Решить уравнение функции с параметром

Тригонометрические уравнения с параметром

Что такое «уравнение с параметром» и его решение – см. §32 справочника для 8 класса

п.1. Уравнения с функцией первого порядка и параметром

Уравнения вида \(F(g(x),a)=0\), где \(g(x)\) — некоторая линейная функция от тригонометрической функции, решаются аналогично линейным уравнениям с параметром.
Как решать линейные уравнения с параметром – см. Примеры 5-7, §7 справочника для 7 класса.

п.2. Уравнения с квадратичной функцией и параметром

Уравнения вида \(F(g(x),a)=0\), где \(g(x)\) — некоторая квадратичная функция от тригонометрической функции, решаются аналогично квадратичным уравнениям с параметром.
Как решать квадратичные уравнения с параметром – см. §32 справочника для 8 класса

Например:
Решим уравнение \( cos^4x-(a+2)cos^2x-(a+3)=0 \)
Замена: \(t=cos^2x,\ 0\leq t\leq 1\): \begin t^2-(a+2)t-(a+3)=0\\ D=(a+2)^2+4(a+3)=a^2+4a+4+4a+12=a^2+8a+16=(a+4)^2\\ t=\frac<(a+2)\pm(a+4)><2>= \left[ \begin -1\\ a+3 \end \right. \end Корень \(t_1=-1\lt 0\) не подходит по определению замены.
Второй корень \(t_2=a+3\) должен удовлетворять ограничениям: $$ 0\leq a+3\leq 1\Rightarrow -3\leq a\leq -2 $$ Возвращаемся к исходной переменной: \begin cos^2x=a+3\Rightarrow\frac<1+cos2x><2>=a+3\Rightarrow cos2x=2a+5\Rightarrow\\ \Rightarrow 2x=\pm arccos(2a+5)+2\pi k\Rightarrow x=\pm\frac12 arccos(2a+5)+\pi k \end Ответ:
При \(a\lt -3\cup a\gt -2\) решений нет, , \(x\in \varnothing\)
При \(-3\leq a\leq -2,\ x=\pm\frac12 arccos(2a+5)+\pi k \)

п.3. Другие уравнения с параметрами

При решении других тригонометрических уравнений с параметрами используются тригонометрические преобразования, замены переменных, переход от одного уравнения к системе (совокупности) уравнений и т.п.

п.4. Примеры

Пример 1. Решите уравнение: a) \( sin3x=asinx \)
Формула для тройного угла – см. §16 данного справочника.
\(sin3\alpha=3sin\alpha-4sin^3\alpha\)
Подставляем: \begin 3sinx-4sin^3x=a sinx\\ sinx(3-4sin^2x-a=0\\ \left[ \begin sinx=0\\ 3-4sin^2x-a=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\pi k\\ sin^2 x=\frac<3-a> <4>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\pi k\\ \frac<1-cos2x><2>=\frac<3-a> <4>\end \right. \Rightarrow \\ \Rightarrow \left[ \begin x=\pi k\\ cos2x=\frac <2>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\pi k\\ 2x=\pm arccos\frac<2>+2\pi k \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\pi k\\ x=\pm\frac12 arccos\frac<2>+\pi k \end \right. \end Первое семейство решений \(x=\pi k\) существует при любых \(a\).
Для второго семейства решений действует ограничение: \begin -1\leq\frac<2>\leq 1\Rightarrow -2\leq a-1\leq 2 \Rightarrow -1\leq a\leq 3 \end Ответ:
При \(a\lt -1\cup a\gt 3\) одно семейство решений \(x=\pi k\)
При \(-1\leq a\leq 3\) два семейства решений \( \left[ \begin x=\pi k\\ x=\pm\frac12 arccos\frac<2>+\pi k \end \right. \)

б) \( sin^2x-5cosx+a=0 \) \begin (1-cos^2x)-5cosx+a=0\\ cos^2x+5cosx-(a+1)=0 \end Замена: \(t=cosx,\ \ -1\leq t\leq 1\)
\(t^2+5t-(a+1)=0\)
\(f(t)=t^2+5t-(a+1)\) — это парабола ветками вверх с вершиной: \begin t_0=-\frac52=-2,5,\\ f(t_0)=t_0^2+5t_0-(a+1)=6,25-12,5-(a+1)=-6,25-(a+1) \end За счет параметра \(a\) парабола перемещается по вертикали вдоль оси \(t_0=-2,5\).
Интервал \(-1\leq t\leq 1\) лежит справа от оси, т.е. только одно решение квадратного уравнения попадает в этот интервал. Условие существования этого решения (пересечение оси абсцисс) – разные знаки функции на концах интервала: \begin f(-1)f(1)\leq 0\\ \left(1-5-(a+1)\right)\left(1+5-(a+1)\right)\leq 0\\ (a+5)(a-5)\leq 0\\ -5\leq a\leq 5 \end \(D=5^2+4(a+1)=4a+26\geq 0\Rightarrow a\geq -6,5\)
Условие \(-5\leq a\leq 5\) достаточно для существования решения, при нем \(D\gt 0\).
Получаем: \begin t=\frac<-5\pm\sqrt<4a+26>><2>\Rightarrow cosx=\frac<-5\pm\sqrt<4a+26>><2>\\ x=\pm arccos\left(\frac<-5\pm\sqrt<4a+26>><2>\right)+2\pi k \end Ответ:
При \(|a|\gt 5\) решений нет, \(x\in \varnothing\)
При \(|a|\leq 5,\ \ x=\pm arccos\left(\frac<-5\pm\sqrt<4a+26>><2>\right)+2\pi k \)

в) \( 2cos3x+4cos5x=a^2-4a+10 \)
Исследуем параболу \(f(a)=a^2-4a+10\)
\(D=16-40=-24\lt 0\) — парабола всегда положительна
Вершина: \(a_0=-\frac<-4><2>=2,\ f(a_0)=2^2-8+10=6\)
Таким образом, наименьшее значение функции \(f_=f(2)=6\).
Для суммы \(2cos⁡3x+4cos⁡5x\) значение 6 является наибольшим из возможных.
Получаем систему: \begin \begin 2cos3x+4cos5x=6\\ a^2-4a+10=6 \end \end Нижнее уравнение мы уже решили и получили \(a=2\).
Решаем верхнее уравнение для максимальных значений косинусов: \begin cos3x+2cos5x=3\Rightarrow \begin cos3x=1\\ cos5x=1 \end \Rightarrow \begin 3x=2\pi k\\ 5x=2\pi n \end \Rightarrow \begin x=\frac23\pi k\\ x=\frac25\pi n \end \\ \frac23\pi k=\frac25\pi n\Rightarrow\frac<3>=\frac<5>\Rightarrow k=3m,\ \ m\in\mathbb\Rightarrow x=\frac23\pi\cdot 3m=2\pi m \end
На чертеже видно, что сумма косинусов достигает максимального значения 6 через каждые \(2\pi,\) т.е. полный оборот.
Ответ:
При \(a\ne 2\) решений нет, \(x\in \varnothing\)
При \(a=2,\ x=2\pi k \)

г) \( asin^2x+cos^2x=0 \)
\(a(1-cos^2x)+cosx=0\)
\(acos^2x-cosx-a=0\)
Замена: \(t=cosx,\ -1\leq t\leq 1\)
\(at^2-t-a=0\)
При \(a=0\) квадратное уравнение вырождается в линейное, получаем: \begin cos x=0,\ \ x=\frac\pi2+\pi k \end При \(a\ne 0:\ D=1+4a^2,\ \ t_<1,2>=\frac<1\pm\sqrt<1+4a^2>><2a>\)
Рассмотрим модуль корня с плюсом: \begin |t_2|=\frac<1+\sqrt<1+4a^2>><2|a|>\gt\frac<1+2|a|><2|a|>\gt 1 \end Таким образом, этот корень не подходит.
Сравним модуль корня с минусом и единицу: \begin |t_1|=|\frac<1-\sqrt<1+4a^2>><2a>|=\frac<\sqrt<1+4a^2>-1><2|a|>\ ?\ 1\\ \sqrt<1+4a^2>-1\ ?\ 2|a|\\ \sqrt<1+4a^2>\ ?\ 2|a|+1\\ 1+4a^2\leq 4a^2+4|a|+1 \end Получаем, что \(|t_1|\leq 1\). Этот корень нам подходит. \begin cosx=\frac<1-\sqrt<1+4a^2>><2a>\\ x=\pm arccos\left(\frac<1-\sqrt<1+4a^2>><2a>\right)+2\pi k \end Ответ:
При \(a=0,\ x=\frac\pi2+\pi k\)
При \(a\ne0,\ x=\pm arccos\left(\frac<1-\sqrt<1+4a^2>><2a>\right)+2\pi k \)

Уравнения с параметрами.

Исследование и решение уравнений с параметрами считается не самым простым разделом школьной математики. Однако, параметр, как понятие, часто воспринимается школьниками гораздо более сложным, чем есть в действительности. Здесь в первом пункте представлены очень простые вводные примеры использования параметров в уравнениях. Те, для кого это понятие не составляет большой трудности, могут сразу перейти к решению задач, которые представлены ниже.

Что такое уравнение с параметром?

Допустим нам нужно решить уравнение 2х + 5 = 2 − x.
Решение: 2x + x = 2 − 5; 3x = −3; x = −3/3 = −1.

Теперь нужно решить уравнение 2x + 5 = 3 − x.
Решение: 2x + x = 3 − 5; 3x = −2; x = −2/3

Затем нужно решить уравнение 2x + 5 = 0,5 − x.
Решение: 2x + x = 0,5 − 5; 3x = −4,5; x = −4,5/3 = −1,5.

А потом может потребоваться решить уравнение 2x + 5 = 10,7 − x или уравнение 2x + 5 = −0,19 − x.
Понятно, что уравнения похожи, а потому их решение будет сопровождаться теми же действиями, что выше. Возникает естественный вопрос — сколько можно делать одно и то же?

Уменьшим себе трудозатраты. Заметим, что все эти уравнения отличаются только одним числом в правой части. Обозначим это число символом a .
Получим уравнение 2х + 5 = a − х,
где a — переменная величина, вместо которой можно подставить нужное числовое значение и получить нужное уравнение. Эта переменная и называется параметром.

Решим это уравнение так же, как и все предыдущие.
Решение: 2х + 5 = a − x; 2x + x = a − 5; 3x = a − 5; x = (a − 5)/3.

Теперь для того, чтобы найти ответы для двух последних примеров, мы можем не повторять полностью всё решение каждого уравнения, а просто подставить в полученную формулу для х числовое значение параметра а:
x = (10,7 − 5)/3 = 5,7/3 = 1,9;
x = (−0,19 − 5)/3 = −5,19/3 = −1,73.

Таким образом, под термином «уравнение с параметром», фактически, скрывается целое семейство «почти одинаковых уравнений» , которые отличаются друг от друга только одним числом (одним слагаемым или одним коэффициентом) и одинаково решаются. Параметр — это число, которое меняется от уравнения к уравнению.
Полученную формулу для корня уравнения мы можем запрограммировать на компьютере. Достаточно будет только ввести значение параметра a, чтобы получить решение любого такого уравнения.

Рассмотрим еще один пример.

Замечаем, что они похожи друг на друга и отличаются только первым коэффициентом. Обозначим его, например, символом k.
Решим уравнение kх + 5 = 2 − x с параметром k.

С помощью этой формулы вычислим все ответы для приведенных уравнений.
x = −3/(2 + 1) = −1
x = −3/(3 + 1) = −0,75
x = −3/(−4 + 1) = 1
x = −3/(17 + 1) = −1/6

Можем ли мы теперь запрограммировать эту формулу и сказать, что с её помощью можно решить любое аналогичное уравнение?
Запрограммировать можем. Компьютер справится как с очень большими значениями коэффициента, так и с очень маленькими.
Например, если введём k = 945739721, то для уравнения заданного вида будет получен корень примерно равный −0,0000000031721201195353831188, если k = 0,0000004, то получим корень ≈ −2,9999988000004799998080000768.
Но, если мы введем в программу, казалось бы, более простое значение k = −1, то компьютер зависнет.
Почему?

Посмотрим внимательнее на формулу x = −3/(−1 + 1) = −3/0. Деление на ноль.
Посмотрим на соответствующее уравнение −1·х + 5 = 2 − x.
Преобразуем его −х + x = 2 − 5.
Оказывается, оно равносильно уравнению 0 = −3 (. ) и не может иметь корней.
Таким образом, из общего подхода к решению «почти одинаковых уравнений» могут существовать исключения, о которых нужно позаботиться отдельно. Т.е. провести предварительное исследование всего семейства уравнений. Именно этому и учатся на уроках математики с помощью так называемых задач с параметрами.

Графические способы решения уравнений

Сначала вспомним, что представляет собой графический способ решения обычного уравнения (без параметра).
Пусть дано уравнение вида f(x) = g(x) . Построим графики функций y = f(x) и y = g(x) и найдём точки пересечения этих графиков. Абсциссы точек пересечения и есть корни уравнения.

Для быстрого построения эскизов графиков повторите еще раз графики элементарных функций, которые изучаются в школьном курсе математики, и правила преобразования графиков функций.

Рассмотрим примеры.

1. Решить уравнение
2х + 5 = 2 − x

Ответ: x = −1.

2. Решить уравнение
2х 2 + 4х − 1 = 2х + 3

3. Решить уравнение
log₂х = −0,5х + 4

Ответ: x = 2.

Первые два из приведенных уравнений вы можете решить и аналитически, так как это обычные линейное и квадратное уравнения. Второе уравнение содержит функции разных классов — степенную (здесь линейную) и трансцендентную (здесь логарифмическую). Для таких случаев выбор способов решения у школьников очень ограничен. Фактически, единственным доступным способом является именно графическое решение.

Внимание: Для корней, найденных графическим способом, обязательна проверка! Вы уверены, что на третьем рисунке пересечение именно в точке х = 4 , а не в точке 3,9 или 4,1? А если на реальном экзамене у вас нет возможности построить график достаточно точно? На чертеже «от руки» разброс может быть еще больше. Поэтому алгоритм действий должен быть следующим:

1. Предварительный вывод: х ≈ 4.
2. Проверка: log₂4 = −0,5·4 + 4; 2 = −2 + 4; 2 ≡ 2.
3. Окончательный вывод х = 4.

Чтобы графически решать уравнения с параметрами надо строить не отдельные графики, а их семейства.

Решение уравнений с параметрами с помощью графиков.

Задача 1.

Найти все значения параметра q при которых уравнение |x + 1| − |x − 3| − x = q 2 − 8q + 13 имеет ровно 2 корня.

При каждом значении параметра q можно вычислить значение выражения q 2 − 8q + 13 . Результат обозначим переменной а.
Т.е. примем q 2 − 8q + 13 = a и решим уравнение с параметром |x + 1| − |x − 3| − x = a

Строим график функции y = |x + 1| − |x − 3| − x , расположенной в левой части уравнения.
Для этого разобьём числовую ось на отрезки точками, в которых каждый из встречающихся модулей принимает нулевое значение.

Для каждого из этих участков раскроем модули с учётом знаков.
Вспомним: по определению |x| = x, если х ≥ 0, и |x| = −x, если х Чтобы проверить знаки модулей на участке достаточно подставить любое промежуточное значение x из этого отрезка, например, −2, 0 и 4.

Таким образом на участке I, где −∞ имеем −(x + 1) + (x − 3) − x = − x − 4.
Следовательно, должны построить график функции y = − x − 4 .
Это линейная функция. Её график прямая линия, которую можно построить по двум точкам, например, x = 0, y = −4 и у = 0, x = −4. Cтроим всю прямую бледной линией, а затем выделяем часть графика, относящуюся только к рассматриваемому участку.

Аналогично, разбираемся с оставшимися двумя участками.

На участке II, где −1 имеем (x + 1) + (x − 3) − x = x − 2
и должны построить соответствующую часть графика функции y = x − 2 .

На участке III, где 3 , имеем (x + 1) − (x − 3) − x = − x + 4
и должны построить соответствующую часть графика функции y = − x + 4 .

Последовательное построение итогового графика показано ниже. (Чтобы увеличить рисунок, нужно щелкнуть по нему левой кнопкой мыши.)

Замечание: если вы освоили тему Преобразование графиков функций, то с этой частью задачи сможете справиться быстрее, чем показано в примере.

Итак, построение графика функции, расположенной в левой части уравнения, мы завершили. Посмотрим, что находится в правой части.

График функции y = a представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс (Ox), и пересекающую ось ординат (Oy) в точке а. Так как а — параметр, который может принимать разные значения, то нужно построить целое семейство таких параллельных линий, пересекающих ось ординат на разной высоте. Очевидно, что все графики семейства построить мы не сможем, поскольку их бесконечное множество. Изобразим для примера несколько штук в районе уже построенного графика функции. Ниже прямые семейства y = a показаны красным цветом.

Из рисунка видно, что количество точек пересечения каждой из красных прямых с ранее построенным (зелёным) графиком зависит от высоты, на которой расположена эта прямая, т.е. от параметра а. Прямые, расположенные ниже y = −3 , пересекают график в одной точке, а значит эти уравнения имеют только одно решение. Прямые, проходящие на уровне −3 имеют по три точки пересечения, значит соответствующие уравнения будут иметь по три решения. Прямые, расположенные выше точки y = 1 , снова имеют только по одной точке пересечения.
Ровно две точки пересечения с зелёным графиком будут иметь только прямые y = 1 и y = −3 . Соответствующие уравнения будут иметь ровно два корня, что и требовалось определить в задании.

Однако мы нашли значения введённого нами параметра а, при котором заданное уравнение имеет 2 корня, а вопрос задачи состоял в том, чтобы найти все значения параметра q. Для этого придётся решить следующую совокупность уравнений:

Это обычные квадратные уравнения, которые решаются через дискриминант или по теореме Виета.

Таким образом, окончательный ответ: <2;4;6>.

Задача 2.

Найти все значения параметра a, при которых уравнение (2 − x)x(x − 4) = a имеет ровно 3 корня.

Рассмотрим функцию y = (2 − x)x(x − 4) . Видно, что если раскрыть скобки, то старший член будет −х 3 . Т.е. графиком функции должна быть кубическая парабола, причем на при x, стремящемcя к +∞, y → −∞, а при x, стремящемся к −∞, y → +∞.
Поскольку уравнение (2 − x)x(x − 4) = 0 имеет три корня 2, 0 и 4, то график функции будет пересекать ось абсцисс трижды.
Понятно, что при упомянутых условиях график непрерывной функции должен иметь участок с «волной». Строим от руки эскиз графика.

Правая часть уравнения y = a такая же, как в предыдущей задаче. Поэтому дальнейшие построения не требуют комментариев. Смотрите рисунки. Чтобы увеличить, используйте щелчок мышью.

Из рисунков видно, что прямые, отделяющие линии с тремя точками пересечения от других случаев, проходят через экстремумы кубической функции. Поэтому определяем значения y_max и y_min через производную. (Исследовать функцию полностью не нужно, так как примерное положение точек экстремума мы видим на эскизе графика.) Обратите внимание на то, что при вычислении значений функции используются точные значения x и формулы сокращенного умножения. Приближенные значения в промежуточных вычислениях не используют.

Ответ:

Задача для самостоятельного решения

Задача 3.

При каком наибольшем отрицательном значении параметра а уравнение имеет один корень?

Ответ: -1,625

Задача реального экзамена ЗНО-2013 (http://www.osvita.ua/).

Переход на главную страницу сайта «Математичка».

Есть вопросы? пожелания? замечания?
Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.

Графический метод в задачах с параметром

Данный метод используется не только в задачах с параметром, но и для решения обыкновенных уравнений, систем уравнений или неравенств. Он входит в стандартный курс школьной программы и наверняка вы с ним сталкивались, но в несколько упрощенном варианте. Сначала я кратко напомню, в чем заключается этот метод. Затем разберем, как его применять для решения задач с параметром, и рассмотрим несколько типовых примеров.

Для начала рассмотрим уравнение с одной переменной \(f(x)=0\). Для того, чтобы решить его графическим методом, нужно построить график функции \(y=f(x)\). Точки пересечения графика с осью абсцисс (ось \(х\)) и будут решениями нашего уравнения.

Или рассмотрим уравнение \(f(x)=g(x)\). Точно так же строим на одной координатной плоскости графики функций \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\), абсциссы точек их пересечения будут решениями уравнения.

Стоит отдельно отметить, что для решения графическим методом необходимо выполнять очень качественный и точный рисунок.

Решить графическим методом уравнение \(x^2+3x=5x+3\).

Решение: Построим на одной координатной плоскости графики функций \(y=x^2+3x\) и \(y=5x+3\). См. рис.1.

\(y=5x+3\) – красный график; \(y=x^2+3x\) – синий график.

Из Рис.1 видно, что графики пересекаются в точках \((-1;2)\) и \((3;18)\). Таким образом, решением нашего уравнения будут: \(_<1>=-1; _<2>=3\).

Теперь рассмотрим уравнение с двумя переменными \(f(x,y)=0\). Решением этого уравнения будет множество пар точек \((x,y)\), которые можно изобразить в виде графика на координатной плоскости \((xOy)\). Если решать это уравнение аналитически, то, как правило, мы выражаем одну переменную через другую \((x,y=f(x))\) или \((x=f(y),y)\).

В качестве примера рассмотрим обыкновенное линейное уравнение \(2x-5y=10\). (1) Выражаем \(x=\frac<10+5y><2>\) – это называется общим решением уравнения. Изобразим его на координатной плоскости, построив график (Рис. 2):