Решить треугольник Онлайн по координатам
1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;
2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;
2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;
3) внутренние углы по теореме косинусов;
4) площадь треугольника;
5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;
10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.
Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).
Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.
A ( ; ), B ( ; ), C ( ; ) | Примечание: дробные числа записывайте Округлять до -го знака после запятой. Высота треугольника онлайнС помощю этого онлайн калькулятора можно найти высоту треугольника. Для нахождения высоты треугольника введите известные элементы треугольника и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.
Высота треугольника. ОпределениеОпределение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника. Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)). Теорема о пересечении высот треугольникаТеорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты \( \small AA_1 ,\) \( \small BB_1 ,\) \( \small CC_1 \) пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник \( \small A_2B_2C_2. \) Покажем, что точки \( \small A, \ B, \ C \) являются серединами сторон треугольника \( \small A_2B_2C_2. \) \( \small AB=A_2C \) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма \( \small ABA_2C. \) \( \small AB=CB_2 \) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма \( \small ABCB_2. \) Тогда \( \small CB_2=CA_2, \) то есть точка \( \small C \) является серединой стороны \( \small A_2B_2 \) треугольника \( \small A_2B_2C_2. \) Аналогично доказывается, что точки \( \small A \) и \( \small B \) являются серединами сторон \( \small B_2C_2 \) и \( \small A_2C_2, \) соответственно. Далее из \( \small AA_1⊥BC \) следует, что \( \small AA_1⊥B_2C_2 \) поскольку \( \small BC \ ǁ \ B_2C_2 \). Аналогично, \( \small BB_1⊥A_2C_2, \) \( \small CC_1⊥A_2B_2. \) Получили, что \( \small AA_1,\) \( \small BB_1, \) \( \small CC_1\) являются серединными перпендикулярами сторон \( \small B_2C_2, \) \( \small A_2C_2, \) \( \small A_2B_2, \) соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром. Высота треугольника по основанию и площадиПусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5). Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:
Пример 1. Сторона треугольника равна \( \small a=5 \) а площадь \( \small S=7. \) Найти высоту треугольника. Применим формулу (1). Подставляя значения \( \small a \) и \( \small S \) в (1), получим: Ответ: Высота треугольника по трем сторонамФормула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):
где \( \small a, \ b, \ c \) стороны треугольника а полупериод \( \small p \) вычисляется из формулы:
Высота треугольника, отпущенная на сторону \( \small a\) вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:
Пример 2. Известны стороны треугольника: \( \small a=5, \) \( \small b= 4, \) \( \small c=7. \) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону \( \small a. \) Решение: Найдем, сначала полупериод \( \small p \) треугольника из формулы (3): Подставляя значения \( \small a , \ b, \ c \) и \( \small p \) в (4), получим: Ответ: Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружностиРассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:
Далее, из теоремы синусов имеем:
Подставляя (6) в (7), получим:
Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:
Решение: Проверим сначала условие (9):
Высота треугольника по стороне и прилежащему к ней углуНайдем высоту \( \small h_a \) треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:
Пример 4. Известны сторона \( \small c=12 \) треугольника и прилежащий угол \( \small \angle B=30°. \) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону \( \small a. \) Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения \( \small c=12 \) и \( \small \angle B=30° \) в (11). Имеем: Длину высоты треугольника cdРешить треугольник Онлайн по координатам1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис; 2) система линейных неравенств, определяющих треугольник; 2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам; 3) внутренние углы по теореме косинусов; 4) площадь треугольника; 5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами; 10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения. Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer). Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
A ( ; ), B ( ; ), C ( ; ) |
Открыть онлайн калькулятор |
Высота треугольника. Определение
Определение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.
Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)).
Теорема о пересечении высот треугольника
Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты \( \small AA_1 ,\) \( \small BB_1 ,\) \( \small CC_1 \) пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник \( \small A_2B_2C_2. \) Покажем, что точки \( \small A, \ B, \ C \) являются серединами сторон треугольника \( \small A_2B_2C_2. \) \( \small AB=A_2C \) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма \( \small ABA_2C. \) \( \small AB=CB_2 \) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма \( \small ABCB_2. \) Тогда \( \small CB_2=CA_2, \) то есть точка \( \small C \) является серединой стороны \( \small A_2B_2 \) треугольника \( \small A_2B_2C_2. \) Аналогично доказывается, что точки \( \small A \) и \( \small B \) являются серединами сторон \( \small B_2C_2 \) и \( \small A_2C_2, \) соответственно.
Далее из \( \small AA_1⊥BC \) следует, что \( \small AA_1⊥B_2C_2 \) поскольку \( \small BC \ ǁ \ B_2C_2 \). Аналогично, \( \small BB_1⊥A_2C_2, \) \( \small CC_1⊥A_2B_2. \) Получили, что \( \small AA_1,\) \( \small BB_1, \) \( \small CC_1\) являются серединными перпендикулярами сторон \( \small B_2C_2, \) \( \small A_2C_2, \) \( \small A_2B_2, \) соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.
Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.
Высота треугольника по основанию и площади
Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).
Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:
. |
. | (1) |
Пример 1. Сторона треугольника равна \( \small a=5 \) а площадь \( \small S=7. \) Найти высоту треугольника.
Применим формулу (1). Подставляя значения \( \small a \) и \( \small S \) в (1), получим:
Ответ:
Высота треугольника по трем сторонам
Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):
(2) |
где \( \small a, \ b, \ c \) стороны треугольника а полупериод \( \small p \) вычисляется из формулы:
(3) |
Высота треугольника, отпущенная на сторону \( \small a\) вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:
. | (4) |
Пример 2. Известны стороны треугольника: \( \small a=5, \) \( \small b= 4, \) \( \small c=7. \) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону \( \small a. \)
Решение: Найдем, сначала полупериод \( \small p \) треугольника из формулы (3):
Подставляя значения \( \small a , \ b, \ c \) и \( \small p \) в (4), получим:
Ответ:
Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности
Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:
(5) |
(6) |
Далее, из теоремы синусов имеем:
(7) |
Подставляя (6) в (7), получим:
(8) |
Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:
\(\small \max (b,c) ≤2R Пример 3. Известны стороны треугольника: \( \small b=7, \) \( \small c= 3 \) и радиус описанной окружности \( \small R=4. \) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону \( \small a. \) |
Решение: Проверим сначала условие (9):
\(\small \max (7,3) ≤2 \cdot 4 Ответ: \( \small 2\frac . \) |
Высота треугольника по стороне и прилежащему к ней углу
Найдем высоту \( \small h_a \) треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:
\( \small \frac =\frac , \) |
\( \small h_a=c \cdot \sin \angle B. \) | (11) |
Пример 4. Известны сторона \( \small c=12 \) треугольника и прилежащий угол \( \small \angle B=30°. \) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону \( \small a. \)
Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения \( \small c=12 \) и \( \small \angle B=30° \) в (11). Имеем:
http://matworld.ru/geometry/vysota-treugolnika.php
http://b4.cooksy.ru/articles/dlinu-vysoty-treugolnika-cd