Решить уравнение ax b cx d 0

Решение кубических уравнений

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид A x 3 + B = 0 . Его необходимо приводить к x 3 + B A = 0 с помощью деления на А , отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 — B A 3 x + B A 2 3 = 0

Результат первой скобки примет вид x = — B A 3 , а квадратный трехчлен — x 2 — B A 3 x + B A 2 3 , причем только с комплексными корнями.

Найти корни кубического уравнения 2 x 3 — 3 = 0 .

Решение

Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

2 x 3 — 3 = 0 x 3 — 3 2 = 0

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

x 3 — 3 2 = 0 x — 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Раскроем первую скобку и получим x = 3 3 2 6 . Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x = 3 3 2 6 .

Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Вид квадратного уравнения — A x 3 + B x 2 + B x + A = 0 , где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 — x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B — A + A

Корень уравнения равен х = — 1 , тогда для получения корней квадратного трехчлена A x 2 + x B — A + A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Решить уравнение вида 5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 0 .

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 — 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 — x + 1 — 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 — 5 x + 5 — 8 x = = x + 1 5 x 2 — 13 x + 5 = 0

Если х = — 1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5 x 2 — 13 x + 5 :

5 x 2 — 13 x + 5 = 0 D = ( — 13 ) 2 — 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 — 69 2 · 5 = 13 10 — 69 10

Ответ:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 — 69 10 x 3 = — 1

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х = 0 , то он является корнем уравнения вида A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 . При свободном члене D = 0 уравнение принимает вид A x 3 + B x 2 + C x = 0 . При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид x A x 2 + B x + C = 0 .

Найти корни заданного уравнения 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .

Решение

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

Х = 0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3 x 2 + 4 x + 2 . Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D = 4 2 — 4 · 3 · 2 = — 8 . Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х = 0 .

Когда коэффициенты уравнения A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A ≠ 1 , тогда при умножении на A 2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у = А х :

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y 1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x 1 = y 1 A . Необходимо произвести деление многочлена A x 3 + B x 2 + C x + D на x — x 1 . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 2 2 обеих частей, причем с заменой переменной типа у = 2 х . Получаем, что

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 — 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

Свободный член равняется 36 , тогда необходимо зафиксировать все его делители:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

Необходимо произвести подстановку y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 , чтобы получить тождество вида

1 3 — 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 ( — 1 ) 3 — 11 · ( — 1 ) 2 + 24 · ( — 1 ) + 36 = 0

Отсюда видим, что у = — 1 – это корень. Значит, x = y 2 = — 1 2 .

Далее следует деление 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 на x + 1 2 при помощи схемы Горнера:

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 — 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 — 6 x + 9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x 2 — 6 x + 9 . Имеем, что уравнение следует привести к виду x 2 — 6 x + 9 = x — 3 2 , где х = 3 будет его корнем.

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3 .

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что — 1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х + 1 . Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0 необходимо найти B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .

После чего p = — B 1 2 3 + B 2 и q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 .

Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — q 2 4 + p 3 27 3

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению — p 3 . Тогда корни исходного уравнения x = y — B 1 3 . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Видно, что A 0 = 2 , A 1 = — 11 , A 2 = 12 , A 3 = 9 .

Необходимо найти B 1 = A 1 A 0 = — 11 2 , B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6 , B 3 = A 3 A 0 = 9 2 .

Отсюда следует, что

p = — B 1 2 3 + B 2 = — — 11 2 2 3 + 6 = — 121 12 + 6 = — 49 12 q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · — 11 2 3 27 — — 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — — q 2 4 + p 3 27 3 = = — 343 216 + 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 + — 343 216 — 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 = = — 343 216 3 + — 343 216 3

— 343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

— 343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3 , k = 0 , 1 , 2

Если k = 0 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

Если k = 1 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = — 7 6

Если k = 2 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 — i · 3 2

Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим — p 3 = 49 36 .

Тогда получим пары: 7 6 1 2 + i · 3 2 и 7 6 1 2 — i · 3 2 , — 7 6 и — 7 6 , 7 6 1 2 — i · 3 2 и 7 6 1 2 + i · 3 2 .

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

y 1 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 — i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = — 7 6 + — 7 6 = — 14 6 y 3 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 — i · 3 2 + 7 6 1 2 + i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 — B 1 3 = — 14 6 + 11 6 = — 1 2 x 3 = y 3 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

Уравнение третьей степени

Часто при решении математических, статистических, инженерных задач приходится решать разные уравнения.

Уравнение 3-й степени — это кубическое уравнение вида ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, где а не равно 0. Число х считается корнем уравнения, если при его подстановке получается верное равенство.

Для графического анализа уравнения используется кубическая парабола.

Имеются разные способы решения кубических уравнений, среди них: теорема Безу, формулы Кардано, Виета, метод возвратного уравнения.

Кубические уравнения вида: х 3 = а имеют корень x = 3 √a

В некоторых случаях при решении уравнений:

• в левой части уравнения можно сгруппировать слагаемые;
• разложить ее на множители;
• найти корни.

Решение уравнения методом Кардано начинается с приведения исходного кубического уравнения ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 к более простому виду: y 3 + py + q = 0, если заменить х неизвестным у при условии х = у — b / 3а.

В данном уравнении:
Кубическое уравнение имеет 3 корня, разберем их с помощью дискриминанта:

Δ = — 4b 3 d + b 2 c 2 — 4ac 3 + 18abcd — 27a 2 d 2

• если дискриминант больше 0, уравнение имеет 3 вещественных корня;
• если меньше 0, 1 — вещественный корень и 2 комплексных;
• если меньше 0, тогда хотя бы 2 корня совпадают.

С помощью онлайн калькулятора можно намного быстрее решить кубическое уравнение, найти его корни.

Ax3 bx2 cx d 0

Уравнение третьей степени имеет вид ax3 + bx2 + cx + d = 0. Онлайн калькулятор позволяет задать в соответствующих полях коэффициенты a, b, c, d и после расчета получить три значения X1, X2, X3.

Без помощи скрипта придется выполнить довольно сложные расчеты методом Кардано, включающем по меньшей мере 6 шагов. Расчет начинается с приведения исходного уравнения к виду y³ + py + q = 0 и т. д.

Вычисление уравнений третьей степени востребовано при решении многих фундаментальных и прикладных математических, физических, статистических, научно-исследовательских и инженерных задач.

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид A x 3 + B = 0 . Его необходимо приводить к x 3 + B A = 0 с помощью деления на А , отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 — B A 3 x + B A 2 3 = 0

Результат первой скобки примет вид x = — B A 3 , а квадратный трехчлен — x 2 — B A 3 x + B A 2 3 , причем только с комплексными корнями.

Найти корни кубического уравнения 2 x 3 — 3 = 0 .

Решение

Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

2 x 3 — 3 = 0 x 3 — 3 2 = 0

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

x 3 — 3 2 = 0 x — 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Раскроем первую скобку и получим x = 3 3 2 6 . Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x = 3 3 2 6 .

Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Вид квадратного уравнения — A x 3 + B x 2 + B x + A = 0 , где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 — x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B — A + A

Корень уравнения равен х = — 1 , тогда для получения корней квадратного трехчлена A x 2 + x B — A + A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Решить уравнение вида 5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 0 .

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 — 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 — x + 1 — 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 — 5 x + 5 — 8 x = = x + 1 5 x 2 — 13 x + 5 = 0

Если х = — 1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5 x 2 — 13 x + 5 :

5 x 2 — 13 x + 5 = 0 D = ( — 13 ) 2 — 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 — 69 2 · 5 = 13 10 — 69 10

Ответ:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 — 69 10 x 3 = — 1

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х = 0 , то он является корнем уравнения вида A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 . При свободном члене D = 0 уравнение принимает вид A x 3 + B x 2 + C x = 0 . При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид x A x 2 + B x + C = 0 .

Найти корни заданного уравнения 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .

Решение

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

Х = 0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3 x 2 + 4 x + 2 . Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D = 4 2 — 4 · 3 · 2 = — 8 . Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х = 0 .

Когда коэффициенты уравнения A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A ≠ 1 , тогда при умножении на A 2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у = А х :

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y 1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x 1 = y 1 A . Необходимо произвести деление многочлена A x 3 + B x 2 + C x + D на x — x 1 . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 2 2 обеих частей, причем с заменой переменной типа у = 2 х . Получаем, что

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 — 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

Свободный член равняется 36 , тогда необходимо зафиксировать все его делители:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

Необходимо произвести подстановку y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 , чтобы получить тождество вида

1 3 — 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 ( — 1 ) 3 — 11 · ( — 1 ) 2 + 24 · ( — 1 ) + 36 = 0

Отсюда видим, что у = — 1 – это корень. Значит, x = y 2 = — 1 2 .

Далее следует деление 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 на x + 1 2 при помощи схемы Горнера:

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 — 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 — 6 x + 9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x 2 — 6 x + 9 . Имеем, что уравнение следует привести к виду x 2 — 6 x + 9 = x — 3 2 , где х = 3 будет его корнем.

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3 .

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что — 1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х + 1 . Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0 необходимо найти B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .

После чего p = — B 1 2 3 + B 2 и q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 .

Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — q 2 4 + p 3 27 3

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению — p 3 . Тогда корни исходного уравнения x = y — B 1 3 . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Видно, что A 0 = 2 , A 1 = — 11 , A 2 = 12 , A 3 = 9 .

Необходимо найти B 1 = A 1 A 0 = — 11 2 , B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6 , B 3 = A 3 A 0 = 9 2 .

Отсюда следует, что

p = — B 1 2 3 + B 2 = — — 11 2 2 3 + 6 = — 121 12 + 6 = — 49 12 q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · — 11 2 3 27 — — 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — — q 2 4 + p 3 27 3 = = — 343 216 + 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 + — 343 216 — 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 = = — 343 216 3 + — 343 216 3

— 343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

— 343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3 , k = 0 , 1 , 2

Если k = 0 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

Если k = 1 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = — 7 6

Если k = 2 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 — i · 3 2

Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим — p 3 = 49 36 .

Тогда получим пары: 7 6 1 2 + i · 3 2 и 7 6 1 2 — i · 3 2 , — 7 6 и — 7 6 , 7 6 1 2 — i · 3 2 и 7 6 1 2 + i · 3 2 .

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

y 1 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 — i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = — 7 6 + — 7 6 = — 14 6 y 3 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 — i · 3 2 + 7 6 1 2 + i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 — B 1 3 = — 14 6 + 11 6 = — 1 2 x 3 = y 3 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

Куби́ческое уравне́ние — алгебраическое уравнение третьей степени, общий вид которого следующий:

a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 , a ≠ 0. +bx^ +cx+d=0,;a
eq 0.>

Для графического анализа кубического уравнения в декартовой системе координат используется кубическая парабола.

Кубическое уравнение общего вида может быть приведено к каноническому виду путём деления на a и замены переменной x = y − b 3 a , >,> приводящей уравнение к виду:

y 3 + p y + q = 0 , +py+q=0,>

q = 2 b 3 27 a 3 − b c 3 a 2 + d a = 2 b 3 − 9 a b c + 27 a 2 d 27 a 3 , > >>- >>+ >= -9abc+27a^ d> >>,> p = c a − b 2 3 a 2 = 3 a c − b 2 3 a 2 . >- > >>= > >>.>

Содержание

История [ править | править код ]

Кубические уравнения были известны ещё в древнем Вавилоне, древним грекам, китайцам, индийцам и египтянам [1] [2] [3] . Были найдены клинописные таблички Старовавилонского периода (20—16 век до нашей эры), содержащие таблицы вычисления кубов и кубических корней [4] [5] . Вавилоняне могли использовать эти таблицы для решения кубических уравнений, но не существует никаких свидетельств, что они это делали [6] .

Задача удвоения куба использует простейшее и наиболее старое из кубических уравнений, и древние египтяне не верили, что решение его существует [7] . В пятом веке до нашей эры Гиппократ свёл эту задачу к нахождению двух средних пропорциональных между одним отрезком и другим, вдвое большим его, но не смог решить её с помощью циркуля и линейки [8] , что, как теперь известно, невозможно сделать.

В III веке нашей эры древнегреческий математик Диофант нашёл целые и рациональные решения для некоторых кубических уравнений с двумя неизвестными (диофантовых уравнений) [3] [9] . Считается, что Гиппократ, Менехм и Архимед подошли ближе к решению задачи об удвоении куба с помощью конических сечений [8] , хотя некоторые историки, такие как Ревиэль Нетц (Reviel Netz), говорят о том, что неизвестно, думали ли греки о кубических уравнениях, или просто о задачах, которые могут привести к кубическим уравнениям. Другие, как, например, Томас Хит, переводчик и комментатор всех дошедших до нас трудов Архимеда, не соглашаются, указывая на свидетельства, что Архимед действительно решал кубические уравнения с помощью пересечения двух конусов [10] .

Методы решения кубических уравнений появляются в китайском математическом тексте Математика в девяти книгах, составленном около второго столетия до нашей эры и прокомментированном китайским математиком Лю Хуэем в третьем столетии [2] .

В VII веке во времена династии Тан астроном и математик Ван Сяотун в своём математическом трактате, озаглавленном Цзигу Суаньцзин, изложил и решил 25 кубических уравнений вида x 3 + p x 2 + q x = N +px^ +qx=N> , в 23 из которых p , q ≠ 0 , и в двух уравнениях q = 0 [11] .

В XI веке персидский поэт и математик Омар Хайям (1048—1131) сделал существенный прогресс в теории кубических уравнений. В ранних работах, посвящённых кубическим уравнениям, он обнаружил, что кубическое уравнение может иметь более одного решения, и утверждал, что уравнение не может быть решено с помощью циркуля и линейки. Он также нашёл геометрическое решение [12] [13] . В его более позднем труде, Трактат о демонстрации задач алгебры, он описал полную классификацию кубических уравнений с их общими геометрическими решениями, использующими пересечения конических сечений [14] [15] .

В двенадцатом столетии индийский математик Бхаскара II пытался решать кубические уравнения без особых успехов. Однако он привёл один пример решения кубического уравнения [16] :

x 3 + 12 x = 6 x 2 + 35. +12x=6x^ +35.>

В том же столетии другой, персидский, математик, Шараф ад-Дин (1135—1213), написал Al-Mu’adalat (Трактат об уравнениях), в котором говорится о восьми типах кубических уравнений с положительными решениями и о пяти типах, не имеющих положительных решений. Он использовал подход, который позднее стал известен как метод «Руффини — Горнера» для численной аппроксимации корня кубического уравнения. Он разработал также концепцию производной функции и экстремумов кривой для решения кубических уравнений, которые могут не иметь положительных значений [17] . Он понял важность дискриминанта кубического уравнения для нахождения алгебраического решения некоторых специальных видов кубических уравнений [18] .

Леонардо Пизанский, известный также как Фибоначчи (1170—1250), умел находить положительные решения кубического уравнения x 3 + 2x 2 + 10x = 20 с помощью вавилонских цифр. Он указал решение 1,22,7,42,33,4,40 (что эквивалентно 1 + 22/60 + 7/60 2 + 42/60 3 + 33/60 4 + 4/60 5 + 40/60 6 ) [19] , что отличается от точного решения только на три триллионных.

В начале XVI века итальянский математик Сципион дель Ферро (1465—1526) нашёл общий метод решения важного класса кубических уравнений, а именно, уравнений вида x 3 + m x = n +mx=n> с неотрицательными n и m. Фактически все кубические уравнения можно свести к такому виду, если допустить возможность для m и n быть отрицательными, но отрицательные числа в то время ещё не были известны. Дель Ферро держал своё открытие в секрете, пока не рассказал о нём перед своей смертью своему ученику Антонио Фиоре (Antonio Fiore).

В 1530 Никколо Тарталья (1500—1557) получил две задачи в виде кубических уравнений от Дзуанне да Кои (Zuanne da Coi) и объявил, что он их может решить. Он вскоре получил вызов от Фиоре на математическое соревнование, которое после его завершения стало знаменитым. Каждый из них должен был предложить определённое число задач сопернику для решения. Оказалось, что все задачи, полученные Тартальей, сводились к кубическим уравнениям типа x 3 + m x = n +mx=n> . Незадолго до истечения срока Тарталье удалось разработать общий метод решения кубических уравнений этого типа (переоткрыв метод дель Ферро), а также обобщить его на два других типа ( x 3 = m x + n =mx+n> и x 3 + n = m x +n=mx> ). После этого он быстро решил все предложенные ему задачи. Фиоре же получил от Тартальи задачи из различных разделов математики, многие из которых оказались ему не под силу; в результате Тарталья выиграл соревнование.

Позднее Джероламо Кардано (1501—1576) неоднократно пытался убедить Тарталья раскрыть секрет решения кубических уравнений. В 1539 году ему это удалось: Тарталья сообщил свой метод, но при условии, что Кардано никому его не откроет до выхода книги самого Тартальи о кубических уравнениях, над которой он работал и где собирался опубликовать метод. Спустя шесть лет Тарталья так и не опубликовал свою книгу, а Кардано, узнав к тому времени о работах Ферро, счёл возможным опубликовать метод дель Ферро (с упоминанием имени Тартальи, как независимо его открывшего) в своей книге Ars Magna [en] в 1545 году. Кардано оправдывался тем, что обещал не сообщать никому результаты Тартальи, а не дель Ферро. Тем не менее, Тарталья считал, что Кардано нарушил обещание и послал тому вызов на соревнование, который Кардано не принял. Вызов, в конце концов, принял ученик Кардано Лодовико Феррари (1522—1565), и оказался победителем [20] .

Кардано заметил, что метод Тарталья иногда (а именно — при наличии трех действительных корней) требует извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Он даже включил вычисления с этими комплексными числами в Ars Magna, но, на самом деле, до конца проблему не понял. Рафаэль Бомбелли изучал эту проблему детально, а потому считается первооткрывателем комплексных чисел.

Франсуа Виет (1540—1603) независимо вывел решение кубического уравнения с тремя действительными корнями. Его решение было основано на тригонометрической формуле

( 2 ⋅ cos ⁡ ϕ ) 3 − 3 ⋅ ( 2 ⋅ cos ⁡ ϕ ) = 2 ⋅ cos ⁡ ( 3 ⋅ ϕ ) . cos phi )^ -3 (2 cos phi )=2 cos(3 phi ).>

В частности, подстановка x = 2 ⋅ a ⋅ cos ⁡ ϕ a cos phi > приводит уравнение

x 3 − 3 ⋅ a 2 ⋅ x = a 2 ⋅ b . -3 a^ x=a^ cdot b.>

2 ⋅ a ⋅ cos ⁡ ( 3 ⋅ ϕ ) = b . a cos(3 phi )=b.>

Позднее Рене Декарт (1596—1650) углубил работу Виета [21] .

Корни уравнения [ править | править код ]

Число x , обращающее уравнение в тождество, называется корнем или решением уравнения. Оно является также корнем многочлена третьей степени, стоящего в левой части канонической записи.

a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 +bx^ +cx+d=0>

всегда имеет 3 корня x 1 , x 2 , x 3 ,x_ ,x_ > (с учётом кратности).

Так как каждый вещественный многочлен нечётной степени имеет хотя бы один вещественный корень, все возможные случаи состава корней кубического уравнения исчерпываются тремя, описанными ниже. Эти случаи легко различаются с помощью дискриминанта

Δ = a 4 ⋅ ( x 1 − x 2 ) 2 ⋅ ( x 1 − x 3 ) 2 ⋅ ( x 2 − x 3 ) 2 = − 4 ⋅ b 3 ⋅ d + b 2 ⋅ c 2 − 4 ⋅ a ⋅ c 3 + 18 ⋅ a ⋅ b ⋅ c ⋅ d − 27 ⋅ a 2 ⋅ d 2 . (x_ -x_ )^ (x_ -x_ )^ (x_ -x_ )^ =-4 b^ cdot d+b^ c^ -4 a c^ +18 a b c d-27 a^ d^ .>

Итак, возможны только три случая:

• Если Δ > 0, тогда уравнение имеет три различных вещественных корня.
• Если Δ x 1 , x 2 , x 3 ,,x_ ,,x_ >связаны с коэффициентами a , b , c , d следующими соотношениями [22] :

x 1 + x 2 + x 3 = − b a , +x_ +x_ =- ,> x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 1 x 3 = c a , x_ +x_ x_ +x_ x_ = >,> x 1 x 2 x 3 = − d a . ,x_ ,x_ =- >.>

Делением указанных тождеств друг на друга можно получить ещё несколько справедливых соотношений:

1 x 1 + 1 x 2 + 1 x 3 = − c d , d ≠ 0 >>+ >>+ >>=- >,quad d
eq 0> , 1 x 1 x 2 + 1 x 2 x 3 + 1 x 1 x 3 = b d , d ≠ 0 x_ >>+ x_ >>+ x_ >>= >,quad d
eq 0> , 1 x 1 x 2 x 3 = − a d , d ≠ 0 x_ x_ >>=- >,quad d
eq 0> .

Методы решения [ править | править код ]

Общие точные методы решения:

Для некоторых особых типов кубических уравнений существуют специальные методы решения. См., например:

Подстановка Виета [ править | править код ]

Как указывалось выше, любое кубическое уравнение можно привести к виду:

t 3 + p t + q = 0 , +pt+q=0,>

Сделаем подстановку, известную как подстановка Виета:

t = w − p 3 w >>

В результате получим уравнение:

w 3 + q − p 3 27 w 3 = 0. +q- > >>=0.>

Умножив на w 3 > , получим уравнение шестой степени от w , которое, на самом деле, является квадратным уравнением от w 3 > :

w 6 + q w 3 − p 3 27 = 0 +qw^ — > >=0>

Решая это уравнение, получим w 3 > . Если w 1 > , w 2 > и w 3 > являются тремя кубическими корнями w 3 > , то корни исходного уравнения можно получить по формулам

t 1 = w 1 − p 3 w 1 , t 2 = w 2 − p 3 w 2 =w_ — >>,quad t_ =w_ — >>quad > и t 3 = w 3 − p 3 w 3 . =w_ — >>.>

Решение Омара Хайяма [ править | править код ]

Как показано на графике, для решения уравнения третьей степени x 3 + a 2 x = b +a^ x=b> , где 0,>»> b > 0 , 0,> 0,»/> Омар Хайям построил параболу y = x 2 a , >>,> окружность, диаметром которой является отрезок [ 0 , b a 2 ] >>
ight]> положительной полуоси x , и вертикальную прямую, проходящую через пересечение параболы и окружности. Решение определяется длиной горизонтального отрезка от начала координат до пересечения вертикальной прямой с осью x .

Простое современное доказательство построения: умножаем на x уравнение и группируем члены

x 4 a 2 = x ( b a 2 − x ) . > >>=x,left( >>-x
ight),.>

Левая часть — это значение y 2 > на параболе. Уравнение окружности, y 2 + x ( x − b a 2 ) = 0 , +x,left(x- >>
ight)=0,> совпадает с правой частью уравнения и даёт значение y 2 > на окружности.