Решить уравнение и указать корни принадлежащие

Как решать задание 13

О чем задача?

Задачи на решение тригонометрических уравнений, более сложных, чем в задании 5. В большинстве задач требуется не только решить уравнение, но и отобрать корни, принадлежащие определенному отрезку.

Как решать?

Шаг 1. Найдите область определения

Шаг 2. Приведите уравнение к виду простейших тригонометрических уравнений

Для того чтобы привести уравнение к виду простейших тригонометрических уравнений, применяйте следующие стандартные приемы:

Мы свели исходное уравнение к совокупности простейших тригонометрических уравнений [ cos x = − 1 , cos x = − 1 2 . \left[\begin \cos x = -1 <,>\\\cos x = -\frac<1> <2><.>\end\right. [ cos x = − 1 , cos x = − 2 1 ​ . ​

Шаг 3. Решите простейшие тригонометрические уравнения

О решении простейших тригонометрических уравнений читайте в отдельной статье .

Убедитесь, что найденные вами корни принадлежат области определения уравнения.

Остается решить уравнение cos x = − 1 2 \cos x =-\frac<1> <2>cos x = − 2 1 ​ .

Шаг 4. Выберите корни, принадлежащие отрезку, данному в условии

Корни, принадлежащие данному в условии отрезку, можно найти либо методом перебора, либо путем решения неравенства относительно k k k .

Найдем подходящие корни методом перебора. Для этого рассмотрим две серии корней по отдельности.

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение тригонометрических уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите тригонометрическое уравнение
Решить уравнение

Немного теории.

Тригонометрические уравнения

Уравнение cos(х) = а

Из определения косинуса следует, что \( -1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.

Уравнение cos x = а, где \( |a| \leqslant 1 \), имеет на отрезке \( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если a

Уравнение sin(х) = а

Из определения синуса следует, что \( -1 \leqslant \sin \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.

Уравнение sin х = а, где \( |a| \leqslant 1 \), на отрезке \( \left[ -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right] \) имеет только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если а

Уравнение tg(х) = а

Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.

Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале \( \left( -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right) \) только один корень. Если \( |a| \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right) \); если а

Решение тригонометрических уравнений

Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Решить уравнение 2 cos 2 (х) — 5 sin(х) + 1 = 0

Заменяя cos 2 (х) на 1 — sin 2 (х), получаем
2 (1 — sin 2 (х)) — 5 sin(х) + 1 = 0, или
2 sin 2 (х) + 5 sin(х) — 3 = 0.
Обозначая sin(х) = у, получаем 2у 2 + 5y — 3 = 0, откуда y₁ = -3, y₂ = 0,5
1) sin(х) = — 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin(х) = 0,5; \( x = (-1)^n \text(0,5) + \pi n = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb \)
Ответ \( x = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb \)

Решить уравнение 2 cos 2 (6х) + 8 sin(3х) cos(3x) — 4 = 0

Используя формулы
sin 2 (6x) + cos 2 (6x) = 1, sin(6х) = 2 sin(3x) cos(3x)
преобразуем уравнение:
3 (1 — sin 2 (6х)) + 4 sin(6х) — 4 = 0 => 3 sin 2 (6х) — 4 sin(6x) + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y 2 — 4y +1 =0, откуда y₁ = 1, y₂ = 1/3

Уравнение вида a sin(x) + b cos(x) = c

Решить уравнение 2 sin(x) + cos(x) — 2 = 0

Используя формулы \( \sin(x) = 2\sin\frac <2>\cos\frac<2>, \; \cos(x) = \cos^2 \frac <2>-\sin^2 \frac <2>\) и записывая правую часть уравпения в виде \( 2 = 2 \cdot 1 = 2 \left( \sin^2 \frac <2>+ \cos^2 \frac <2>\right) \) получаем

Поделив это уравнение на \( \cos^2 \frac <2>\) получим равносильное уравнение \( 3 \text^2\frac <2>— 4 \text\frac <2>+1 = 0 \)
Обозначая \( \text\frac <2>= y \) получаем уравнение 3y 2 — 4y + 1 = 0, откуда y₁=1, y₁= 1/3

В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях \( a \neq 0, \; b \neq 0, \; c \neq 0, \; c^2 \leqslant b^2+c^2 \) можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на \( \sqrt \):

Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5

Здесь a = 4, b = 3, \( \sqrt = 5 \). Поделим обе части уравнения на 5:

Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.

Решить уравнение sin(2х) — sin(x) = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin(x) cos(x) — sin(x) = 0. Вынося общий множитель sin(x) за скобки, получаем sin(x) (2 cos x — 1) = 0

Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x)
cos(2х) = cos (3х — х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0

Решить уравнение 6 sin 2 (x) + 2 sin 2 (2x) = 5
Выразим sin 2 (x) через cos(2x)
Так как cos(2x) = cos 2 (x) — sin 2 (x), то
cos(2x) = 1 — sin 2 (x) — sin 2 (x), cos(2x) = 1 — 2 sin 2 (x), откуда
sin 2 (x) = 1/2 (1 — cos(2x))
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 — cos(2x)) + 2 (1 — cos 2 (2х)) = 5
2 cos 2 (2х) + 3 cos(2х) = 0
cos(2х) (2 cos(2x) + 3) = 0

Путеводитель по задачам С1

Список всех тригонометрических задач (С1), разобранных на сайте (список пополняется)

!!Смотрите также сборник заданий С1 ЕГЭ по математике !!

Смешное видео по теме

-11. (Реальный ЕГЭ, 2021)

а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

-10. (Реальный ЕГЭ, 2021)

а) Решите уравнение

б) Найдите его корни на промежутке Решение

-9. ( Демо ЕГЭ, 2020)

a) Решите уравнение
б) Найдите его корни на промежутке . Видеорешение

-8. (Реальный ЕГЭ, 2019)

a) Решите уравнение
б) Найдите его корни на промежутке . Решение

-7. (Реальный ЕГЭ, 2019)

a) Решите уравнение
б) Найдите его корни на промежутке . Решение

-6. (Реальный ЕГЭ, 2018)

a) Решите уравнение
б) Найдите его корни на промежутке . Решение

-5. (Досрочный резервный ЕГЭ, 2018)

a) Решите уравнение
б) Найдите его корни на промежутке . Решение

-4. (Досрочный ЕГЭ, 2018)

a) Решите уравнение
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку . Решение

-3. (Резервный ЕГЭ, 2017)

а) Решите уравнение

б) Найдите корни уравнения из отрезка Решение

-2. (Реальный ЕГЭ, 2017)

а) Решите уравнение

б) Найдите корни уравнения из отрезка Решение

-1. (Реальный ЕГЭ, 2017)

а) Решите уравнение

б) Найдите корни уравнения из отрезка Решение

0. (Досрочн. ЕГЭ, 2017)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

1. (Резервн. ЕГЭ, 2016)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

2. (ЕГЭ, 2016)

а) Решите уравнение:

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

3. (Т/Р, апрель 2016)

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

4. (Досрочн. ЕГЭ, 2016)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

5. (ЕГЭ, 2015)

а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Решение

6. (Диагностическая, 2015)

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку Решение

7. (ДЕМО, 2014)

a) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку . Решение

8. (Диагностическая, 2014)

a) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

9. (Диагностическая, 2013)

a) Решите уравнение:

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

10. (Диагностическая, 2013)

а)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-1; 2]. Решение

11. (ЕГЭ, 2013)

a) Решить уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

12. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

13. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

14. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

15. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

16. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

17. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку Решение

18. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу Решение

19. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу Решение

20. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

21. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

22. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку Решение

23. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку Решение

24. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку Решение

25. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку Решение

26. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку Решение

27. (Т/Р А. Ларина)

Найдите все корни уравнения удовлетворяющие неравенству Решение

28. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку Решение

29. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку Решение

30. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку Решение

31. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие интервалу Решение

32. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку Решение

33. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку Решение

34. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите его корни из отрезка Решение

35. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

36. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Решение

37. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

38. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Найдите его корни на отрезке Решение

39. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Найдите его корни на отрезке Решение

40. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Найдите его корни, принадлежащие промежутку Решение

41. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Найдите его корни, принадлежащие промежутку Решение

42. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение .
б) Найдите его корни, принадлежащие промежутку Решение

43. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку Решение

44. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение .

б) Найдите его корни, принадлежащие промежутку Решение

45. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

46. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Решение

47. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

48. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу Решение

49. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

50. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

51. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку Решение

52. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку Решение

53. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

54. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку Решение

55. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку Решение

56. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите его корни из интервала Решение

57. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите его корни, принадлежащие интервалу Решение

58. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение .

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку Решение

59. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение .

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку Решение

60. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Найдите все корни на промежутке Решение

61. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку Решение

62. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие интервалу Решение

63. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу Решение

64. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни уравнения на отрезке Решение

65. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение
б) Найдите все корни уравнения на отрезке [− 3;2]. Решение

66. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни на промежутке (0; 5). Решение

67. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение
б) Найдите все корни на промежутке . Решение

68. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни на промежутке Решение

69. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение ,
б) Найдите все корни на промежутке . Решение

70. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку . Решение

71. (Т/Р А. Ларина)

Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку . Решение

72. (Т/Р А. Ларина)

Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка . Решение

73. (Т/Р А. Ларина)

Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка . Решение

74. (Т/Р А. Ларина)

Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из интервала . Решение

75. (Т/Р А. Ларина)

Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка . Решение

76. (Т/Р А. Ларина)

Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка . Решение

77. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка . Решение

78. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка . Решение

79. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка . Решение

80. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка . Решение

81. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите наибольший отрицательный корень. Решение

82. (Т/Р, 2017) а) Решите уравнение

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку Решение

83. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите решения, принадлежащие промежутку . Решение

84. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите натуральное число такое, что где – корень уравнения. Решение

85. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

86. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

87. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

88. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

89. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

90. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

91. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

92. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

93. (Т/Р А. Ларина)

Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

94. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

95. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

96. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

97. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

98. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

99. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

100. (Т/Р 283 А. Ларина) a) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение