Решить уравнение используя формулу 2

Решить уравнение используя формулу 2

Решение:

а) 3х 2 — 14х + 16 = 0; D = 14₂ — 4 • 3 • 16 = 196 — 192 = 4; x = (14±2)/6; x₁ = 2; x₂ = 16/6 = 2 2/3;
б) 5х 2 — 16х + 3= 0; D = 16 2 — 4 • 5 • 3 = 256 — 60 = 196; x = (16±14)/10; x₁ = 0,2; x₂ = 3;
в) х 2 + 2х — 80 = 0; D = 4 + 4 • 80 = 4 + 320 = 324; x = (-2±18)/2 = -1 ± 9; x₁ = -10; x₂ = 8;
г) х 2 — 22x — 23 = 0; D = 22 2 + 4 • 23 = 4844 — 92 = 576; x = (22±24)/2; x₁ = -1; x₂ = 23;
д) 4х 2 — 36x + 77 = 0; D = 36 2 — 4 • 4 • 77 = 1296 — 1232 = 64; x = (36±8)/8; x₁ = 3,5; x₂ = 5,5;
е) 15у 2 — 22у -37 = 0; D = 22 2 + 4 • 15 • 37 = 484 + 2220 = 2704; x = (22±52)/30; x₁ = -1; x₂ = 74/30 = 2 7/15;
ж) 7z 2 — 20z + 14 = 0; D = 20 2 — 4 • 7 • 14 = 400 — 392 = 8; z = (20±√8)/2•7 = (10±√2)/7;
з) у 2 — 10y — 25 = 0; D = 10 2 + 4 • 25 = 200; D = (10±√200)/2 = 5 ± 5√2.

Макарычев Миндюк Нешков Суворова алгебра 8 класс гдз

Решите уравнение, и ьзуя формулу (II):
а) 3х 2 — 14х + 16 = 0; б) 5 х 2 — 16х + 3= 0;
в) х 2 + 2х — 80 = 0; г) х 2 — 22x — 23 = 0;
д) 4 х 2 — 36x + 77 = 0; е) 15у 2 — 22у -37 = 0;
ж) 7z 2 — 20z + 14 = 0; з) у 2 — 10y — 25 = 0.

а) 3 х 2 — 14х + 16 = 0; D = 14₂ — 4 • 3 • 16 = 196 — 192 = 4; x = (14±2)/6; x₁ = 2; x₂ = 16/6 = 2 2/3;
б) 5 х 2 — 16х + 3= 0; D = 16 2 — 4 • 5 • 3 = 256 — 60 = 196; x = (16±14)/10; x ₁ = 0,2; x ₂ = 3;
в) х 2 + 2х — 80 = 0; D = 4 + 4 • 80 = 4 + 320 = 324; x = (-2±18)/2 = -1 ± 9; x ₁ = -10; x ₂ = 8;
г) х 2 — 22x — 23 = 0; D = 22 2 + 4 • 23 = 4844 — 92 = 576; x = (22±24)/2; x ₁ = -1; x ₂ = 23;
д) 4 х 2 — 36x + 77 = 0; D = 36 2 — 4 • 4 • 77 = 1296 — 1232 = 64; x = (36±8)/8; x ₁ = 3,5; x ₂ = 5,5;
е) 15у 2 — 22у -37 = 0; D = 22 2 + 4 • 15 • 37 = 484 + 2220 = 2704; x = (22±52)/30; x ₁ = -1; x ₂ = 74/30 = 2 7/15;
ж) 7z 2 — 20z + 14 = 0; D = 20 2 — 4 • 7 • 14 = 400 — 392 = 8; z = (20±√8)/2•7 = (10±√2)/7;
з) у 2 — 10y — 25 = 0; D = 10 2 + 4 • 25 = 200; D = (10±√200)/2 = 5 ± 5√2.

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение квадратного уравнения.

С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение.

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
— с помощью дискриминанта
— с помощью теоремы Виета (если возможно).

Причём, ответ выводится точный, а не приближенный.
Например, для уравнения \(81x^2-16x-1=0\) ответ выводится в такой форме:

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 — 5&6/5z +1/7z^2
Результат: \( 3\frac<1> <3>— 5\frac<6> <5>z + \frac<1><7>z^2 \)

При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Немного теории.

Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения

Каждое из уравнений
\( -x^2+6x+1<,>4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac<4><9>=0 \)
имеет вид
\( ax^2+bx+c=0, \)
где x — переменная, a, b и c — числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения называют квадратными уравнениями.

Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, причём \( a \neq 0 \).

Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число c — свободным членом.

В каждом из уравнений вида ax 2 +bx+c=0, где \( a \neq 0 \), наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
\( x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Если в квадратном уравнении ax 2 +bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 — неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax 2 +c=0, где \( c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, где \( b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +c=0 при \( c \neq 0 \) переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a:
\( x^2 = -\frac \Rightarrow x_ <1,2>= \pm \sqrt< -\frac> \)

Так как \( c \neq 0 \), то \( -\frac \neq 0 \)

Значит, неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0 при \( b \neq 0 \) всегда имеет два корня.

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0 равносильно уравнению x 2 =0 и поэтому имеет единственный корень 0.

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.

Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0

Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
\( x^2+\fracx +\frac=0 \)

Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
\( x^2+2x \cdot \frac<2a>+\left( \frac<2a>\right)^2- \left( \frac<2a>\right)^2 + \frac = 0 \Rightarrow \)

Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» по латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
\( D = b^2-4ac \)

Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
\( x_ <1,2>= \frac < -b \pm \sqrt> <2a>\), где \( D= b^2-4ac \)

Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень \( x=-\frac <2a>\).
3) Если D 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D

Теорема Виета

Приведённое квадратное уравнение ax 2 -7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x₁ и x₂ приведённого квадратного уравнения x 2 +px+q=0 обладают свойством:
\( \left\< \begin x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end \right. \)