Решить систему уравнений в си

BestProg

Разработка приложения решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Условие задачи

Задана система линейных алгебраических уравнений:

Разработать приложение, которое осуществляет решение системы линейных алгебраических уравнений с помощью метода Гаусса. Работа приложения должна быть реализована в виде мастера, в котором информация для каждого следующего шага определяется из информации на предшествующем шаге.

Выполнение

При сохранении проекта имя модуля главной формы приложения оставляем по умолчанию « Unit1.cpp «.

Рис. 1. Форма приложения с созданными файлами

2. Разработка главной формы приложения

2.1. Название приложения

Задать название приложения. Для этого свойство Caption главной формы устанавливаем в значение «Метод Гаусса».

2.2. Установка свойств формы

Выделить форму. В Object Inspector установить значение следующих свойств:
– свойство Border Style = bsDialog ;
– свойство Position = poScreenCenter ;
– в свойстве Font выбрать параметры шрифта: шрифт Tahoma , размер шрифта 12 (рис. 2).

Рис. 2. Установка параметров шрифта главной формы приложения

В результате, форма приложения примет вид как показано на рисунке 3.

Рис. 3. Главная форма приложения

2.3. Компонент типа TGroupBox

Размещаем на форме компонент (элемент управления) типа TGroupBox из палитры компонент « Tool Palette «.

Рис. 4. Компонент типа TGroupBox

В результате, система создаст объект-переменную с именем GroupBox1 .

Изменяем размеры компонента GroupBox1 на всю ширину окна главной формы.

Свойство Caption компонента GroupBox1 устанавливаем в значение « Условие задачи «. Форма приложения будет иметь вид, как показано на рисунке 5.

Рис. 5. Форма приложения после размещения компонента TGroupBox

2.4. Компонент типа TLabel .

Размещаем компонент типа TLabel в области компонента TGroupBox . Автоматически создается объект-переменная с именем Label1 (рис. 6).

Устанавливаем свойство WordWrap компонента Label1 в значение « true » (рис. 6).

С помощью мышки изменяем ширину вывода текста компонента Label1 (рис. 6).

Рис. 6. Компонент Label1 , свойство WordWrap

Свойство Caption компонента Label1 устанавливаем в значение:

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

В результате, форма приложения примет вид, как показано на рисунке 7.

Рис. 7. Форма приложения после размещения компонента Label1

2.5. Компоненты типа TButton .

Размещаем на форме компоненты типа TButton . В результате образуются два объекта-переменные с именами Button1 и Button2 .

Для лучшей наглядности изменяем размеры компонент так как показано на рисунке 8.

Рис. 8. Форма приложения с размещенными компонентами Button1 и Button2

Устанавливаем такие свойства компонент Button1 и Button2:
– в компоненте Button1 свойство Caption = «Выход» ;
– в компоненте Button2 свойство Caption = «Расчет >>» .

В результате форма приложения примет вид, как показано на рисунке 9.

Рис. 9. Главная форма приложения после размещения всех компонент

3. Программирование события клика на кнопке «Выход».

Вызовем событие OnClick компонента Button1 (кнопка « Выход «) (рис. 10). Событие размещается на вкладыше Events в Object Inspector .

Процесс программирования события OnClick подробно описан здесь.

Рис. 10. Вызов события OnClick компонента Button1

В результате, откроется окно с программным кодом метода обработки события. Между скобками < >вводим вызов метода Close() .

Метод Close() закрывает окно главной формы приложения и осуществляет все необходимые операции по освобождению памяти, ресурсов и т.д.

Листинг метода обработки события следующий:

4. Разработка формы ввода числа уравнений n.

4.1. Размещение компонент на форме и их настройка.

Процесс создания новой формы подробно описан здесь.

Для создания новой формы вызовем команду

В результате, будет создана новая форма, как показано на рисунке 11. Сохраняем форму под именем « Unit2.cpp «.

Создаются файлы, которые соответствуют форме:
– файл « Unit2.h «, содержащий описания глобальных переменных и подключения других модулей;
– файл « Unit2.cpp «, содержащий реализацию методов формы;
– файл « Unit2.dfm «, содержащий описание изображения формы на экране (размеры окна, координаты формы относительно окна экрана, значение цветов и прочее).

Новосозданной форме отвечает объект с именем Form2 . С помощью этого имени можно приступаться к свойствам и методам формы Form2 .

Рис. 11. Новосозданная форма Form2

Осуществим настройку формы Form2 .

Сначала настроим свойства формы:
– свойство Caption = «Задайте число уравнений» ;
– свойство BorderStyle = bsDialog ;
– свойство Position = poScreenCenter ;
– в свойстве Font нужно выбрать следдующие параметры шрифта: шрифт Tahoma, размер шрифта 12.

Размещаем на форме такие компоненты:
– компонент типа TGroupBox которому будет отвечать объект GroupBox1;
– компонент типа TLabel, размещается внутри области компонента GroupBox1 . Компоненту типа TLabel отвечает объект-переменная Label1 ;
– компонент типа TEdit , размещается внутри области компонента GroupBox1 . Этому компоненту отвечает объект (переменная) Edit1 ;
– два компонента типа TButton , которым отвечают объекты с именами Button1 и Button2 .

Осуществим настройку свойств компонент:
– в компоненте GroupBox1 значение свойства Caption = «» (пустая строка);
– в компоненте Label1 значение свойства Caption = «n = « ;
– в компоненте Edit1 значение свойства Text = «» ;
– в компоненте Button1 значение свойства Caption = « ;
– в компоненте Button2 значение свойства Caption = «Далее >>» .

После размещения компонент и корректирования размеров формы, форма Form2 имеет вид как показано на рисунке 12.

Рис. 12. Форма Form2 после размещения и настройки всех компонент

4.2. Программирование обработчиков событий формы Form2 .

В форме Form2 программируем два обработчика событий:
– обработчик события OnClick клика на кнопке « «;
– обработчик события OnClick клика на кнопке « Далее >> «.

Листинг обработчика события клика на кнопке Button1 (« «):

Листинг обработчика события клика на кнопке Button2 (« Продолжить >> «):

Глобальная переменная ModalResult отвечает за состояние формы. Если глобальная переменная ModalResult=0 , то это означает что форма открытая как модальное окно. Как только значение ModalResult станет ненулевым, то форма Form2 закроется с кодом возврата, помещенным в ModalResult .

Таким образом, если пользователь сделает клик на кнопке Button1 , то форма Form2 закроется с кодом возврата mrNo. Если пользователь сделает клик на кнопке Button2, то форма Form2 закроется с кодом возврата mrOk .

5. Построение формы ввода коэффициентов в уравнениях.

5.1. Размещение компонент на форме и их настройка.

Создание формы происходит стандартным путем и описано в п. 4.

Сохраняем форму под именем предлагаемым по умолчанию « Unit3.cpp «.

После создания формы получим объект с именем Form3 . С помощью этого объекта можно будет использовать методы и свойства формы Form3 .

Данной форме отвечают файлы с именами « Unit3.h «, « Unit3.cpp » и « Unit3.dfm «.

Сначала осуществим настройку свойств формы Form3 так, как описано в п. 4:
– свойство Caption = «Ввод коэффициентов уравнений «;
– свойство BorderStyle = bsDialog ;
– свойство Position = poScreenCenter ;
– в свойстве Font нужно выбрать параметры шрифта: шрифт Tahoma , размер шрифта 12 .

Для построения формы ввода коэффициентов уравнений используем такие компоненты:
– два компонента типа TLabel . Автоматически будут созданы объекты с такими именами: label1 и label2 ;
– компонент типа TStringGrid (рис. 13) для ввода коэффициентов, которые размещаются в левой части системы уравнений.

Компонент TStringGrid размещается во вкладке Additional панели инструментов « Tool Palette «. Создается объект с именем StringGrid1 ;
– компонент типа TStringGrid (рис. 13) для введения коэффициентов, которые размещаются в правой части системы уравнений. Создается объект с именем StringGrid2 ;
– два компонента типа TButton (кнопки « » и « Продолжить >> «). Создаются два объекта с именами Button1 и Button2 .

Рис. 13. Компонент TStringGrid на палитре компонент

После размещения компонент и корректировки их размеров, форма Form3 будет иметь приблизительно следующий вид (рис. 14).

Рис. 14. Форма Form3

Формируем свойства компонент формы Form3:
– в компоненте Label1 свойство Caption = « Коэффициенты в левой части уравнения «;
– в компоненте Label2 свойство Caption = «Правая часть» ;
– в компоненте Button1 свойство Caption = « ;
– в компоненте Button2 свойство Caption = «Далее >>» .

Формируем свойства компонентов типа TStringGrid :
– в компоненте StringGrid1 свойство FixedCols = 0 (число фиксированных колонок);
– в компоненте StringGrid1 свойство FixedRows = 0 (число фиксированных строк);
– в компоненте StringGrid2 свойство FixedCols = 0 ;
– в компоненте StringGrid2 свойство FixedRows = 0 ;
– в компоненте StringGrid1 выбираем вкладку Options и устанавливаем опцию goEditing в значение « true «;
– в компоненте StringGrid2 во вкладке Options опция goEditing = « true «.

Рис. 15. Установление опции goEditing во вкладке Options компонента StringGrid1

После выполненных действий, форма Form3 будет иметь вид как показано на рисунке 16.

Рис. 16. Форма Form3 после окончательного формирования

5.2. Программирование обработчиков событий формы Form3 .

Программируем обработчики событий OnClick клика на кнопках Button1 и Button2 формы Form3 .

Листинг обработчиков событий приведен ниже.

6. Создание формы вывода результата.

Последней в приложении создается форма, которая будет выводить результат вычислений. Процесс создания и сохранения формы подробно описан здесь. При сохранении формы оставляем имя по умолчанию « Unit4.cpp «.

В результате получаем объект с именем Form4 .

Новосозданная форма Form4 описывается в файле « Unit4.dfm «. Также форме отвечают файлы « Unit4.h » и « Unit4.cpp «.

6.1. Построение формы Form4 .

Сначала настраиваем свойства формы Form4 :
– свойство Caption = «Результат» ;
– свойство BorderStyle = bsDialog ;
– свойство Position = poScreenCenter ;
– в свойстве Font нужно выбрать следующие параметры шрифта: шрифт Tahoma , размер шрифта 12 .

Также корректируем размеры формы.

Следующим шагом идет размещение на форме компонент.

Размещаем на форме следующие компоненты (рис. 17):
– один компонент типа TLabel ;
– два компонента типа TStringGrid ;
– один компонент типа TButton .

Корректируем размеры и позиции компонент для удобного отображения.

После размещения компонент будут созданы объекты с такими именами: Label1 , StringGrid1 , StringGrid2 , Button1 . В компоненте StringGrid1 выводятся номера переменных величин x в уравнении. В компоненте StringGrid2 выводятся значения решения системы уравнений.

Настраиваем компоненты формы следующим образом:
– в компоненте Label1 свойство Caption = «Решение системы» ;
– в компоненте Button1 свойство Caption = «OK» ;
– в компоненте StringGrid1 свойства FixedCols = 0 и FixedRows = 0 ;
– в компоненте StringGrid2 свойства FixedCols = 0 и FixedRows = 0 .

После размещения и настройки компонент, форма Form4 будет иметь вид, как показано на рисунке 17.

Рис. 17. Форма Form4 после окончательного формирования

6.2. Программирование события клика на кнопке « ОК » формы Form4 .

Листинг обработчика события клика на кнопке « ОК » следующий:

7. Написание программного кода расчета.

7.1. Подключение модулей «Unit2.h», «Unit3.h», «Unit4.h» к модулю «Unit1.h».

Для того, чтобы из главной формы приложения Form1 вызвать второстепенные формы, нужно осуществить их подключения в модуле « Unit1.h «.

Подключение модулей форм Form2 , Form3 , Form4 к форме Form1 осуществляется стандартным для языка C/C++ способом.

Сначала нужно перейти в модуль « Unit1.h «.

Затем после строк

Привет студент

ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Приднестровский государственный университет им. Т.Г. Шевченко

Кафедра программного обеспечения вычислительной техники

и автоматизированных систем

КУРСОВАЯ РАБОТА

«Информатика и программирование»

тема: «ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ»

студентка группы ИТ13ДР62ИС1

Арабаджи Федор Иванович

ЗАДАНИЕ

на курсовую работу по дисциплине

«ПРОГРАММИРОВАНИЕ»

Студента группы ________ — ___________________

утверждена протоколом кафедры _________ № _____ от «____» ____________ 20___ г.

Цель курсовой работы:

Задачи курсовой работы:

Результаты курсовой работы:

График обязательных консультаций:

Дата сдачи записки на регистрацию «_____» __________20__ г.

Дата защиты курсовой работы «_____» __________20__ г.

Задание принял к исполнению «_____» __________20__ г. ___________/________________/

Руководитель работы ______________________ /________________/

СОДЕРЖАНИЕ

2 ОПИСАНИЕ ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ………………………………….

2.3 Метод обратной матрицы…………………………………………….

3 РУКОВОДСТВО ПРОГРАММИСТА………………………………………..

3.1 Введение и общие сведения……………………………………………

3.2 Структура программного продукта………………………………….

3.4 Описание исходных текстов программного продукта…………….

3.5 Аппаратная и программная часть…………………………………….

3.6 Результаты тестирования и опытной эксплуатации………………….

4 РУКОВОДСТВО ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ……………………………………….

4.3 Установка программного продукта……………………………….…..

4.4 Запуск и работа с программным продуктом…………………….……

4.5 Удаление программного продукта…………………………………….

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………………….

Введение

Последние десятилетия характеризуются бурным развитием вычислительной техники. Расширяются области применения вычислительных машин и совершенствуются методы их использования. Созданы универсальные языки программирования и разработаны мощные операционные системы.

Сейчас невозможно представить себе какую-либо область деятельности, обходящуюся без применения компьютерной техники.

Компьютеры используются при проведении различных инженерных расчётов, при решении экономических задач, в процессе управления производством, при получении оценок производственных ситуаций и во многих других случаях.

Решение систем линейных алгебраических уравнений является одной из основных задач линейной алгебры. Эта задача имеет важное прикладное значение при решении научных и технических проблем. Кроме того, является вспомогательной при реализации многих алгоритмов вычислительной математики, математической физики, обработки результатов экспериментальных исследований.

Алгебраическое уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.

Решение систем линейных алгебраических уравнений является одной из фундаментальных задач математики. В частности, она возникает при решении краевых задач для дифференциальных и интегральных уравнений, к которым сводятся реальные проблемы техники, физики, экономики, математики и др. Подобные программы довольно популярны, в особенности среди пользователей глобальной сети Интернет. Они могут быть широко применимы в среде образовательных учреждений. Например, преподавателю необходимо проверить десятки работ студентов в короткий срок или составить варианты контрольных работ, помочь студенту в решении систем линейных уравнений и в их объяснении, так как программа будет содержать краткую теоретическую справку.

Чтобы быстро справится с решением системы линейных уравнений, можно воспользоваться средствами вычислительной техники – написать программу на языке программирования.

Учитывая современные возможности, можно облегчить процесс решения систем линейных уравнений. Данную задачу можно выполнить программно для упрощения и автоматизации процесса решения систем линейных уравнений методом Гаусса, методом Крамера, а также методом обратной матрицы с помощью Windows-приложения, реализованного средствами языка высокого уровня С#.

Данный продукт найдёт своё применение в сфере образования. В частности, например, учащиеся с помощью данной программы смогут проверить правильность решения систем линейных уравнений.

1 постановка задачи

В данной курсовой работе необходимо создать программный продукт при помощи Windows Forms на языке C#, который представлял бы возможность:

ввода данных с клавиатуры или считывания их из файла с представлением права выбора пользователю;
решения системы линейных уравнений;
запись данных в файл;
доступа к файлу, куда записываются входные и выходные данные.

Программа должна выполнять решение систем линейных уравнений методом Гаусса, методом Крамера или методом обратной матрицы.

Окно программы должно содержать:

пункты меню: Файл, Правка, Примеры, Справка, О программе;
поле выбора метода решения системы линейных уравнений;
поле выбора количества уравнений в системе;
поля для входных и выходных данных;
кнопки операций.

Входными данными являются числа вещественного типа, введенные с клавиатуры или считанные из файла. Программа распознает входные данные и производит решение системы одним из выбранных методов.

Результатом работы программы служит отображение получившейся матрицы или определителя (в зависимости от выбранного способа) и корни системы уравнений, полученные в результате решения системы.

2 описание предметной области

Решение систем линейных алгебраических уравнений – одна из фундаментальных задач математики. Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура СЛАУ) в линейной алгебре — это система уравнений вида (Рисунок 1)

Рисунок 1- Система уравнений

В системе уравнений (Рисунок 1) m является количеством уравнений, а n – количество неизвестных. x₁, x₂, … x_n – это неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, … a_mn – коэффициенты системы, а b₁, b₂, … b_m – свободные члены. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Существуют следующие способы решения систем линейных уравнений:

– метод обратной матрицы.

2.1 Метод Гаусса

Метод Гаусса – классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы. Хотя в настоящее время данный метод повсеместно называется методом Гаусса, он был известен и до К.Ф. Гаусса. Первое известное описание данного метода приведено в китайском трактате «Математика в девяти книгах», составленном между первым веком до н. э. и вторым веком н. э.

Далее приведено более подробное описание метода. Пусть исходная система будет вида (Рисунок 2):

Рисунок 2 — Исходная система уравнений

На рисунке 2.1 указана матрица A, вектор x и вектор b. Матрицей А называется основная матрица системы, вектором x – столбец неизвестных, вектором – столбец свободных членов.

Рисунок 2.1 — Матрица A

Согласно свойству элементарных преобразований над строками, основную матрицу этой системы можно привести к треугольному (или ступенчатому) виду (эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов), что показано на рисунке 2.2

Рисунок 2.2 — Матрица треугольного вида

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных x_j₁, … , x_jr.

Тогда переменные x_j₁, … , x_jr называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число β_i ≠ 0, где i > r, то рассматриваемая система несовместна, то есть у неё нет ни одного решения.

Пусть β_i ≠ 0 для любых i > r. Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом x (см. рисунок 2.3):

Рисунок 2.3- Несовместная система

Если свободным переменным системы (рисунок 2.3) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой системы линейных алгебраических уравнений. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой, то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (рисунок 2) и (рисунок 2.3) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

2.2 Метод Крамера

Метода Крамера – способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы, причём для таких уравнений решение существует и единственно. Назван по имени Габриэля Крамера, предложившего этот метод в 1750 г.

Рисунок 2.4 — Система линейных уравнений

Для системы n линейных уравнений (рисунок 2.4) с n неизвестными с определителем матрицы системы ≠ 0, решение записывается по формуле показанном на рисунке 2.5:

Рисунок 2.5 — Нахождение решения

i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов.

2.3 Метод обратной матрицы

Метод обратной матрицы – метод решения системы линейных алгебраических уравнений, использующий понятие обратной матрицы.

Обратная матрица – такая матрица A −1 , при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E (формула 2.6).

Обратная матрица находится по формуле 2.7.

В формуле 2.7 det обозначает определитель.

Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, где b – ненулевой вектор, в который входят свободные члены, x – искомый вектор. Если обратная матрица A -1 существует, то x = A -1 b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

3 ПРОграммная реализация решения задачи

3.1 Введение и общие сведения

Одна из основных задач линейной алгебры – решение систем линейных алгебраических уравнений. Эта задача имеет важное прикладное значение при решении научных и технических проблем. Кроме того, является вспомогательной при реализации многих алгоритмов вычислительной математики, математической физики, обработки результатов экспериментальных исследований.

Программа «MATrix» предназначена для решения систем линейных алгебраических уравнений тремя методами:

методом Гаусса;
методом Крамера;
методом обратной матрицы.

Данный программный продукт значительно упрощает получение корней систем линейных уравнений.

3.2 Структура программного продукта

В процессе разработки программного продукта были реализованы следующие формы:

Formcs – форма приветсвия;
MATrix.cs – форма, обеспечивающая решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, методом Крамера или методом обратной матрицы по выбору пользователя;
About.cs – форма, содержащая информацию о программном продукте.

На рисунке 3.1 изображена функциональная схема.

Метод Гаусса решения системы линейных уравнений

Дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с неизвестными. Требуется решить эту систему: определить, сколько решений она имеет (ни одного, одно или бесконечно много), а если она имеет хотя бы одно решение, то найти любое из них.

Формально задача ставится следующим образом: решить систему:

где коэффициенты и известны, а переменные — искомые неизвестные.

Удобно матричное представление этой задачи:

где — матрица , составленная из коэффициентов , и — векторы-столбцы высоты .

Стоит отметить, что СЛАУ может быть не над полем действительных чисел, а над полем по модулю какого-либо числа , т.е.:

— алгоритм Гаусса работает и для таких систем тоже (но этот случай будет рассмотрен ниже в отдельном разделе).

Алгоритм Гаусса

Строго говоря, описываемый ниже метод правильно называть методом «Гаусса-Жордана» (Gauss-Jordan elimination), поскольку он является вариацией метода Гаусса, описанной геодезистом Вильгельмом Жорданом в 1887 г. (стоит отметить, что Вильгельм Жордан не является автором ни теоремы Жордана о кривых, ни жордановой алгебры — всё это три разных учёных-однофамильца; кроме того, по всей видимости, более правильной является транскрипция «Йордан», но написание «Жордан» уже закрепилось в русской литературе). Также интересно заметить, что одновременно с Жорданом (а по некоторым данным даже раньше него) этот алгоритм придумал Класен (B.-I. Clasen).

Базовая схема

Кратко говоря, алгоритм заключается в последовательном исключении переменных из каждого уравнения до тех пор, пока в каждом уравнении не останется только по одной переменной. Если , то можно говорить, что алгоритм Гаусса-Жордана стремится привести матрицу системы к единичной матрице — ведь после того как матрица стала единичной, решение системы очевидно — решение единственно и задаётся получившимися коэффициентами .

При этом алгоритм основывается на двух простых эквивалентных преобразованиях системы: во-первых, можно обменивать два уравнения, а во-вторых, любое уравнение можно заменить линейной комбинацией этой строки (с ненулевым коэффициентом) и других строк (с произвольными коэффициентами).

На первом шаге алгоритм Гаусса-Жордана делит первую строку на коэффициент . Затем алгоритм прибавляет первую строку к остальным строкам с такими коэффициентами, чтобы их коэффициенты в первом столбце обращались в нули — для этого, очевидно, при прибавлении первой строки к -ой надо домножать её на . При каждой операции с матрицей (деление на число, прибавление к одной строке другой) соответствующие операции производятся и с вектором ; в некотором смысле, он ведёт себя, как если бы он был -ым столбцом матрицы .

В итоге, по окончании первого шага первый столбец матрицы станет единичным (т.е. будет содержать единицу в первой строке и нули в остальных).

Аналогично производится второй шаг алгоритма, только теперь рассматривается второй столбец и вторая строка: сначала вторая строка делится на , а затем отнимается от всех остальных строк с такими коэффициентами, чтобы обнулять второй столбец матрицы .

И так далее, пока мы не обработаем все строки или все столбцы матрицы . Если , то по построению алгоритма очевидно, что матрица получится единичной, что нам и требовалось.

Поиск опорного элемента (pivoting)

Разумеется, описанная выше схема неполна. Она работает только в том случае, если на каждом -ом шаге элемент отличен от нуля — иначе мы просто не сможем добиться обнуления остальных коэффициентов в текущем столбце путём прибавления к ним -ой строки.

Чтобы сделать алгоритм работающим в таких случаях, как раз и существует процесс выбора опорного элемента (на английском языке это называется одним словом «pivoting»). Он заключается в том, что производится перестановка строк и/или столбцов матрицы, чтобы в нужном элементе оказалось ненулевое число.

Заметим, что перестановка строк значительно проще реализуется на компьютере, чем перестановка столбцов: ведь при обмене местами двух каких-то столбцов надо запомнить, что эти две переменных обменялись местами, чтобы затем, при восстановлении ответа, правильно восстановить, какой ответ к какой переменной относится. При перестановке строк никаких таких дополнительных действий производить не надо.

К счастью, для корректности метода достаточно одних только обменов строк (т.н. «partial pivoting», в отличие от «full pivoting», когда обмениваются и строки, и столбцы). Но какую же именно строку следует выбирать для обмена? И правда ли, что поиск опорного элемента надо делать только тогда, когда текущий элемент нулевой?

Общего ответа на этот вопрос не существует. Есть разнообразные эвристики, однако самой эффективной из них (по соотношению простоты и отдачи) является такая эвристика: в качестве опорного элемента следует брать наибольший по модулю элемент, причём производить поиск опорного элемента и обмен с ним надо всегда, а не только когда это необходимо (т.е. не только тогда, когда ).

Иными словами, перед выполнением -ой фазы алгоритма Гаусса-Жордана с эвристикой partial pivoting необходимо найти в -ом столбце среди элементов с индексами от до максимальный по модулю, и обменять строку с этим элементом с -ой строкой.

Во-первых, эта эвристика позволит решить СЛАУ, даже если по ходу решения будет случаться так, что элемент . Во-вторых, что весьма немаловажно, эта эвристика улучшает численную устойчивость алгоритма Гаусса-Жордана.

Без этой эвристики, даже если система такова, что на каждой -ой фазе — алгоритм Гаусса-Жордана отработает, но в итоге накапливающаяся погрешность может оказаться настолько огромной, что даже для матриц размера около погрешность будет превосходить сам ответ.

Вырожденные случаи

Итак, если останавливаться на алгоритме Гаусса-Жордана с partial pivoting, то, утверждается, если и система невырождена (т.е. имеет ненулевой определитель, что означает, что она имеет единственное решение), то описанный выше алгоритм полностью отработает и придёт к единичной матрице (доказательство этого, т.е. того, что ненулевой опорный элемент всегда будет находиться, здесь не приводится).

Рассмотрим теперь общий случай — когда и не обязательно равны. Предположим, что опорный элемент на -ом шаге не нашёлся. Это означает, что в -ом столбце все строки, начиная с текущей, содержат нули. Утверждается, что в этом случае эта -ая переменная не может быть определена, и является независимой переменной (может принимать произвольное значение). Чтобы алгоритм Гаусса-Жордана продолжил свою работу для всех последующих переменных, в такой ситуации надо просто пропустить текущий -ый столбец, не увеличивая при этом номер текущей строки (можно сказать, что мы виртуально удаляем -ый столбец матрицы).

Итак, некоторые переменные в процессе работы алгоритма могут оказываться независимыми. Понятно, что когда количество переменных больше количества уравнений, то как минимум переменных обнаружатся независимыми.

В целом, если обнаружилась хотя бы одна независимая переменная, то она может принимать произвольное значение, в то время как остальные (зависимые) переменные будут выражаться через неё. Это означает, что, когда мы работаем в поле действительных чисел, система потенциально имеет бесконечно много решений (если мы рассматриваем СЛАУ по модулю, то число решений будет равно этому модулю в степени количества независимых переменных). Впрочем, следует быть аккуратным: надо помнить о том, что даже если были обнаружены независимые переменные, тем не менее СЛАУ может не иметь решений вовсе. Это происходит, когда в оставшихся необработанными уравнениях (тех, до которых алгоритм Гаусса-Жордана не дошёл, т.е. это уравнения, в которых остались только независимые переменные) есть хотя бы один ненулевой свободный член.

Впрочем, проще это проверить явной подстановкой найденного решения: всем независимыми переменным присвоить нулевые значения, зависимым переменным присвоить найденные значения, и подставить это решение в текущую СЛАУ.

Реализация

Приведём здесь реализацию алгоритма Гаусса-Жордана с эвристикой partial pivoting (выбором опорного элемента как максимума по столбцу).

На вход функции передаётся сама матрица системы . Последний столбец матрицы — это в наших старых обозначениях столбец свободных коэффициентов (так сделано для удобства программирования — т.к. в самом алгоритме все операции со свободными коэффициентами повторяют операции с матрицей ).

Функция возвращает число решений системы (, или ) (бесконечность обозначена в коде специальной константой , которой можно задать любое большое значение). Если хотя бы одно решение существует, то оно возвращается в векторе .

В функции поддерживаются два указателя — на текущий столбец и текущую строку .

Также заводится вектор , в котором для каждой переменной записано, в какой строке должна она получиться (иными словами, для каждого столбца записан номер строки, в которой этот столбец отличен от нуля). Этот вектор нужен, поскольку некоторые переменные могли не «определиться» в ходе решения (т.е. это независимые переменные, которым можно присвоить произвольное значение — например, в приведённой реализации это нули).

Реализация использует технику partial pivoting, производя поиск строки с максимальным по модулю элементом, и переставляя затем эту строку в позицию (хотя явную перестановку строк можно заменить обменом двух индексов в некотором массиве, на практике это не даст реального выигрыша, т.к. на обмены тратится операций).

В реализации в целях простоты текущая строка не делится на опорный элемент — так что в итоге по окончании работы алгоритма матрица становится не единичной, а диагональной (впрочем, по-видимому, деление строки на ведущий элемент позволяет несколько уменьшить возникающие погрешности).

После нахождения решения оно подставляется обратно в матрицу — чтобы проверить, имеет ли система хотя бы одно решение или нет. Если проверка найденного решения прошла успешно, то функция возвращает или — в зависимости от того, есть ли хотя бы одна независимая переменная или нет.

Асимптотика

Оценим асимптотику полученного алгоритма. Алгоритм состоит из фаз, на каждой из которых происходит:

поиск и перестановка опорного элемента — за время при использовании эвристики «partial pivoting» (поиск максимума в столбце)
если опорный элемент в текущем столбце был найден — то прибавление текущего уравнения ко всем остальным уравнениям — за время

Очевидно, первый пункт имеет меньшую асимптотику, чем второй. Заметим также, что второй пункт выполняется не более раз — столько, сколько может быть зависимых переменных в СЛАУ.

Таким образом, итоговая асимптотика алгоритма принимает вид .

При эта оценка превращается в .

Заметим, что когда СЛАУ рассматривается не в поле действительных чисел, а в поле по модулю два, то систему можно решать гораздо быстрее — об этом см. ниже в разделе «Решение СЛАУ по модулю».

Более точная оценка числа действий

Для простоты выкладок будем считать, что .

Как мы уже знаем, время работы всего алгоритма фактически определяется временем, затрачиваемым на исключение текущего уравнения из остальных.

Это может происходить на каждом из шагов, при этом текущее уравнение прибавляется ко всем остальным. При прибавлении работа идёт только со столбцами, начиная с текущего. Таким образом, в сумме получается операций.

Дополнения

Ускорение алгоритма: разделение его на прямой и обратный ход

Добиться двукратного ускорения алгоритма можно, рассмотрев другую его версию, более классическую, когда алгоритм разбивается на фазы прямого и обратного хода.

В целом, в отличие от описанного выше алгоритма, можно приводить матрицу не к диагональному виду, а к треугольному виду — когда все элементы строго ниже главной диагонали равны нулю.

Система с треугольной матрицей решается тривиально — сначала из последнего уравнения сразу находится значение последней переменной, затем найденное значение подставляется в предпоследнее уравнение и находится значение предпоследней переменной, и так далее. Этот процесс и называется обратным ходом алгоритма Гаусса.

Прямой ход алгоритма Гаусса — это алгоритм, аналогичный описанному выше алгоритму Гаусса-Жордана, за одним исключением: текущая переменная исключается не из всех уравнений, а только из уравнений после текущего. В результате этого действительно получается не диагональная, а треугольная матрица.

Разница в том, что прямой ход работает быстрее алгоритма Гаусса-Жордана — поскольку в среднем он делает в два раза меньше прибавлений одного уравнения к другому. Обратный ход работает за , что в любом случае асимптотически быстрее прямого хода.

Таким образом, если , то данный алгоритм будет делать уже операций — что в два раза меньше алгоритма Гаусса-Жордана.

Решение СЛАУ по модулю

Для решения СЛАУ по модулю можно применять описанный выше алгоритм, он сохраняет свою корректность.

Разумеется, теперь становится ненужным использовать какие-то хитрые техники выбора опорного элемента — достаточно найти любой ненулевой элемент в текущем столбце.

Если модуль простой, то никаких сложностей вообще не возникает — происходящие по ходу работы алгоритма Гаусса деления не создают особых проблем.

Особенно замечателен модуль, равный двум: для него все операции с матрицей можно производить очень эффективно. Например, отнимание одной строки от другой по модулю два — это на самом деле их симметрическая разность («xor»). Таким образом, весь алгоритм можно значительно ускорить, сжав всю матрицу в битовые маски и оперируя только ими. Приведём здесь новую реализацию основной части алгоритма Гаусса-Жордана, используя стандартный контейнер C++ «bitset»:

Как можно заметить, реализация стала даже немного короче, при том, что она значительно быстрее старой реализации — а именно, быстрее в раза за счёт битового сжатия. Также следует отметить, что решение систем по модулю два на практике работает очень быстро, поскольку случаи, когда от одной строки надо отнимать другую, происходят достаточно редко (на разреженных матрицах этот алгоритм может работать за время скорее порядка квадрата от размера, чем куба).

Если модуль произвольный (не обязательно простой), то всё становится несколько сложнее. Понятно, что пользуясь Китайской теоремой об остатках, мы сводим задачу с произвольным модулем только к модулям вида «степень простого». [ дальнейший текст был скрыт, т.к. это непроверенная информация — возможно, неправильный способ решения ]

Наконец, рассмотрим вопрос числа решений СЛАУ по модулю. Ответ на него достаточно прост: число решений равно , где — модуль, — число независимых переменных.

Немного о различных способах выбора опорного элемента

Как уже говорилось выше, однозначного ответа на этот вопрос нет.

Эвристика «partial pivoting», которая заключалась в поиске максимального элемента в текущем столбце, работает на практике весьма неплохо. Также оказывается, что она даёт практически тот же результат, что и «full pivoting» — когда опорный элемент ищется среди элементов целой подматрицы — начиная с текущей строки и с текущего столбца.

Но интересно отметить, что обе эти эвристики с поиском максимального элемента, фактически, очень зависят от того, насколько были промасштабированы исходные уравнения. Например, если одно из уравнений системы умножить на миллион, то это уравнение почти наверняка будет выбрано в качестве ведущего на первом же шаге. Это кажется достаточно странным, поэтому логичен переход к немного более сложной эвристике — так называемому «implicit pivoting».

Эвристика implicit pivoting заключается в том, что элементы различных строк сравниваются так, как если бы обе строки были пронормированы таким образом, что максимальный по модулю элемент в них был бы равен единице. Для реализации этой техники надо просто поддерживать текущий максимум в каждой строке (либо поддерживать каждую строку так, чтобы максимум в ней был равен единице по модулю, но это может привести к увеличению накапливаемой погрешности).

Улучшение найденного ответа

Поскольку, несмотря на различные эвристики, алгоритм Гаусса-Жордана всё равно может приводить к большим погрешностям на специальных матрицах даже размеров порядка — .

В связи с этим, полученный алгоритмом Гаусса-Жордана ответ можно улучшить, применив к нему какой-либо простой численный метод — например, метод простой итерации.

Таким образом, решение превращается в двухшаговое: сначала выполняется алгоритм Гаусса-Жордана, затем — какой-либо численный метод, принимающий в качестве начальных данных решение, полученное на первом шаге.

Такой приём позволяет несколько расширить множество задач, решаемых алгоритмом Гаусса-Жордана с приемлемой погрешностью.

источники:

http://privetstudent.com/kursovyye/kompiuternye-tekhnologii-kursovye/4172-programmnaya-realizaciya-resheniya-sistem-lineynyh-uravneniy.html

http://e-maxx.ru/algo/linear_systems_gauss