Решить тригонометрические уравнения с модулем

Тригонометрические уравнения с модулем

Разделы: Математика

Раскрытие модуля по определению

Модулем числа а называется само это число а, если а ≥ 0, и число -а, если а 2 x-sinx=0

sinx=0 или sinx= (оба уравнения удовлетворяют условию sinx≥0)

Решаем уравнение второй системы, и выбирая те, которые удовлетворяют условию sinx 2

cosx=0 или x+1,5=1 или x-1,5 = -1

х= -0,5 х = -2,5

Условию cosx≥0 не удовлетворяет х = -2,5 (3 четверть)

Ответ:

№5. Найти все решения уравнения на отрезке [0;4].

Решение. Перепишем уравнение в виде

Раскрывая знак модуля, получаем системы:

Решая первую систему, получим

Из серии в нужном промежутке [0;4] лежат точки 0 и ; , а из серии

Решая вторую систему, получим систему , которая не имеет решений.

Ответ:

№6 Решить уравнение.

Решение. Правая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и левая часть, тогда 2х-4≥0, 2(х-2)≥0 , х-2≥0. Если х-2≥0. то при раскрытия правого модуля по определению рассматривается только один случай:

х=2

Выберем те корни, которые удовлетворяют условию: х-2≥0; х≥2

№7. Решить уравнение.

Решение. ОДЗ:

Раскрывая знак модуля, получаем системы:

Решая первую систему, получим cos2x=0, и из решений надо выбрать те, при которых sinx>0. На круге видно, что это точки вида

Решая вторую систему, получим уравнение соs2x=2,не имеющее решений.

Ответ:

№8. Решить уравнение.

Решение. Преобразуем уравнение следующим образом:

Ответ:

№9. Решить уравнение.

Решение. Выражение под первым модулем всегда неотрицательно, и его можно сразу отбросить. Второй модуль раскрываем по определению.

Решить уравнение первой система аналитически невозможно, исследуем поведение левой и правой частей на данных промежутках. Функция f(x) =-x 2 +15x-45=(-x 2 +15x-44)-1≤-1

при причем, f(х)= -1 в точках 4 и 11.Левая часть cos при любых х, причем, в точках 4 и 11 не равна -1, значит, система решений не имеет.

При решении уравнения второй системы получается:

В промежутке только одно целое нечетное число 3, т.е

Другие способы раскрытия модулей.

Уравнения вида можно решать и следующим способом:

№10. Решить уравнение.

Решение. Левая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и правая часть, тогда cosx 21.02.2008

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение тригонометрических уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите тригонометрическое уравнение
Решить уравнение

Немного теории.

Тригонометрические уравнения

Уравнение cos(х) = а

Из определения косинуса следует, что \( -1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.

Уравнение cos x = а, где \( |a| \leqslant 1 \), имеет на отрезке \( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если a

Уравнение sin(х) = а

Из определения синуса следует, что \( -1 \leqslant \sin \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.

Уравнение sin х = а, где \( |a| \leqslant 1 \), на отрезке \( \left[ -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right] \) имеет только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если а

Уравнение tg(х) = а

Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.

Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале \( \left( -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right) \) только один корень. Если \( |a| \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right) \); если а

Решение тригонометрических уравнений

Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Решить уравнение 2 cos 2 (х) — 5 sin(х) + 1 = 0

Заменяя cos 2 (х) на 1 — sin 2 (х), получаем
2 (1 — sin 2 (х)) — 5 sin(х) + 1 = 0, или
2 sin 2 (х) + 5 sin(х) — 3 = 0.
Обозначая sin(х) = у, получаем 2у 2 + 5y — 3 = 0, откуда y₁ = -3, y₂ = 0,5
1) sin(х) = — 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin(х) = 0,5; \( x = (-1)^n \text(0,5) + \pi n = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb \)
Ответ \( x = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb \)

Решить уравнение 2 cos 2 (6х) + 8 sin(3х) cos(3x) — 4 = 0

Используя формулы
sin 2 (6x) + cos 2 (6x) = 1, sin(6х) = 2 sin(3x) cos(3x)
преобразуем уравнение:
3 (1 — sin 2 (6х)) + 4 sin(6х) — 4 = 0 => 3 sin 2 (6х) — 4 sin(6x) + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y 2 — 4y +1 =0, откуда y₁ = 1, y₂ = 1/3

Уравнение вида a sin(x) + b cos(x) = c

Решить уравнение 2 sin(x) + cos(x) — 2 = 0

Используя формулы \( \sin(x) = 2\sin\frac <2>\cos\frac<2>, \; \cos(x) = \cos^2 \frac <2>-\sin^2 \frac <2>\) и записывая правую часть уравпения в виде \( 2 = 2 \cdot 1 = 2 \left( \sin^2 \frac <2>+ \cos^2 \frac <2>\right) \) получаем

Поделив это уравнение на \( \cos^2 \frac <2>\) получим равносильное уравнение \( 3 \text^2\frac <2>— 4 \text\frac <2>+1 = 0 \)
Обозначая \( \text\frac <2>= y \) получаем уравнение 3y 2 — 4y + 1 = 0, откуда y₁=1, y₁= 1/3

В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях \( a \neq 0, \; b \neq 0, \; c \neq 0, \; c^2 \leqslant b^2+c^2 \) можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на \( \sqrt \):

Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5

Здесь a = 4, b = 3, \( \sqrt = 5 \). Поделим обе части уравнения на 5:

Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.

Решить уравнение sin(2х) — sin(x) = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin(x) cos(x) — sin(x) = 0. Вынося общий множитель sin(x) за скобки, получаем sin(x) (2 cos x — 1) = 0

Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x)
cos(2х) = cos (3х — х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0

Решить уравнение 6 sin 2 (x) + 2 sin 2 (2x) = 5
Выразим sin 2 (x) через cos(2x)
Так как cos(2x) = cos 2 (x) — sin 2 (x), то
cos(2x) = 1 — sin 2 (x) — sin 2 (x), cos(2x) = 1 — 2 sin 2 (x), откуда
sin 2 (x) = 1/2 (1 — cos(2x))
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 — cos(2x)) + 2 (1 — cos 2 (2х)) = 5
2 cos 2 (2х) + 3 cos(2х) = 0
cos(2х) (2 cos(2x) + 3) = 0

Урок-консультация по алгебре в 10 классе «Решение тригонометрических уравнений с модулем»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

буклет 1 сторона.jpg

буклет 2 сторона.jpg

Выбранный для просмотра документ Конспект урока.doc

Тема: Решение тригонометрических уравнений с модулем

Тип урока по цели: изучение

Тип урока по форме проведения: урок-консультация.

Форма работы с учащимися: общая, групповая и индивидуальная.

Эпиграф Сухомлинский считал, что «Чувство удивления– могучий источник желания знать; от удивления к знаниям – один шаг».

Давайте вместе сегодня сделаем этот шаг к определению способов решения тригонометрических уравнений с модулем.

повторить методы решения тригонометрических уравнений,

изучить способы раскрытия модуля по определению и с помощью формулы

рассмотреть комбинированные методы решения тригонометрических уравнений с модулем;

рассмотреть тригонометрические уравнения, модуль в которых появляется в ходе их решения

развивать навыки самостоятельной работы, прививать умение выслушивать других учащихся, дополнять их ответы

развивать математическую речь (используя грамотно математические термины);

развивать логическое мышление, память, познавательный интерес,

вырабатывать умение анализировать и сравнивать.

формировать опыт самостоятельной деятельности и личной ответственности.

показывать, что математические понятия не изолированы друг от друга, а представляют определенную систему знаний, все звенья которой находятся во взаимной связи,

формировать эстетические навыки при оформлении записей, навыки контроля и самоконтроля.

Средства наглядности: макеты единичной окружности, сборник подготовки к ЕГЭ, раздаточный материал: лист-конспект (рабочая тетрадь, копирка), видео-консультация, мультимедийный проектор, компьютеры, карточки для магнитной доски, магниты.

Говорят, алгебра держится на четырех китах: это уравнение, число, тождество, функция. Сегодня мы продолжаем изучение тригонометрических уравнений.

Подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала

Показываем таблички с простейшими тригонометрическими уравнениями.

определение модуля действительного числа

Какие способы решения уравнений мы используем ?

назовите виды тригонометрических уравнений

о чем надо помнить при решении тригонометрических уравнений

Работа у магнитной доски группы из 2 учеников

Перед вами уравнения, распределите уравнения по известным вам методам (алгоритмам) решения в таблицу.

Объясните свой выбор.

Разложение на множители

1) 2 sinx cos 5 x – cos 5 x =0;

3)3tg 2 x + 2tg x -1=0

4) 2 cos 2 x + 9cos x +14=0

6)2sinx – 3cosx = 0

sin 2 x – 3sinx cosx + 2cos 2 x = 0

9) sin (x/2+ π /3)= -1/2.

10) 3sin 2 x – 4sinx cosx + cos 2 x = 0

12) 3cos 2 x – sinx – 1 =0

13) 2cos(π/3 + 3x) – √3 = 0

14)

Распределяют уравнениями по колонкам таблицы

Усвоение новых знаний

Сухомлинский считал, что «Чувство удивления– могучий источник желания знать; от удивления к знаниям – один шаг».

Давайте вместе сегодня сделаем этот шаг к определению способов решения тригонометрических уравнений с модулем.

Учитель называет вид уравнений, оставшихся на магнитной доске, объявляет тему урока.

В лист конспект вписывают фамилию и класс

Уравнения широко представлены в экзаменационном материале. А тригонометрические уравнения, содержащие модуль входят в задание 15.

вспомним определение модуля действительного числа.

Рассмотрим способы раскрытия модуля:

Как раскрыть модуль по определению, используя формулу и с учетом ОДЗ

Как раскрыть модуль используя метод оценки левой и правой части уравнения.

Комбинированные методы решения тригонометрических уравнений с модулем и уравнений, модуль в которых будет появляться в ходе их решения

Как не потерять корни уравнения, выполняя преобразования

Решение уравнений задания 15

В чем недостаток графического способа?

Рассмотрим Графический способ решения уравнений

У доски работает 1 человек:

-Построить в одной системе координат два графика функции

-убедиться, что они имеют общую точку

-абсцисса точки-корень уравнения

Ребята выполняют задание в конспекте, сверяют с доской, делают необходимые пометки на свое усмотрение.

Рассмотрим комбинированные методы решения тригонометрических уравнений с модулем и уравнений, модуль в которых будет появляться в ходе их решения

Работа у доски: 6 ученика

1.Раскрытие модуля по определению -2ученика

2.Метод оценки левой и правой части уравнения-1

3.Раскрытие модуля по определению и учетом ОДЗ-1

4.Появление модуля в ходе решения уравнения-1

5.Раскрытие модуля по формуле:-1

Ребята выполняют задание в конспекте, сверяют с доской, делают необходимые пометки на свое усмотрение.

Использование интернет ресурса – видео урок

Смотрят, внимательно слушают

Доклад о применении тригонометрических функций, уравнений в физике, медицине, музыке…

Работа с презентацией

Проверка понимания учащимися нового материала.

Устно: выяснить, усвоен ли учащимися способ решения уравнений с модулем

Раскрывая модуль по определению сколько систем получаем?

Когда удобно раскрывать модуль по формуле?

Отвечают на вопросы

Закрепление и проверка усвоения нового материала.

проверить у учащихся знания и умения, которые они получили на уроке.

Учитель предлагает учащимся решить самостоятельно по вариантам 1 уравнение

Решают под копирку, второй лист сдают учителю

Самопроверка.Сверяют с образцом на компьютере, обменявшись работой друг с другом.

Рефлексия: Думаем, все согласятся, что — математика замечательный предмет для удивления .

Ответь на вопросы (да «+», нет «-», не совсем «?»):

Я понял(а), в каких случаях раскрывать модуль по определению____

Я понял(а), в каких случаях раскрывать модуль по формуле ____

Я понял(а), в каком случае использовать метод оценки левой и правой части уравнения____

Я могу решать тригонометрические уравнения с модулем___

Я ставлю себе за работу на уроке оценку « ____»

Думаем, научившись бороться с трудностями при решении ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ с модулем, вы сможете преодолевать любые преграды в жизни.

— Здравствуйте ребята. Садитесь.

Говорят, алгебра держится на четырех китах: это уравнение, число, тождество, функция. Сегодня мы продолжаем изучение тригонометрических уравнений.

Блиц-опрос. Решите уравнения( учитель показывает таблички с простейшими тригонометрическими уравнениями. Ученики говорят решения по цепочке).

фронтальный опрос. Ответьте на вопросы

определение модуля действительного числа

Какие способы решения уравнений мы используем ?

назовите виды тригонометрических уравнений

о чем надо помнить при решении тригонометрических уравнений

Работа у магнитной доски (группа из 2 учеников).

Разложение на множители

2sinx cos 5x – cos 5x =0;

2sinx – 3cosx = 0

sin 2 x – 3sinx cosx + 2cos 2 x = 0

3tg 2 x + 2tg x -1=0

3sin 2 x – 4sinx cosx + cos 2 x = 0

2 cos 2 x + 9cos x +14=0

3cos 2 x – sinx – 1 =0

2cos(π/3 + 3x) – √3 = 0

Изучение нового материала:

ИТОГ: Учитель называет вид уравнений, оставшихся на магнитной доске, объявляет тему урока: Решение тригонометрических уравнений с модулем.

Сухомлинский считал, что «Чувство удивления– могучий источник желания знать; от удивления к знаниям – один шаг».

— Давайте вместе сегодня сделаем этот шаг к определению способов решения тригонометрических уравнений с модулем.

Изучить способы раскрытия модуля:

Выяснить, как раскрыть модуль по определению; используя формулу; с учетом ОДЗ.

Ответить на вопрос: Как раскрыть модуль используя метод оценки левой и правой части уравнения?

Рассмотреть комбинированные методы решения тригонометрических уравнений с модулем. И уравнений, модуль в которых будет появляться в ходе их решения уравнений.

Повторить, как не потерять корни уравнения, выполняя преобразования.

Решить уравнения из ЕГЭ,задания 15.

Назовите определение модуля действительного числа.

В чем недостаток графического способа перед аналитическим?

Рассмотрим графический способ решения уравнений (у доски работает ученик, все в листе-конспекте выполняют задания и сравнивают свое решение).

Повторяем алгоритм графического решения тригонометрических уравнений с модулем:

Построить в одной системе координат два графика функции

-убедиться, что они имеют общую точку

-абсцисса точки-корень уравнения

Рассмотрим комбинированные методы решения тригонометрических уравнений с модулем и уравнений, модуль в которых будет появляться в ходе их решения (у доски работают 6 учеников, поочередно решая свои уравнения, комментируя решения. Класс делает запись в конспекте).

Раскрыть модуль по определению:

Раскрыть модуль по определению(под знаком модуля не триг.функ.):

Решение. Раскрывая знак модуля, получаем системы:

Метод оценки частей уравнения

Решение. Правая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и левая часть, поэтому, раскрывая знак модуля, получим только одну систему

Появление модуля в ходе решения уравнения

Физминутка: Ребята закройте глаза, положите голову на руки. Подумайте о.

Раскрытие модуля по формуле:

,

Раскрытие модуля с учетом ОДЗ

Решение. ОДЗ:

Раскрывая знак модуля, получаем системы:

ИТОГ: Когда для раскрытия модуля используем определение? Почему составляем строгое неравенство при раскрытии модуля как в последнем случае?

-Все методы описаны у вас в конспекте. Подсказки при подготовке дом.заданий обеспечены.

— Внимательно посмотрим на решение уравнения из ЕГЭ (видео).

При поступлении в вуз необходимо знать чуть больше чем другие абитуриенты, чтобы набрать больше баллов и составить конкуренцию.

— Решение можно попробовать записать самостоятельно. Кто затрудняется, может взять подсказку (на рабочем столе).

— Где и как можно использовать знания, полученные при изучении тригонометрических уравнений? Узнаем из исторической справки.

Презентация. Доклад о применении тригонометрических функций, уравнений в физике, медицине, музыке…

ИТОГ:- Дополнительную информацию можно посмотреть в Интернете.

-Учитель предлагает учащимся решить самостоятельно по вариантам 1 уравнение.

(Решают под копирку, второй лист сдают учителю. Обмениваются работами, проверяют их, используя образец на компьютере).

-Кто справился полностью с работой?

-Возьмите опросник и ответьте на вопросы (собрать листочки).

Кто оценил свою работу:

У кого остались вопросы?

Домашнее задание из ЕГЭ.

-Так как на одном уроке невозможно ответить и решить все уравнения. Мы продолжим отвечать на вопросы на следующем уроке. Сегодня вы активно поработали. Оценки получили .Молодцы ребята! Думаем, все согласятся, что — математика замечательный предмет для удивления . Спасибо за урок.

Лист-конспект: Решение тригонометрических уравнений с модулем Ф. И.______________________, класс__

1.Раскрытие модуля по определению

2.Метод оценки левой и правой части уравнения

3.Раскрытие модуля по определению и учетом ОДЗ

одз

4.Появление модуля в ходе решения уравнения

5.Раскрытие модуля по формуле:

Домашнее задание ( Д.А.Мальцев Математика ЕГЭ 2015.книга 2 Профильный уровень) ТЕСТ 31 задание15

найти все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Ответь на вопросы (да «+», нет «-», не совсем «?»):

Я понял(а), в каких случаях раскрывать модуль по определению____

Я понял(а), в каких случаях раскрывать модуль по формуле ____

Я понял(а), в каком случае использовать метод оценки левой и правой части уравнения____

Я могу решать тригонометрические уравнения с модулем___

Я ставлю себе за работу на уроке оценку « ____»

Думаем, научившись бороться с трудностями при решении ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ с модулем, вы сможете преодолевать любые преграды в жизни.

Самое важное отличие тригонометрических уравнений от алгебраических состоит в том, что в алгебраических уравнениях конечное число корней, а в тригонометрических — бесконечное, что сильно усложняет отбор корней. Еще одной спецификой тригонометрических уравнений является неединственность формы записи ответа.

Краткое описание документа:

Тема: Решение тригонометрических уравнений с модулем

Тип урока по цели: изучение

Тип урока по форме проведения: урок-консультация

1. повторить методы решения тригонометрических уравнений,
2. изучить способы раскрытия модуля по определению и с помощью формулы
3. рассмотреть комбинированные методы решения тригонометрических уравнений с модулем;
4. рассмотреть тригонометрические уравнения, модуль в которых появляется в ходе их решения

1. развивать навыки самостоятельной работы, прививать умение выслушивать других учащихся, дополнять их ответы
2. развивать математическую речь (используя грамотно математические термины);
3. развивать логическое мышление, память, познавательный интерес,
4. вырабатывать умение анализировать и сравнивать.

1. формировать опыт самостоятельной деятельности и личной ответственности.
2. показывать, что математические понятия не изолированы друг от друга, а представляют определенную систему знаний, все звенья которой находятся во взаимной связи,
3. формировать эстетические навыки при оформлении записей, навыки контроля и самоконтроля.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 593 317 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 10.03.2015
• 3740
• 3

• 10.03.2015
• 907
• 1

• 10.03.2015
• 2274
• 7

• 10.03.2015
• 479
• 0

• 10.03.2015
• 10423
• 11

• 10.03.2015
• 1189
• 13

• 10.03.2015
• 500
• 0

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 10.03.2015 3043
• ZIP 2.3 мбайт
• 20 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Заболотнева Наталья Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 1 месяц
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 13544
• Всего материалов: 11

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.