Прототипы задания №1 профильного ЕГЭ 2022 по математике

Новые задания №1 ЕГЭ 2022 по математике профильного уровня — простейшие уравнения.

Для успешного результата необходимо уметь решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения, их системы.

Задание №1 ЕГЭ 2022 математика профильный уровень Прототипы

При отработке данного задания будут полезны книги:

Как решать задачи С1 (30) на ЕГЭ по химии. Часть III

Продолжаем обсуждать решение задачи вида С1 (№ 30), которая обязательно встретится всем, кто будет сдавать ЕГЭ по химии. В первой части статьи мы изложили общий алгоритм решения задачи 30, во второй части разобрали несколько достаточно сложных примеров.

Третью часть начнем с обсуждения типичных окислителей и восстановителей и их превращений в различных средах.

Пятый шаг : обсуждаем типичные ОВР, которые могут встретиться в задаче №30

Хотелось бы напомнить несколько моментов, связанных с понятием степени окисления. Мы уже отмечали, что постоянная степень окисления характерна лишь для относительно небольшого числа элементов (фтора, кислорода, щелочных и щелочноземельных металлов и т. п.) Большинство элементов может проявлять разные степени окисления. Например, для хлора возможны все состояния от -1 до +7, хотя наиболее стабильны нечетные значения. Азот проявляет степени окисления от -3 до +5 и т. д.

Следует четко запомнить два важных правила.

1. Высшая степень окисления элемента — неметалла в большинстве случаев совпадает с номером группы, в которой находится данный элемент, а низшая степень окисления = номер группы — 8.

Например, хлор находится в VII группе, следовательно, его высшая степень окисления = +7, а низшая — 7 — 8 = -1. Селен находится в VI группе. Высшая степень окисления = +6, низшая — (-2). Кремний расположен в IV группе; соответствующие значения равны +4 и -4.

Запомните, что из этого правила есть исключения: высшая степень окисления кислорода = +2 (и даже она проявляется только во фториде кислорода), а высшая степень окисления фтора = 0 (в простом веществе)!

2. Металлы не способны проявлять отрицательные степени окисления. Это довольно важно, учитывая, что более 70% химических элементов относятся именно к металлам.

А теперь вопрос: «Может ли Mn(+7) выступать в химических реакциях в роли восстановителя?» Не спешите, попробуйте ответить самостоятельно.

Правильный ответ: «Нет, не может!» Объяснить это очень легко. Взгляните на положение этого элемента в периодической системе. Mn находится в VII группе, следовательно, его ВЫСШАЯ степень окисления равна +7. Если бы Mn(+7) выступал в роли восстановителя, его степень окисления повысилась бы (вспомните определение восстановителя!), а это невозможно, поскольку она и так имеет максимальное значение. Вывод: Mn(+7) может быть только окислителем.

По той же причине ТОЛЬКО ОКИСЛИТЕЛЬНЫЕ свойства могут проявлять S(+6), N(+5), Cr(+6), V(+5), Pb(+4) и т. д. Взгляните на положение этих элементов в периодической системе и убедитесь в этом сами.

И еще вопрос: «Может ли Se(-2) выступать в химических реакциях в роли окислителя?»

И вновь отрицательный ответ. Вы, вероятно, уже догадались, в чем тут дело. Селен находится в VI группе, его НИЗШАЯ степень окисления равна -2. Se(-2) не может ПРИОБРЕТАТЬ электроны, т. е., не может быть окислителем. Если Se(-2) участвует в ОВР, то только в роли ВОССТАНОВИТЕЛЯ.

По аналогичной причине ТОЛЬКО ВОССТАНОВИТЕЛЕМ может быть N(-3), P(-3), S(-2), Te(-2), I(-1), Br(-1) и т. д.

«А что, если элемент имеет промежуточную степень окисления?» — спросите вы. Ну, тогда возможно и его окисление, и его восстановление. Например, сера в реакции с кислородом окисляется, а в реакции с натрием — восстанавливается.

Наверное, логично предположить, что каждый элемент в высшей степени окисления будет выраженным окислителем, а в низшей — сильным восстановителем. В большинстве случаев это действительно так. Например, все соединения Mn(+7), Cr(+6), N(+5) можно отнести к сильным окислителям. Но, например, P(+5) и С(+4) восстанавливаются с трудом. А уж заставить Ca(+2) или Na(+1) выступить в роли окислителя практически невозможно, хотя, формально говоря, +2 и +1 — это тоже высшие степени окисления.

Наоборот, многие соединения хлора (+1) являются мощными окислителями, хотя степень окисления +1 в данном случае далека от высшей.

F(-1) и Cl(-1) — плохие восстано&shyвители, а их аналоги (Br(-1) и I(-1)) — хорошие. Кислород в низшей степени окисления (-2) практически не проявляет восстановительные свойства, а Te(-2) — мощный восстановитель.

Мы видим, что все не так очевидно, как хотелось бы. В ряде случаев, способность к окислению — восстановлению можно легко предвидеть, в других случаях — нужно просто запомнить, что вещество Х — это, скажем, хороший окислитель.

Кажется, мы наконец-то добрались до списка типичных окислителей и восстановителей. Хотелось бы, чтобы вы не просто «вызубрили» эти формулы (хотя и это будет неплохо!), но и смогли бы объяснить, почему то или иное вещество попало в соответствующий список.

Типичные окислители

1. Простые вещества — неметаллы: F 2 , O 2 , O 3 , Cl 2 , Br 2 .
2. Концентрированная серная кислота (H 2 SO 4 ), азотная кислота (HNO 3 ) в любой концентрации, хлорноватистая кислота (HClO), хлорная кислота (HClO 4 ).
3. Перманганат калия и манганат калия (KMnO 4 и K 2 MnO 4 ), хроматы и бихроматы (K 2 CrO 4 и K 2 Cr 2 O 7 ), висмутаты (напр., NaBiO 3 ).
4. Оксиды хрома (VI), висмута (V), свинца (IV), марганца (IV).
5. Гипохлориты (NaClO), хлораты (NaClO 3 ) и перхлораты (NaClO 4 ); нитраты (KNO 3 ).
6. Пероксиды, надпероксиды, озониды, органические перекиси, пероксокислоты, все остальные вещества, содержащие группировку -O-O- (напр., пероксид водорода — H 2 O 2 , пероксид натрия — Na 2 O 2 , надпероксид калия — KO 2 ).
7. Ионы металлов, расположенных в правой части ряда напряжений: Au 3+ , Ag + .

Типичные восстановители

1. Простые вещества — металлы: щелочные и щелочноземельные, Mg, Al, Zn, Sn.
2. Простые вещества — неметаллы: H 2 , C.
3. Гидриды металлов: LiH, CaH 2 , алюмогидрид лития (LiAlH 4 ), боргидрид натрия (NaBH 4 ).
4. Гидриды некоторых неметаллов: HI, HBr, H 2 S, H 2 Se, H 2 Te, PH 3 , силаны и бораны.
5. Иодиды, бромиды, сульфиды, селениды, фосфиды, нитриды, карбиды, нитриты, гипофосфиты, сульфиты.
6. Угарный газ (CO).

Хотелось бы подчеркнуть несколько моментов:

1. Я не ставил перед собой цели перечислить все окислители и восстановители. Это невозможно, да и не нужно.
2. Одно и то же вещество может выступать в одном процессе в роли окислителя, а в другом — в роли в-теля.
3. Никто не может гарантировать, что в экзаменационной задаче C1 вам обязательно встретится одно из этих веществ, но вероятность этого весьма высока.
4. Важно не механическое запоминание формул, а ПОНИМАНИЕ. Попробуйте проверить себя: выпишите вперемешку вещества из двух списков, а затем попробуйте самостоятельно разделить их на типичные окислители и восстановители. Руководствуйтесь теми соображениями, которые мы обсуждали в начале этой статьи.

А теперь небольшая контрольная работа. Я предложу вам несколько неполных уравнений, а вы попробуете найти окислитель и восстановитель. Дописывать правые части уравнений пока не обязательно.

Пример 12 . Определите окислитель и восстановитель в ОВР:

CrO 3 + C 3 H 6 + H 2 SO 4 = .

Na 2 SO 3 + Na 2 Cr 2 O 7 + H 2 SO 4 = .

O 3 + Fe(OH) 2 + H 2 O = .

KMnO 4 + KNO 2 + KOH = .

H 2 O 2 + K 2 S + KOH = .

Думаю, вы справились с этим заданием без труда. Если же возникли проблемы, прочитайте еще раз начало этой статьи, поработайте над списком типичных окислителей.

«Все это чудесно! — воскликнет нетерпеливый читатель. — Но где же обещанные задачи С1 с неполными уравнениями? Да, в примере 12 мы смогли определить окислитель и в-тель, но ведь главное не в этом. Главное — суметь ДОПОЛНИТЬ уравнение реакции, а разве список окислителей сможет нам в этом помочь?»

Да, сможет, если понимать, ЧТО ПРОИСХОДИТ с типичными окислителями в различных условиях. Вот именно этим мы сейчас и займемся.

Шестой шаг : превращения некоторых окислителей в разных средах. «Судьба» перманганатов, хроматов, азотной и серной кислот

Итак, мы должны не только уметь распознавать типичные окислители, но и понимать, во что превращаются эти вещества в ходе ОВР. Очевидно, что без этого понимания мы не сможем правильно решить задачу 30. Ситуация усложняется тем, что продукты взаимодействия невозможно указать ОДНОЗНАЧНО. Бессмысленно спрашивать: «Во что превратится перманганат калия в ходе процесса восстановления?» Все зависит от множества причин. В случае KMnO 4 главная из них — это кислотность (pH) среды. В принципе, характер продуктов восстановления может зависеть от:

1. используемого в ходе процесса восстановителя,
2. кислотности среды,
3. концентраций участников реакции,
4. температуры процесса.

Мы не будем сейчас говорить о влиянии концентрации и температуры (хотя пытливые юные химики могут вспомнить, что, например, хлор и бром по-разному взаимодействуют с водным раствором щелочи на холоду и при нагревании). Сосредоточимся на рН среды и силе восстановителя.

Информацию, приведенную ниже, следует просто запомнить. Не надо пытаться анализировать причины, просто ЗАПОМНИТЕ продукты реакций. Уверяю вас, на ЕГЭ по химии это может вам пригодиться.

Продукты восстановления перманганата калия (KMnO 4 ) в различных средах

Пример 13 . Дополните уравнения окислительно — восстановительных реакций:

Решение . Руководствуясь списком типичных окислителей и восстановителей, приходим к выводу, что окислителем во всех этих реакциях является перманганат калия, а восстановителем — сульфит калия.

H 2 SO 4 , H 2 O и КОН определяют характер раствора. В первом случае реакция идет в кислой среде, во втором — в нейтральной, в третьем — в щелочной.

Вывод: в первом случае перманганат будет восстановлен до соли Mn(II), во втором — до диоксида марганца, в третьем — до манганата калия. Дополним уравнения реакций:

А во что превратится сульфит калия? Ну, естественно, в сульфат. Очевидно, что К в составе K 2 SO 3 окислять дальше просто некуда, окисление кислорода крайне маловероятно (хотя, в принципе, возможно), а вот S(+4) легко превращается в S(+6). Продукт окисления — K 2 SO 4 , можно добавить эту формулу в уравнения:

Наши уравнения практически готовы. Осталось добавить вещества, которые непосредственно не участвуют в ОВР и расставить коэффициенты. Кстати, если начать со второго пункта, возможно, будет даже проще. Построим, например, электронный баланс для последней реакции

Ставим коэффициент 2 перед формулами KMnO 4 и K 2 MnO 4 ; перед формулами сульфита и сульфата калия подразумеваем коэфф. 1:

2KMnO 4 + KOH + K 2 SO 3 = 2K 2 MnO 4 + K 2 SO 4 + .

Справа видим 6 атомов калия, слева — пока только 5. Надо исправлять положение; ставим перед формулой КОН коэффициент 2:

2KMnO 4 + 2KOH + K 2 SO 3 = 2K 2 MnO 4 + K 2 SO 4 + .

Последний штрих: в левой части видим атомы водорода, справа их нет. Очевидно, надо срочно найти какое-то вещество, которое содержит водород в степени окисления +1. Давайте возьмем воду!

2KMnO 4 + 2KOH + K 2 SO 3 = 2K 2 MnO 4 + K 2 SO 4 + H 2 O

Проверяем еще раз уравнение. Да, все отлично!

«Интересное кино! — заметит бдительный юный химик. — А почему это вы добавили на последнем шаге именно воду? А если я захочу добавить перекись водорода или просто Н 2 или гидрид калия или Н 2 S? Вы добавили воду, т. к. ее НЕОБХОДИМО было добавить или вам просто так захотелось?»

Что же, давайте разбираться. Ну, во-первых, добавлять вещества в уравнение реакции по своему желанию мы, естественно не имеем права. Реакция идет именно так, как она идет; как распорядилась природа. Наши симпатии и антипатии не в силах повлиять на ход процесса. Мы можем попробовать изменить условия реакции (повысить температуру, добавить катализатор, изменить давление), но если условия реакции заданы, ее результат уже не может зависеть от нашей воли. Таким образом, формула воды в уравнении последней реакции — это не мое желание, а факт.

Во-вторых, вы, можете попробовать уравнять реакцию в случаях, когда вместо воды будут присутствовать перечисленные вами вещества. Уверяю вас: ни в одном случае вы не сможете этого сделать.

В-третьих, варианты с H 2 O 2 , Н 2 , KH или Н 2 S просто неприемлемы в данном случае по тем или другим причинам. Например, в первом случае меняется степень окисления кислорода, во втором и 3-м — водорода, а мы договорились, что степень окисления поменяется только у Mn и S. В четвертом случае сера вообще выступила в роли окислителя, а мы условились, что S — восстановитель. Кроме того, гидрид калия вряд ли «выживет» в водной среде (а реакция, напомню, идет в водном р-ре), а H 2 S (даже если бы это вещество и образовалось) неминуемо вступит в р-цию с КОН. Как видите, знание химии позволяет нам отвергнуть эти в-ва.

«Но почему именно вода?» — спросите вы.

Да, потому, например, что в данном процессе (как и во многих других) вода выступает в качестве растворителя. Потому, например, что если вы проанализируете все реакции, написанные вами за 4 года изучения химии, обнаружится, что Н 2 O встречается едва ли не в половине уравнений. Вода — вообще довольно «популярное» в химии соединение.

Поймите, я не утверждаю, что каждый раз, когда в задаче 30 вам надо «куда-то отправить водород» или «откуда-то взять кислород», необходимо хвататься за воду. Но, наверное, это будет первое вещество, о котором следует подумать.

Похожая логика используется для уравнений реакций в кислой и нейтральной средах. В первом случае необходимо добавить в правую часть формулу воды, во втором — гидроксида калия:

Расстановка коэффициентов у многоопытных юных химиков не должна вызвать ни малейших затруднений. Окончательный ответ:

В следующей части мы поговорим о продуктах восстановления хроматов и бихроматов, об азотной и серной кислотах.

Задание №1. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

В задании №1 варианта ЕГЭ вам встретятся всевозможные уравнения: квадратные и сводящиеся к квадратным, дробно-рациональные, иррациональные, степенные, показательные и логарифмические и даже тригонометрические. Видите, как много нужно знать, чтобы справиться с заданием! И еще ловушки и «подводные камни», которые ждут вас в самом неожиданном месте.

Вот список тем, которые стоит повторить:

Уравнения, сводящиеся к квадратным

1. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Кажется, что уравнение очень простое. Но иногда здесь ошибаются даже отличники. А вот шестиклассник бы не ошибся.

С левой частью уравнения все понятно. Дробь умножается на А в правой части — смешанное число Его целая часть равна 19, а дробная часть равна Запишем это число в виде неправильной дроби:

Выбираем меньший корень.

Ответ: — 6,5.

2. Решите уравнение

Возведем в квадрат левую часть уравнения. Получим:

Дробно-рациональные уравнения

3. Найдите корень уравнения

Перенесем единицу в левую часть уравнения. Представим 1 как и приведем дроби к общему знаменателю:

Это довольно простой тип уравнений. Главное — внимательность.

Иррациональные уравнения

Так называются уравнения, содержащие знак корня — квадратного, кубического или n-ной степени.

4. Решите уравнение:

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю.

Значит, .

Возведём обе части уравнения в квадрат:

Условие при этом выполняется.

5. Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

А в этом уравнении есть ловушка. Решите его самостоятельно и после этого читайте дальше.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень — величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

Решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов:

Мы получили, что . Это единственный корень уравнения.

Типичная ошибка в решении этого уравнения такая. Учащиеся честно пишут ОДЗ, помня, что выражение под корнем должно быть неотрицательно:

Возводят обе части уравнения в квадрат. Получают квадратное уравнение: Находят его корни: или Пишут в ответ: -9 (как меньший из корней). В итоге ноль баллов.

Теперь вы знаете, в чем дело. Конечно же, число -9 корнем этого уравнения быть не может.

6. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Показательные уравнения

При решении показательных уравнений мы пользуемся свойством монотонности показательной функции.

7. Решите уравнение

Вспомним, что Уравнение приобретает вид: Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

8. Решите уравнение

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

9. Решите уравнение

Представим в виде степени с основанием 3 и воспользуемся тем, что

Логарифмические уравнения

Решая логарифмические уравнения, мы также пользуемся монотонностью логарифмической функции: каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, значит, равны и сами числа.

И конечно, помним про область допустимых значений логарифма:

Логарифмы определены только для положительных чисел;

Основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

10. Решите уравнение:

Область допустимых значений: . Значит,

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом

11. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

12. Решите уравнение:

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Записываем решение как цепочку равносильных переходов.

13. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

В этом уравнении тоже есть ловушка. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

Первое уравнение мы получили просто из определения логарифма.

Квадратное уравнение имеет два корня: и

Очевидно, корень является посторонним, поскольку основание логарифма должно быть положительным. Значит, единственный корень уравнения:

Тригонометрические уравнения (Часть 1 ЕГЭ по математике)

Тригонометрические уравнения? В первой части вариантов ЕГЭ? — Да. Причем это задание не проще, чем задача 13 из второй части варианта Профильного ЕГЭ.

14. Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Типичная ошибка — решать это уравнение в уме. Мы не будем так делать! Несмотря на то, что это задание включено в первую части варианта ЕГЭ, оно является полноценным тригонометрическим уравнением, причем с отбором решений.

Сделаем замену Получим:

Получаем решения: Вернемся к переменной x.

Поделим обе части уравнения на и умножим на 4.

Первой серии принадлежат решения

Вторая серия включает решения

Наибольший отрицательный корень — тот из отрицательных, который ближе всех к нулю. Это

15. Решите уравнение В ответе напишите наименьший положительный корень.

Сделаем замену Получим: Решения этого уравнения:

Вернемся к переменной х:

Умножим обе части уравнения на 4 и разделим на

Выпишем несколько решений уравнения и выберем наименьший положительный корень:

Наименьший положительный корень

Мы разобрали основные типы уравнений, встречающихся в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике. Конечно, это не все, и видов уравнений в этой задаче существует намного больше. Именно поэтому мы рекомендуем начинать подготовку к ЕГЭ по математике не с задания 1, а с текстовых задач на проценты, движение и работу и основ теории вероятностей.
Успеха вам в подготовке к ЕГЭ!