Уравнение эллипса в каноническом виде имеет вот такой вид.
Так как тут всего две переменных, то логично предположить, что по двум заданным точкам мы всегда сможем построить формулу эллипса.
Для расчета поставленной задачи воспользуемся материалом расчет кривой второго порядка на плоскости, который и позволит легко и быстро получить результат.
Кроме этого, на этой странице мы получим следующую информацию.
Фокальный параметр — половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса
Значение полуосей — большая полуось и малая полуось ( Естественно это в том случае, когда эллипс вытянут вдоль оси абсцисс)
Эксцентриситет — коэффициент, показывающий насколько его фигура отличается от окружности
Фокальное расстояние
Коэффициент сжатия — отношение длин малой и большой полуосей
Примеры задач
Cоставить каноническое уравнение эллипса по двум точкам
Ввводим данные в калькулятор, не забывая что квадратный корень у нас обозначается sqrt
и получаем результат
Каноническое уравнение эллипса
Большая полуось эллипса
Малая полуось эллипса
Эксцентриситет эллипса
Фокусное/фокальное расстояние
Коэффициент сжатия
Координаты первого фокуса F1(x1:y1)
Координаты второго фокуса F2(x2:y2)
Фокальный параметр
Перифокусное расстояние
Апофокусное расстояние
И еще один пример
Даны две точки с координатами (3:2) и (4:-9) построить каноническое уравнение эллипса.
Если мы введем данные в калькулятор получим
Большая полуось эллипса
Малая полуось эллипса
Как видно, одна из осей не может быть определена, так как нам придется брать корень квадратный из отрицательного числа, а следовательно одна из осей будет комплексным числом, что быть не может.
Таким образом по этим двум точкам, нельзя построить эллипс.
А что же можно построить? Перейдя по ссылке данной в начале статьи, мы можем увидеть что это каноническое уравнение гиперболы.
Более подробно, про гиперболу есть отдельный калькулятор Каноническое уравнение гиперболы по двум точкам
Ось эллипса
Свойства
Кривая любого эллипса задается в плоскости следующим уравнением, из которого можно легко найти полуоси эллипса и в дальнейшем вычислить его периметр или площадь. x^2/a^2 +y^2/b^2 =1
В другом варианте, могут быть дано не уравнение эллипса или полуоси, а сами оси, вокруг которых происходит вращение – c и d. Оси эллипса совпадают с его осями симметрии, расположены перпендикулярно друг к другу и ровно в два раза больше полуосей. Поэтому для того чтобы вывести формулы площади или периметра эллипса через оси, необходимо вместо полуосей подставить половины осей. S=πab=πcd/4 P=4 (πab+(a-b))/(a+b)=4 ( πcd/4+(c/2-d/2))/(c/2+d/2)=2 (πcd+2(c-d))/(c+d)
Ellipse Calculator
This calculator will find either the equation of the ellipse from the given parameters or the center, foci, vertices, co-vertices, (semi)major axis length, (semi)minor axis length, area, circumference, latera recta, length of the latera recta, focal parameter, focal length (distance), eccentricity, linear eccentricity, directrices, x-intercepts, y-intercepts, domain, and range of the entered ellipse. Also, it will graph the ellipse. Steps are available.
Your Input
Find the center, foci, vertices, co-vertices, major axis length, semi-major axis length, minor axis length, semi-minor axis length, area, circumference, latera recta, length of the latera recta, focal parameter, focal length, eccentricity, linear eccentricity, directrices, x-intercepts, y-intercepts, domain, and range of the ellipse $$$ 4 x^ <2>+ 9 y^ <2>= 36 $$$ .
Solution
The equation of an ellipse is $$$ \frac<\left(x - h\right)^<2>>> + \frac<\left(y - k\right)^<2>>> = 1 $$$ , where $$$ \left(h, k\right) $$$ is the center, $$$ a $$$ and $$$ b $$$ are the lengths of the semi-major and the semi-minor axes.
Thus, $$$ h = 0 $$$ , $$$ k = 0 $$$ , $$$ a = 3 $$$ , $$$ b = 2 $$$ .
The vertex form is $$$ \frac> <9>+ \frac> <4>= 1 $$$ .
The general form is $$$ 4 x^ <2>+ 9 y^ <2>— 36 = 0 $$$ .
The linear eccentricity is $$$ c = \sqrt — b^<2>> = \sqrt <5>$$$ .
The first focus is $$$ \left(h — c, k\right) = \left(- \sqrt<5>, 0\right) $$$ .
The second focus is $$$ \left(h + c, k\right) = \left(\sqrt<5>, 0\right) $$$ .
The first vertex is $$$ \left(h — a, k\right) = \left(-3, 0\right) $$$ .
The second vertex is $$$ \left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right) $$$ .
The first co-vertex is $$$ \left(h, k — b\right) = \left(0, -2\right) $$$ .
The second co-vertex is $$$ \left(h, k + b\right) = \left(0, 2\right) $$$ .
The length of the major axis is $$$ 2 a = 6 $$$ .
The length of the minor axis is $$$ 2 b = 4 $$$ .
The area is $$$ \pi a b = 6 \pi $$$ .
The circumference is $$$ 4 a E\left(\frac<\pi><2>\middle| e^<2>\right) = 12 E\left(\frac<5><9>\right) $$$ .
The focal parameter is the distance between the focus and the directrix: $$$ \frac> = \frac<4 \sqrt<5>> <5>$$$ .
The latera recta are the lines parallel to the minor axis that pass through the foci.
The first latus rectum is $$$ x = — \sqrt <5>$$$ .
The second latus rectum is $$$ x = \sqrt <5>$$$ .
The length of the latera recta is $$$ \frac<2 b^<2>>> = \frac<8> <3>$$$ .
The first directrix is $$$ x = h — \frac> = — \frac<9 \sqrt<5>> <5>$$$ .
The second directrix is $$$ x = h + \frac> = \frac<9 \sqrt<5>> <5>$$$ .
The x-intercepts can be found by setting $$$ y = 0 $$$ in the equation and solving for $$$ x $$$ (for steps, see intercepts calculator).
