Примеры решения систем линейных уравнений способом сложения
Рассмотрим конкретные примеры решения систем линейных уравнений способом сложения.
Ищем наибольший общий делитель коэффициентов при каждой из переменных (коэффициенты берем со знаком «+»).
Наименьшее общее кратное коэффициентов при x — НОК(5;2)=10, при y — НОК(3;3)=3.
Проще работать с y, поскольку для получения перед y противоположных чисел достаточно умножить любое из уравнений на -1. Проще умножить на -1 второе уравнение системы (в этом случае после сложения уравнений коэффициент при x — положительное число).
Теперь подставим x=3 в любое из уравнений системы, например, во второе:
Решаем это уравнение:
Ответ записываем в круглых скобках через точку с запятой в алфавитном порядке.
НОК(6; 4)=12, НОК(13; 5)=65. Проще работать с коэффициентами перед x.
Чтобы получить перед иксами противоположные числа, первую систему умножим на -2, вторую — на 3
и сложим почленно левые и правые части уравнений:
Подставляем y= -1 в первое уравнение системы и находим x:
НОК(3; 5)=15, НОК(5; 7)=35. Проще получить противоположные числа перед x.
Для этого умножим первое уравнение системы на 5, второе — на -3:
и сложим почленное левые и правые части полученных уравнений:
Подставляем y=2 в первое уравнение системы и находим x:
Прежде чем применить способ сложения, данную систему следует упростить. Умножим первое уравнение на наименьший общий знаменатель дробей, во втором раскроем скобки:
Получили систему линейных уравнений с двумя переменными. Для решения её способом сложения достаточно умножить второе уравнение на -1 и сложить почленно левые и правые части уравнений:
Подставляем найденное значение b в первое уравнение системы (линейных уравнений):
Систему линейных уравнений с тремя переменными можно решить, сначала исключив одно из неизвестных, а затем — другое.
В данной системе проще всего исключить переменную z.
К первому уравнению прибавим третье, умноженное на -3:
Ко второму уравнению прибавим третье, умноженное на 2:
Получили систему линейных уравнений с двумя переменными:
НОК(8;10)=40, НОК(13; 7)=91. Проще работать с x:
Подставив полученные значение y во второе уравнение системы с двумя переменными, найдём x:
Подставив значения y и x в третье уравнение системы с тремя переменными, найдём z:
Решение системы линейных уравнений методом сложения
Алгоритм решения системы линейных уравнений методом сложения
- Умножить обе части одного или обоих уравнений так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными (или равными) числами.
- Сложить (или отнять) уравнения, чтобы избавиться от одной из переменных.
- Решить второе уравнение относительно выраженной переменной.
- Решить полученное уравнение с одной переменной.
- Найти вторую переменную.
- Записать ответ в виде упорядоченной пары найденных значений переменных.
Умножаем первое уравнение на 2
Отнимаем от первого уравнения второе:
Находим y из первого уравнения:
В последовательной записи:
$$ <\left\< \begin
Примеры
Пример 1. Решите систему уравнений методом сложения:
$ а) <\left\< \begin
$ б) <\left\< \begin
$ в) <\left\< \begin
$ г) <\left\< \begin
Пример 2. Найдите решение системы уравнений:
$$а) <\left\< \begin
$$\Rightarrow <\left\< \begin
$ в) <\left\< \begin
$ г) <\left\< \begin
$$ \Rightarrow <\left\< \begin
Пример 3*. Найдите решение системы уравнений:
Введём новые переменные: $ <\left\< \begin
Перепишем систему и найдём решение для новых переменных:
$$ <\left\< \begin
6.9.3. Решение систем линейных уравнений методом сложения.
Чтобы решить систему линейных уравнений с двумя переменными методом сложения, надо:
1) умножить левую и правую части одного или обоих уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в уравнениях стали противоположными числами;
2) сложить почленно полученные уравнения и найти значение одной из переменных;
3) подставить найденное значение одной переменной в одно из данных уравнений и найти значение второй переменной.
Если в данной системе коэффициенты при одной переменной являются противоположными числами, то решение системы начнём сразу с пункта 2).
Примеры. Решить систему линейных уравнений с двумя переменными методом сложения.
Так как коэффициенты при у являются противоположными числами (-1 и 1), то решение начинаем с пункта 2). Складываем уравнения почленно и получим уравнение 8х = 24. Вторым уравнением системы можно записать любое уравнение исходной системы.
Найдём х и подставим его значение во 2-ое уравнение.
Решаем 2–ое уравнение: 9-у = 14, отсюда у = -5.
Сделаем проверку. Подставим значения х = 3 и у = -5 в первоначальную систему уравнений.
Примечание . Проверку можно сделать устно и не записывать, если наличие проверки не оговорено в условии.
Ответ: (3; -5).
Если мы умножим 1-ое уравнение на (-2), то коэффициенты при переменной х станут противоположными числами:
Сложим эти равенства почленно.
Мы получим равносильную систему уравнений, в которой 1-ое уравнение есть сумма двух уравнений прежней системы, а 2-м уравнением системы мы запишем 1-ое уравнение исходной системы (обычно записывают уравнение с меньшими коэффициентами):
Находим у из 1-го уравнения и полученное значение подставляем во 2-ое.
Решаем последнее уравнение системы и получаем х = -2.
Ответ: (-2; 1).
Сделаем коэффициенты при переменной у противоположными числами. Для этого все члены 1-го уравнения умножим на 5, а все члены 2-го уравнения на 2.
Подставим значение х=4 во 2-ое уравнение.
3 · 4 — 5у = 27. Упростим: 12 — 5у = 27, отсюда -5у = 15, а у = -3.
http://reshator.com/sprav/algebra/7-klass/reshenie-sistemy-linejnyh-uravnenij-metodom-slozheniya/
http://mathematics-repetition.com/6-9-3-reshenie-sistem-lineynh-uravneniy-metodom-slozheniya/