число решений системы линейных уравнений

В приложении №1 – примеры решения СЛУ 2-го порядка методом Крамера.

4. Метод Гаусса для решения СЛУ

Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений. Правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случае приведет нас к ответу.

5. Сравнение методов решений

Для оценки рациональности использования того или иного метода в программирование при решении систем уравнений 2-го порядка взял следующие критерии:

— скорость выполнения задания;

Для объективности брал в равной мере как примеры «удобные» для решения тем или иным способом так и «неудобные» и сравнивали их решение с решением в программах на ЯП Pascal . Каждый критерий оценен по 10-бальной шкале.

Подробное решение и сравнение, а также выводы по каждому сравнению можно увидеть в приложении №3.

5.1. Метод Крамера и графический метод

Метод Крамера во всех примерах оказался гораздо точнее. Графический метод – специфический и служит больше для визуального представления решения систем линейных уравнений в виде пересечения двух графиков.

5.2. Метод Крамера и метод подстановки

Мне показались два метода равнозначно удобными. Но анализ полученных данных не совпал с субъективным мнением. И хоть по скорости выполнения способ подстановки обогнал метод Крамера, но более точный результаты у последнего. Точность в способе подстановки пострадала из-за запутанности решений некоторых систем линейных уравнений.

5.3. Метод Крамера и способ сложения

Эти два метода показались практически равнозначны. Более сложные системы с дробными коэффициентами при неизвестных удобнее решать все же методом Крамера, но если коэффициенты натуральные числа, то гораздо быстрее система решается способом сложения.

Получаем, что решение СЛУ 2 порядка способом сложения или способом подстановки дают точное решение, что не всегда удается достичь при решении графически. Но, решая СЛУ более 2 порядка этими способами тяжело, удобнее воспользоваться методом Крамера или методом Гаусса.

5.4. Метод Крамера и метод Гаусса

Метод Гаусса быстрее м-да Крамера. По точности — одинаковы. Считать для СЛУ размерности большей, чем 2 на 2 – неудобно вручную.

А что если написать программы для решения систем линейных уравнений методом Крамера/методом Гаусса? Именно это я и сделал целью нашего проекта.

Средой разработки была выбрана ABC Pascal .

6. Разработка программ

6.1. Разработка программ на Pascal

Выяснил на собственном опыте, что считать СЛУ больших размерностей неудобно вручную. Тогда для решения систем линейных уравнений размерности большей, чем 2 на 2, было решено разработать программы на ЯП Pascal ABC и сравнить их друг с другом.

6.1.1. Разработка программы. Способ сложения

В этой программе использовал 3 массива в типе real , оператор If , циклы for . Полностью с программой можно познакомиться в Приложении2. п.1

Пример работы программы для СЛУ:

— Далее вводим свободные члены

— Программа выводит на экран корни системы

6.1.2. Разработка программы. Способ подстановки

В этой программе использовал 3 массива в типе real , оператор If , циклы for . Полностью с программой можно познакомиться в Приложении2. п.2

Пример работы программы для СЛУ:

6 .1.3. Разработка программы. Метод Крамера

В этой программе использовал оператор If . Полностью с программой можно познакомиться в Приложении2. п.3

Пример работы программы для СЛУ:

6.1.4. Разработка программы. Метод Крамера для n -размерности

В этой программе использовал 3 массива в типе real , оператор If , циклы for . Полностью с программой можно познакомиться в Приложении2. п.4

Далее вводим коэффициенты

Потом вводим свободные члены

6.1.5. Разработка программы. Метод Гаусса для n -размерности

В этой программе использовал 3 массива в типе real , оператор If , циклы for . Полностью с программой можно познакомиться в Приложении2. п.5

Далее вводим расширенную матрицу

Программа выдает решение

6.1.6. Сравнение. Метод Крамера и Гаусса на листочке и в Pascal

Применение методов Крамера или Гаусса во всех примерах на ЯП Pascal оказались гораздо точнее, но уступали в СЛУ размерностью 2 x 2 скоростью.

В результате выполненной работы получил, что программа неудобна для использования для решения СЛУ маленькой размерности, но при этом выигрывает для систем линейных уравнений, начиная с 3 порядка.

6.1.7. Сравнение программ на Pascal .

Я создал программы на метод подстановки, на метод сложения, на метод Крамера и на метод Гаусса (для СЛУ 2 порядка) и на метод Крамера и на метод Гаусса (для систем линейных уравнений от 2 до 10 размерности). Из них более рациональными в использовании кажутся две последние, т.к. можно использовать для СЛУ любого порядка (до 10-го). Поэтому их я и решил сравнить.

С помощью компиляции в PascalABC . NET сравнили решение СЛУ в программе «Крамер на n -размерность» с решением программе «Гаусс на n -размерность». Сравнивали по скорости выполнения данных:

Как видно из графика, нашей программе по методу Гаусса требуется немного больше времени. Но мне нравится использовать обе программы. И для обычного пользователя данная «потеря» времени незначительна и даже незаметна. Поэтому предлагаю проверять свои решения СЛУ с помощью этих программ!

Я выяснил на собственном опыте (см. приложение), что считать СЛУ больших размерностей неудобно вручную. Тогда для решения систем линейных уравнений размерности большей, чем 2 на 2, решил разработать программу на ЯП С++.

6.2. Разработка программы на С++.

Но ЯП Pascal является учебным и не предназначен для создания мощных проектов. Поэтому перешел на С++.

6.2.1. Реализация метода Крамера на С++.

Я решил выбрать метод Крамера для написания программы на С++, так как он показался легко записываемым в качестве формул. Написал программу на размерность до 4 и проверили ее, сравнив с решением на листочке и в предыдущей программе на Pascal .

Далее дополнил программу дополнительными функциями для того, чтобы она была более интересной. Добавленные функции: калькулятор, нахождение тригонометрических функций (косинус, синус, тангенс, котангенс), решение квадратных уравнений, нахождение большего или меньшего числа из множества, нахождения четных и нечетных чисел из множества, побайтовый сдвиг вправо и побайтовый сдвиг влево, нахождение значения log по основанию 2 и по основанию 10, таблица умножения и таблица квадратов, функция – запоминание числа, перевод из десятичной системы счисления в другую (начиная с двоичной и заканчивая 9-ой), нахождение корня числа и возведение в степень.

Дальше встал вопрос об оформлении приложения. Для этого использовались функции изменения размера текста, цвета фона и также стирание фрагментов текста в консоли. Для создания рамок была использована капелька хитрости.

6.2.2. Метод Крамера на листочке и в С++

Применение метода Крамера во всех примерах на ЯП С++ оказались гораздо точнее, но уступали в СЛУ размерностью 2 x 2 скоростью. В результате выполненной работы я пришел к аналогичному выводу (что и в результате с программой на Pascal ) — программа неудобна для использования для решения СЛУ маленькой размерности, но при этом выигрывает для систем линейных уравнений, начиная с 3 порядка.

6.2.3. Мнение пользователей.

Программу дал опробовать нашим ровесникам и учителям нашей школы. В тестировании программы приняло участие 30 учащихся 8 – 10 классов и 7 учителей. От каждого услышал, что нужно добавить и, что нужно улучшить. Я всегда прислушиваюсь к советам пользователей и поэтому у меня часто появляются новые версии.

6.2.4. Экономическая и экологическая оценка.

Экономический аспект включает: амортизацию компьютерной техники, электричество, оплату интернет-трафика. Бумагу, картридж, интернет, ПО – все предоставила школа (бесплатно).

Потребовались значительные временные затраты – с августа 2018г. по текущее время: сначала изучали СЛУ, повторяли методы, изучаемые в школе, изучили м-ды Крамера и Гаусса, отработали навыки решения СЛУ, написали программы на ЯП Паскаль, проанализировали, протестировали, изучили С++, написали программу, протестировали на группе людей, проанализировали, доработали, опять тестировали, дорабатывали (по текущее время), для вставки дополнительных функции в МегаКалькулятор, познакомились с основными тригонометрическими, логарифмическими функциями, повторили степенную и квадратичную, повторили системы счисления и перевод в из одной СС в другую и т.д. Получилось, что в неделю тратится в среднем по 12ч на работу над проектом.

Использование моей программы (см. Приложение 2, п.6) пользователем уменьшит время проведенное за компьютером, нагрузку на глаза и опорно-двигательный аппарат; сформирует навыки самоконтроля.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполнения работы:

— Изучена литература по методам решения систем линейных уравнений.

— Подобраны и решены системы линейных уравнений 2 и более порядка основными методами, изучаемыми в школе.

— Подобраны и решены СЛУ 2 и более порядка методом Крамера и Гаусса.

— Было проведено сравнение типовых методов решения СЛУ 2-го порядка с методом Крамера, Гаусса и произведена оценка рациональности использования.

— Были созданы программы на ЯП Pascal .

— Была разработана программа на ЯП С++ (Мега калькулятор).

Метод Крамера и/или метод Гаусса позволяет существенно сократить время нахождения решений систем линейных уравнений, избежать «лишних» записей в сложных случаях. А в случае сравнения с графическим методом – дает точное решение (что не является его преимуществом перед остальными двумя методами, т.к. они дают тоже точное решение).

Мне кажется, метод Крамера и метод Гаусса доступен для изучения учащимся 8 классов при решении систем линейных уравнений 2 порядка и может быть предложен ученикам как дополнительный метод. А разработка программ для решения СЛУ – для кружковых и факультативных занятий по информатике.

МегаКалькулятор создан для использования в качестве самоконтроля и может пригодиться при использовании многих тем в алгебре и информатики.

Список литературы. Интернет-ресурсы.

Список литературы

1. Алгебра: дидактические материалы для 7 кл. / Л.И.Званич, Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, — 12-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2007. – 160 с.

2. Математика: Справ.материалы: Кн.для учащихся. – М.: Просвещение, 1988. – 416с.

3. Сборник задач по алгебре. Часть II . Для 8 – 10 классов средней школы. / П.А.Ларичев, — уч.-изд. –М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства Просвещения РСФСР, 1952

4. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике в восьмых классах общеобразовательных школ РСФСР. –2-е изд., дораб. — М.: Просвещение, 1985. – 64 с.

Список используемых Интернет-ресурсов

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%9A%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B0 – метод Крамера

http://www.mathematics-repetition.com/6-klass-mathematics/6-9-1-reshenie-sistem-lineynh-uravneniy-grafitcheskim-sposobom.html — графический метод

http://school-assistant.ru/?predmet=algebra&theme=reshenie_sistem_2_lin_uravnenij_2_perem_podstanovki – метод подстановки

http://www.nado5.ru/e-book/sposob-slozheniya — способ сложения

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81%D0%B0 – метод Гаусса

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81,_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BB_%D0%A4%D1%80%D0%B8%D0%B4%D1%80%D0%B8%D1%85 – Карл Фридрих Гаусс

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение №1. Примеры решения систем линейных уравнений 2-го порядка методом Крамера

Система имеет единственное решение

Коэффициенты пропорциональны, а свободные члены не подчинены той же пропорции. Система не имеет решений.

Одно из уравнений есть следствие другого (например, второе получается из первого умножением на 2). Система сводится к одному уравнению и имеет бесчисленное множество решений, содержащихся в формуле

Приложение №2. Программы

Подбор систем линейных уравнений и их прорешивание всеми изучаемыми способами и методами занял наибольшее количество времени. Основные СЛУ, используемые нами, приведены в тетради. Здесь приведу код Мега калькулятора и первые программы в Паскале

Var Q: array [ 1..100000 ] of real ;

W: array [ 1..100000 ] of real ;

D: array [ 1..100000 ] of real ;