Решить систему уравнений с помощью матричной экспоненты

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом

Вы будете перенаправлены на Автор24

Матричная запись системы обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) с постоянными коэффициентами

Линейную однородную СОДУ с постоянными коэффициентами $\left\<\begin <\frac> =a_ <11>\cdot y_ <1>+a_ <12>\cdot y_ <2>+\ldots +a_ <1n>\cdot y_ > \\ <\frac> =a_ <21>\cdot y_ <1>+a_ <22>\cdot y_ <2>+\ldots +a_ <2n>\cdot y_ > \\ <\ldots >\\ <\frac> =a_ \cdot y_ <1>+a_ \cdot y_ <2>+\ldots +a_ \cdot y_ > \end\right. $,

где $y_ <1>\left(x\right),\; y_ <2>\left(x\right),\; \ldots ,\; y_ \left(x\right)$ — искомые функции независимой переменной $x$, коэффициенты $a_ ,\; 1\le j,k\le n$ — заданные действительные числа представим в матричной записи:

Теперь на основе правила умножения матриц данную СОДУ можно записать в виде матричного уравнения $\frac =A\cdot Y$.

Общий метод решения СОДУ с постоянными коэффициентами

Решение СОДУ отыскивается в следующем виде: $y_ <1>=\alpha _ <1>\cdot e^ $, $y_ <2>=\alpha _ <2>\cdot e^ $, \dots , $y_ =\alpha _ \cdot e^ $. В матричной форме: $Y=\left(\begin > \\ > \\ <\ldots >\\ > \end\right)=e^ \cdot \left(\begin <\alpha _<1>> \\ <\alpha _<2>> \\ <\ldots >\\ <\alpha _> \end\right)$.

Теперь матричному уравнению данной СОДУ можно придать вид:

Полученное уравнение можно представить так:

Последнее равенство показывает, что вектор $\alpha $ с помощью матрицы $A$ преобразуется в параллельный ему вектор $k\cdot \alpha $. Это значит, что вектор $\alpha $ является собственным вектором матрицы $A$, соответствующий собственному значению $k$.

Готовые работы на аналогичную тему

Это уравнение называется характеристическим.

Одно из значений в этой матрице выбирают произвольно.

Окончательно, решение данной системы в матричной форме записывается следующим образом:

где $C_ $ — произвольные постоянные.

Записываем матрицу системы: $A=\left(\begin <5>& <4>\\ <4>& <5>\end\right)$.

Получаем характеристическое уравнение:

Корни характеристического уравнения: $k_ <1>=1$, $k_ <2>=9$.

Получаем решение СОДУ в матричной форме:

В обычной форме решение СОДУ имеет вид: $\left\<\begin =C_ <1>\cdot e^ <1\cdot x>+C_ <2>\cdot e^ <9\cdot x>> \\ =-C_ <1>\cdot e^ <1\cdot x>+C_ <2>\cdot e^ <9\cdot x>> \end\right. $.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 19 01 2022

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом

Запишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

в матричном виде:

, где .

Рассмотрим матричный метод решения систем. Ограничимся однородными системами. Пусть

однородная система. Находим корни характеристического уравнения

.

Простому корню характеристического уравнения соответствует решение , где — собственный вектор матрицы соответствующий собственному значению . Для кратного корня, ситуация более сложная, чем при решении одного уравнения. В этом случае число линейно независимых решений системы может быть меньше кратности корня. Если пара собственных корней характеристического уравнения комплексно сопряженные, то и решения тоже комплексно сопряженные. Поэтому можно выделить пару действительных решений. Приведем несколько примеров.

Пример 1 Решить систему дифференциальных уравнений

.

Составим характеристическое уравнение

Его корни . Находим собственные , отвечающие этим собственным значениям

Следовательно, можно взять и решение соответствующее первому собственному значению . Точно так же, находим собственный вектор отвечающий второму собственному значению:

Решение соответствующее второму собственному значению такое: .

Наконец, находим третье решение:

Таким образом, третий собственный вектор можно взять и третье решение: .

Общее решение запишем в векторном виде:

.

Пример 2 Решить систему дифференциальных уравнений .

Составляем характеристическое уравнение:

Поскольку система с вещественными коэффициентами, то можно найти решение соответствующее корню , а другое решение, соответствующее комплексно сопряженному корню будет комплексно сопряженным найденному.

Ищем собственные векторы:

.

Второе уравнение системы не пишем, так как оно линейно зависимое с первым. Можем взять . Таким образом, решение такое: . Чтобы найти два вещественных решения, нужно взять действительную и мнимые части полученного комплексного решения

Таким образом, общее решение системы:

.

Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?

Матричный метод онлайн

Данный онлайн калькулятор решает систему линейных уравнений матричным методом. Дается очень подробное решение. Для решения системы линейных уравнений выберите количество переменных. Выбирайте метод вычисления обратной матрицы. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

(1)

Для решения системы линейных уравнений (1) матричным методом запишем ее матричном виде:

(3)

Мы будем предполагать, что матрица A имеет обратное, т.е. определитель матрицы A не равен нулю.

Умножим матричное уравнение (2) на обратную матрицу A −1 . Тогда

Учитывая определение обратной матрицы, имеем A −1 A=E, где E— единичная матрица. Следовательно (4) можно записать так:

или, учитывая, что Ex=x:

Таким образом, для решения системы линейных уравнений (1) (или (2)), достаточно умножить обратную к A матрицу на вектор ограничений b.

Примеры решения системы линейных уравнений матричным методом

Пример 1. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:

Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b, где

.

Найдем обратную к матрице A методом Жордана-Гаусса. С правой стороны матрицы A запишем единичную матрицу:

.

Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 1. Для этого заменяем местами строки 1 и 2:

.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/3,-1/3 соответственно:

.

Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 2. Для этого заменяем местами строки 2 и 3:

.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -24/51:

.

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строки 1, 2 со строкой 3, умноженной на 17/53, 85/159 соответственно:

.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -3/17:

.

Делим каждую строку матрицы на ведущий элемент соответствующей строки:

.

Отделяем правую часть матрицы. Полученная матрица является обратной матрицей к A :

.

Обратная матрица найдена. Решение системы линейных уравнений имеет вид x=A−1b. Тогда

.

Пример 2. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:

.

Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b, где

.

Найдем обратную к матрице A методом алгебраических дополнений. Вычислим определитель матрицы A :

.

Вычислим все алгебраические дополнения матрицы A:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Обратная матрица вычисляется из следующего выражения:

где A_ij − алгебраическое дополнение элемента матрицы A, находящиеся на пересечении i-ой строки и j-ого столбца, а Δ − определитель матрицы A.

Используя формулу обратной матрицы, получим:

Обратная матрица найдена. Решение системы линейных уравнений имеет вид x=A −1 b. Тогда