Решить тригонометрические уравнения 11 класс

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение тригонометрических уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите тригонометрическое уравнение
Решить уравнение

Немного теории.

Тригонометрические уравнения

Уравнение cos(х) = а

Из определения косинуса следует, что \( -1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.

Уравнение cos x = а, где \( |a| \leqslant 1 \), имеет на отрезке \( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если a

Уравнение sin(х) = а

Из определения синуса следует, что \( -1 \leqslant \sin \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.

Уравнение sin х = а, где \( |a| \leqslant 1 \), на отрезке \( \left[ -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right] \) имеет только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если а

Уравнение tg(х) = а

Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.

Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале \( \left( -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right) \) только один корень. Если \( |a| \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right) \); если а

Решение тригонометрических уравнений

Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Решить уравнение 2 cos 2 (х) — 5 sin(х) + 1 = 0

Заменяя cos 2 (х) на 1 — sin 2 (х), получаем
2 (1 — sin 2 (х)) — 5 sin(х) + 1 = 0, или
2 sin 2 (х) + 5 sin(х) — 3 = 0.
Обозначая sin(х) = у, получаем 2у 2 + 5y — 3 = 0, откуда y₁ = -3, y₂ = 0,5
1) sin(х) = — 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin(х) = 0,5; \( x = (-1)^n \text(0,5) + \pi n = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb \)
Ответ \( x = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb \)

Решить уравнение 2 cos 2 (6х) + 8 sin(3х) cos(3x) — 4 = 0

Используя формулы
sin 2 (6x) + cos 2 (6x) = 1, sin(6х) = 2 sin(3x) cos(3x)
преобразуем уравнение:
3 (1 — sin 2 (6х)) + 4 sin(6х) — 4 = 0 => 3 sin 2 (6х) — 4 sin(6x) + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y 2 — 4y +1 =0, откуда y₁ = 1, y₂ = 1/3

Уравнение вида a sin(x) + b cos(x) = c

Решить уравнение 2 sin(x) + cos(x) — 2 = 0

Используя формулы \( \sin(x) = 2\sin\frac <2>\cos\frac<2>, \; \cos(x) = \cos^2 \frac <2>-\sin^2 \frac <2>\) и записывая правую часть уравпения в виде \( 2 = 2 \cdot 1 = 2 \left( \sin^2 \frac <2>+ \cos^2 \frac <2>\right) \) получаем

Поделив это уравнение на \( \cos^2 \frac <2>\) получим равносильное уравнение \( 3 \text^2\frac <2>— 4 \text\frac <2>+1 = 0 \)
Обозначая \( \text\frac <2>= y \) получаем уравнение 3y 2 — 4y + 1 = 0, откуда y₁=1, y₁= 1/3

В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях \( a \neq 0, \; b \neq 0, \; c \neq 0, \; c^2 \leqslant b^2+c^2 \) можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на \( \sqrt \):

Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5

Здесь a = 4, b = 3, \( \sqrt = 5 \). Поделим обе части уравнения на 5:

Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.

Решить уравнение sin(2х) — sin(x) = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin(x) cos(x) — sin(x) = 0. Вынося общий множитель sin(x) за скобки, получаем sin(x) (2 cos x — 1) = 0

Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x)
cos(2х) = cos (3х — х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0

Решить уравнение 6 sin 2 (x) + 2 sin 2 (2x) = 5
Выразим sin 2 (x) через cos(2x)
Так как cos(2x) = cos 2 (x) — sin 2 (x), то
cos(2x) = 1 — sin 2 (x) — sin 2 (x), cos(2x) = 1 — 2 sin 2 (x), откуда
sin 2 (x) = 1/2 (1 — cos(2x))
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 — cos(2x)) + 2 (1 — cos 2 (2х)) = 5
2 cos 2 (2х) + 3 cos(2х) = 0
cos(2х) (2 cos(2x) + 3) = 0

Тригонометрические уравнения, вычисления

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы повторим тригонометрические уравнения и вычисления.
В начале урока мы вспомним определения прямой и обратной задачи для некоторой функции и повторим определения основных тригонометрических функций. Решим несколько простейших тригонометрических уравнений и более сложное уравнение с использованием замены переменной.
В конце урока мы вспомним формулы двойного и половинного аргумента, а также формулу универсальной тригонометрической подстановки и решим обобщенную задачу на эту тему.

Решение тригонометрических уравнений. Алгебра 11 класс. Вводное повторение

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Приложение № 3.doc

Информационная карта автора методической разработки

Губина Клара Владимировна

Место работы (полное наименование образовательной организации в соответствии с её уставом)

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Гимназия №2»

Адрес школьного сайта в Интернете

Занимаемая должность (наименование в соответствии с записью в трудовой книжке)

Адрес личного Интернет-ресурса

Личная электронная почта

Умей поставить себя на место ученика. У каждого есть право на ошибку. Найди возможность дать ученику шанс исправить ее.

Выбранный для просмотра документ Урок по теме. Повторение.Решение тригонометрических уранений.doc

Название предмета Алгебра и начала анализа.

УМК А.Г. Мордкович и др. «Алгебра и начала анализа», 11 класс, (профильный уровень), М. «Мнемозина», 2014г.

Уровень обучения Профильный

Тема урока Повторение материала 10 класса. Тригонометрические уравнения.

Общее количество часов, отведенное на изучение данной темы 1

Место урока в системе уроков по теме 1.

Цель урока Обобщить и систематизировать теорию о способах решения тригонометрических уравнений, виды уравнений.

повторить решение простейших уравнений, основные тригонометрические формулы, основные формулы тригонометрических уравнений;

закрепить умения применять данные формулы не только в знакомой, но в модифицированной и незнакомой ситуациях.

развивать умения самостоятельного решения уравнений связанных с выбором алгоритма решения уравнений;

содействовать развитию устойчивого интереса к математике с помощью математической строгости умозаключения;

ознакомить с логическими приемами мышления.

воспитать чувство ответственности, формировать навыки самооценки;

содействовать желанию расширить и углубить знания, полученные на уроке,

содействовать повышению грамотности устной и письменной речи учащихся.

Обучающиеся должны уметь: находить корни простейших тригонометрических уравнений, уметь решать уравнения как простейшие (из ЕГЭ базового уровня), так и более сложных уравнений (из ЕГЭ профильного уровня) и спользовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для практических расчетов по формулам.

Техническое обеспечение урока проектор, компьютер, экран.

Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока

1. Организационный момент: вступительное слово учителя, в котором подчеркивается значение, материала повторяемой темы, сообщается цель и план урока (1 мин.)

Тема “Решение тригонометрических уравнений» актуальна, умение решать тригонометрические уравнения позволит вам справиться с заданиями ЕГЭ за курс средней школы. Будьте активны, внимательны, помогайте друг другу вспомнить, все то, что вы изучали на уроках алгебры и началах анализа в 10 классе.

2.Актуализация опорных знаний (формы: устная беседа).

Вопросы и задания для актуализации :

а). Как решить уравнение sinx = m ? Запишите в тетради формулу корней данного уравнения.

б). Как решить уравнение cos x = m ? Запишите в тетради формулу корней данного уравнения.

в). Как решить уравнение tg x = m ? Запишите в тетради формулу корней данного уравнения.

г). Давайте вспомним частные случаи. Учащиеся в тетрадях записывают решение этих уравнений.

3. Работа на доске и в тетрадях вместе с учителем. Разбор всех тригонометрических уравнений на виды.

Простейшие тригонометрические уравнения. Уравнения вида T ( kx + m ) = a , где T — знак какой – либо тригонометрической функции.

Пример: sin 2 x = 0,5

Решение: 2 x = m , 2 x = m , x = m , x = m ,

Пример: Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решение: х – 7 = 8 + 6в или х – 7 = 6 + 8 t , тогда х = -4

тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным:

A sin 2 х + В sin х + С =0 или A sin 2 х + В cos х + С =0

Пример: Решите уравнение:

sin 2 х + 5 sin х — 6 =0. Введем замену sin х = z , решая квадратное уравнение

z 2 + 5 z — 6 = 0, z ₁ = 1; z ₂ = -6

Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х = π /2 +2 π k , k Z .

Уравнение sin х = — 6 не имеет решения, так как -6 не принадлежит Е ( sin х ), т.е. -6 не принадлежит [-1; 1]

При решении уравнения вида A sin 2 х + В cos х + С =0 вводим замену sin 2 х = 1 — cos 2 х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему.

Пример: Решите уравнение 2 sin 2 х + 3 cos х -3 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin 2 х = 1 — cos 2 х,

2 (1 — cos 2 х) +3 cos х -3 =0.

— 2 cos 2 х + 3 cos х — 1 = 0 | (-1)

2 cos 2 х — 3 cos х + 1 = 0

Решая квадратное уравнение 2 t 2 — 3 t +1 = 0,

Решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2 π k , k Z .

Решением уравнение cos х = 0,5 являются числа вида х = ± arccos 0,5+ 2 π n , n Z

однородные тригонометрические уравнения.

Рассмотрим самое простое однородное тригонометрическое уравнение первой степени: A sin x + B cos x = 0. Разделив обе части уравнения на cos x ≠ 0, получим уравнение вида tg x = С.

Пример: 2 sin x + 3 cos x = 0.

2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0

х = arctg (-1,5) + πk, k Z или х = — arctg 1,5 + πk, k Z

однородное тригонометрическое уравнение второго порядка:

А sin 2 х + В sin х cos х + С cos 2 х = 0. Разделив обе части уравнения на cos 2 x ≠ 0, получим уравнение вида А tg 2 x + В tg x + С = 0.

Пример: 2 sin 2 х — 3 sin х cos х — 5 cos 2 х =0

2 sin 2 х — 3 sin х cos х — 5 cos 2 х =0 | : cos 2 х ≠ 0

2 tg 2 x — 3 tg x — 5 = 0

2 t 2 – 3 t – 5 =0

Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = — π /2 + πk , k Z .

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х = arctg 2,5+ πn , n Z .

Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений

опасные формулы (универсальная подстановка).

Этими операциями мы сужаем область определения.

возводим в четную степень.

умножаем на g (х) (избавляемся от знаменателя).

Этими операциями мы расширяем область определения.

Решим уравнеие:

Поделив уравнение на , получим , ,

При решении этой задачи обе части уравнения были поделены на

Напомним, что при делении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни уравнения корнями данного уравнения. Если , то из уравнения следует, что . Однако и не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны

равенством . Следовательно, при делении

уравнения , где , , на (или ) получаем уравнение, равносильное данному.

Еще формулы для решения уравнений: Формулы понижения степени:

4. Решите уравнения:

1.) Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

2.) Решите уравнение .

3.) Решите уравнение

5. Домашнее задание:

а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

6. Итог урока. Учитель: Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

Что нового узнали на уроке?

Испытывали ли вы затруднения при решении уравнений?

Какие из способов решения тригонометрических уравнений из рассмотренных оказались наиболее трудными?

Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?

Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?