Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение показательных уравнений.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить показательное уравнение. Программа для решения показательного уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите показательное уравнение
Решить уравнение
Немного теории.
Показательная функция, её свойства и график
Напомним основные свойства степени. Пусть а > 0, b > 0, n, m — любые действительные числа. Тогда
1) a n a m = a n+m
4) (ab) n = a n b n
7) a n > 1, если a > 1, n > 0
8) a n m , если a > 1, n n > a m , если 0 x , где a — заданное положительное число, x — переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.
Определение. Показательной функцией называется функция вида y = a x , где а — заданное число, a > 0, \( a \neq 1\)
Показательная функция обладает следующими свойствами
1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень a x где a > 0, определена для всех действительных чисел x.
2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a x = b, где а > 0, \( a \neq 1\), не имеет корней, если \( b \leqslant 0\), и имеет корень при любом b > 0.
3) Показательная функция у = a x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 x при a > 0 и при 0 x при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх.
Если х x при a > 0.
Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.
График функции у = a x при 0 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.
Если х
Показательные уравнения
Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a x = a b где а > 0, \( a \neq 1\), х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, \( a \neq 1\) равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
Решить уравнение 2 3x • 3 x = 576
Так как 2 3x = (2 3 ) x = 8 x , 576 = 24 2 , то уравнение можно записать в виде 8 x • 3 x = 24 2 , или в виде 24 x = 24 2 , откуда х = 2.
Ответ х = 2
Решить уравнение 3 х + 1 — 2 • 3 x — 2 = 25
Вынося в левой части за скобки общий множитель 3 х — 2 , получаем 3 х — 2 (3 3 — 2) = 25, 3 х — 2 • 25 = 25,
откуда 3 х — 2 = 1, x — 2 = 0, x = 2
Ответ х = 2
Решить уравнение 3 х = 7 х
Так как \( 7^x \neq 0 \) , то уравнение можно записать в виде \( \frac<3^x> <7^x>= 1 \), откуда \( \left( \frac<3> <7>\right) ^x = 1 \), х = 0
Ответ х = 0
Решить уравнение 9 х — 4 • 3 х — 45 = 0
Заменой 3 х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t 2 — 4t — 45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: t1 = 9, t2 = -5, откуда 3 х = 9, 3 х = -5.
Уравнение 3 х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3 х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
Ответ х = 2
Решить уравнение 3 • 2 х + 1 + 2 • 5 x — 2 = 5 х + 2 х — 2
Запишем уравнение в виде
3 • 2 х + 1 — 2 x — 2 = 5 х — 2 • 5 х — 2 , откуда
2 х — 2 (3 • 2 3 — 1) = 5 х — 2 ( 5 2 — 2 )
2 х — 2 • 23 = 5 х — 2 • 23
\( \left( \frac<2> <5>\right) ^
x — 2 = 0
Ответ х = 2
Решить уравнение 3 |х — 1| = 3 |х + 3|
Так как 3 > 0, \( 3 \neq 1\), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х — 1) 2 = (х + 3) 2 , откуда
х 2 — 2х + 1 = х 2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
Ответ х = -1
Уравнения с одной переменной
Уравнением с одной переменной — это равенство, содержащее только одну переменную. Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.
Содержание:
Определение уравнения. Корни уравнения
Равенство с переменной f(x) = g (х) называют уравнением с одной переменной х, если поставлена задача найти все те же значения х, при которых равенство с переменной обращается в верное числовое равенство. Всякое значение переменной, при котором выражения /(х) и g(x) принимают равные числовые значения, называют корнем уравнения.
Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Пример 1.
Уравнение 3 + х = 7 имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной равенство 3 + х = 7 является верным.
Пример 2.
Уравнение (х — 1)(х — 2) = 0 имеет два корня: 1 и 2.
Пример 3.
Уравнение 
не имеет действительных корней.
Заметим, что можно говорить и о мнимых корнях уравнений. Так, уравнение 
имеет два мнимых корня: 
(см. п. 47). Всюду ниже речь идет только о действительных корнях уравнений.
Равносильность уравнений
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.
Например, уравнения х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень — число 3. Равносильны и уравнения 
— ни одно из них не имеет корней.
Уравнения 
неравносильны, так как первое имеет только один корень 6, тогда как второе имеет два корня: 6 и — 6.
В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, но равносильным данному. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.
Теорема 1.
Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.
Например, уравнение 
равносильно уравнению 
Теорема 2.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Например, уравнение 
равносильно уравнению 
(обе части первого уравнения мы умножили на 3).
Линейные уравнения
Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида
где 
— действительные числа; 
называют коэффициентом при переменной, 
— свободным членом.
Для линейного уравнения 
могут представиться три случая:
1) 
; в этом случае корень уравнения равен 
;
2) 
; в этом случае уравнение принимает вид 
, что верно при любом х, т. е. корнем уравнения служит любое действительное число;
3) 
; в этом случае уравнение принимает вид 
, оно не имеет корней.
Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.
Пример 1.
Решить уравнение 
Решение:
По теореме 1 (см. п. 135), данное уравнение равносильно уравнению 
. Если разделить обе части этого уравнения на коэффициент при х, то по теореме 2 получим равносильное данному уравнение 
. Итак, 
— корень уравнения.
Пример 2.
Решение:
Это уравнение сводится к линейному уравнению. Умножив обе части уравнения на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3, 4, 6,12), получим
Квадратные уравнения
где 
— действительные числа, причем 
, называют квадратным уравнением. Если 
, то квадратное уравнение называют приведенным, если 
, то неприведенным. Коэффициенты имеют следующие названия: 
— первый коэффициент, 
— второй коэффициент, с — свободный член. Корни уравнения 
находят по формуле
Выражение 
называют дискриминантом квадратного уравнения (1). Если D О, то уравнение имеет два действительных корня.
В случае, когда D = О, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
Используя обозначение 
, можно переписать формулу (2) в виде 
Если 
, то формулу (2) можно упростить:
Формула (3) особенно удобна, если 
— целое число, т. е. коэффициент 
— четное число.
Пример 1.
Решение:
Здесь 
. Имеем:
Так как 
, то уравнение имеет два корня, которые найдем по формуле (2):
Итак, 
— корни заданного уравнения.
Пример 2.
Решить уравнение 
Решение:
Здесь 
По формуле (3) находим 
т. е. х = 3 — единственный корень уравнения.
Пример 3.
Решить уравнение 
Решение:
Здесь 
Так как D 0, откуда х>3, и 5 — х > 0, откуда х 5, тогда как для уравнения (2) областью определения служит вся числовая прямая. Поэтому найденное значение х = 4, являющееся корнем уравнения (2), может оказаться посторонним корнем для уравнения (1). В данном случае именно это и происходит, поскольку х = 4 не принадлежит области определения уравнения (1) (не удовлетворяет неравенству х > 5). Итак, х = 4 — посторонний корень, т. е. заданное уравнение не имеет корней.
Рациональные уравнения
Уравнение f(x) = g(x) называют рациональным, если f(x) и g(x) — рациональные вьфажения. При этом если f(x) и g(x) — целые выражения, то уравнение называют целым; если же хотя бы одно из выражений f(х), g(x) является дробным, то рациональное уравнение f(x) = g(x) называют дробным.
Например, целыми являются линейные (см. п. 136), квадратные (см. п. 137) уравнения.
Чтобы решить рациональное уравнение, нужно:
1) найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;
2) заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;
3) решить полученное целое уравнение;
4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.
Пример:
Решение:
Общим знаменателем имеющихся дробей является 2х(2 — х). Найдя дополнительные множители для каждой дроби, освободимся от знаменателей. Имеем:
Из уравнения 
находим 
(см. п. 137). Осталось проверить, обращают ли найденные корни выражение 2х(2 — х) в нуль, т. е. проверить выполнение условия 
Замечаем, что 2 не удовлетворяет этому условию, а 4 удовлетворяет. Значит, х = 4 — единственный корень уравнения.
Решение уравнения р(х) = 0 методом разложения его левой части на множители
Суть этого метода состоит в следующем. Пусть нужно решить уравнение р(х) = 0, где р(х) — многочлен степени 
. Предположим, что удалось разложить многочлен на множители:
, где 
— многочлены более низкой степени, чем . Тогда уравнение р(х) = 0 принимает вид 
. Если 
— корень уравнения 
а потому хотя бы одно из чисел равно нулю.
Значит, — корень хотя бы одного из уравнений
Верно и обратное: если 
— корень хотя бы одного из уравнений 
то — корень уравнения 
т. е. уравнения р (х) = 0.
Итак, если 
, где — многочлены, то вместо уравнения р(х) = 0 нужно решить совокупность уравнений 
Все найденные корни этих уравнений, и только они, будут корнями уравнения р(х) = 0.
Пример 1.
Решить уравнение 
Решение:
Разложим на множители левую часть уравнения. Имеем 
откуда 
Значит, либо х + 2 = 0, либо 
. Из первого уравнения находим х = — 2, второе уравнение не имеет корней. Итак, получили ответ: -2.
Метод разложения на множители применим к любым уравнениям вида р(х) = 0, где р(х) необязательно многочлен. Пусть 
но среди выражений 
есть выражения более сложного вида, чем многочлены (например, иррациональные, логарифмические и т. д.). Среди корней уравнений 
могут быть посторонние для уравнения р(х) = 0.
Пример 2.
Решить уравнение 
Решение:
Имеем 
; значит, либо 
, либо 
.Из уравнения 
находим х = 0, из уравнения 
находим 
.
Но х = -3 не удовлетворяет исходному уравнению, так как при этом значении не определено выражение 
. Это посторонний корень.
Итак, уравнение имеет два корня: 3; 0.
Решение уравнений методом введения новой переменной
Суть этого метода поясним на примерах.
Пример 1.
Решение:
Положив 
, получим уравнение
откуда находим 
. Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений
Первое квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен.
Из второго квадратного уравнения находим 
. Это корни заданного уравнения.
Пример 2.
Решение:
Положим 
, тогда
и уравнение примет вид
Решив это уравнение (см. п. 145), получим
Но 
. Значит, нам остается решить совокупность уравнений
Из первого уравнения находим 
, 
; из второго уравнения получаем 
Тем самым найдены четыре корня заданного уравнения.
Биквадратные уравнения
Биквадратным уравнением называют уравнение вида
Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив 
, придем к квадратному уравнению 
Пример:
Решить уравнение 
.
Решение:
Положив 
, получим квадратное уравнение , откуда находим 
. Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений 
Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим 
Это — корни заданного биквадратного уравнения.
Решение задач с помощью составления уравнений
С помощью уравнений решаются многочисленные задачи, к которым приводят самые разнообразные вопросы физики, механики, экономики и т. д. Прежде всего напомним общий порядок решения задач с помощью уравнений.
1) Вводят переменные, т. е. буквами х, у, z обозначают неизвестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.
2) С помощью введенных переменных и данных в задаче чисел и их соотношений составляют систему уравнений (или одно уравнение).
3) Решают составленную систему уравнений (или уравнение) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.
4) Если буквами х, у, z обозначили не искомые величины, то с помощью полученных решений находят ответ на вопрос задачи.
Задача 1.
Для перевозки 60 т груза из одного места в другое затребовали некоторое количество машин. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, поэтому дополнительно потребовались 4 машины. Какое количество машин было затребовано первоначально?
Решение: Обозначим через х количество машин, затребованных первоначально. Тогда на самом деле было вызвано (х + 4) машин. Так как надо было перевезти 60 т груза, то предполагалось, что на одну машину будут грузить 
т груза, а на самом деле грузили 
т груза, что на 0,5 т меньше, чем предполагалось. В результате мы приходим к уравнению
Это уравнение имеет два корня: х = -24, х = 20. Ясно, что по смыслу задачи значение х = —24 не подходит. Таким образом, первоначально было затребовано 20 машин.
Задача 2.
Моторная лодка, движущаяся со скоростью 20 км/ч, прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно без остановок за 6 ч 15 мин. Расстояние между пунктами равно 60 км. Найти скорость течения реки.
Решение:
Пусть х км/ч — скорость течения реки. Тогда лодка, собственная скорость которой 20 км/ч, идет по течению со скоростью (20 + х) км/ч, а против течения — со скоростью (20 — х) км/ч. Время, за которое лодка пройдет путь между пунктами по течению, составит 
ч, а время, за которое лодка пройдет обратный путь, составит 
ч. Так как путь туда и обратно лодка проходит за 6 ч 15 мин, т. е. 
ч, приходим к уравнению
решив которое, находим два корня: х = 4, х = -4. Ясно, что значение х = -4 не подходит по смыслу задачи. Итак, скорость течения реки равна 4 км/ч.
Задача 3.
Найти двузначное число, зная, что цифра его единиц на 2 больше цифры десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.
Решение:
Напомним, что любое двузначное число может быть записано в виде 10х + у, где х — цифра десятков, а у — цифра единиц. Согласно условию, если х — цифра десятков, то цифра единиц равна х + 2 и мы получаем
Решив это уравнение, найдем 
Второй корень не подходит по смыслу задачи.
Итак, цифра десятков равна 2, цифра единиц равна 4; значит, искомое число равно 24.
Задача 4.
Двое рабочих, работая вместе, выполнили некоторую работу за 6 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 5 ч скорее, чем второй рабочий, если последний будет работать отдельно. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?
Решение:
Производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени (обозначим ее через А), и время, необходимое для выполнения всей работы (обозначим его через t), — взаимно обратные величины, т. е. At = 1. Поэтому если обозначить через х ч время, необходимое для выполнения всей работы первому рабочему, а через (х + 5) ч — второму, то часть работы, выполняемая первым рабочим за 1 ч, равна 
, а часть работы, выполняемая вторым рабочим за 1 ч, равна 
Согласно условию, они, работая вместе, выполнили всю работу за 6 ч. Доля работы, выполненная за 6 ч первым рабочим, есть 
, а доля работы, выполненная за 6 ч вторым рабочим, есть 
Так как вместе они выполнили всю работу, т. е. доля выполненной работы равна 1, получаем уравнение
решив которое, найдем х = 10.
Итак, первый рабочий может выполнить всю работу за 10 ч, а второй — за 15 ч.
Задача 5.
Из сосуда емкостью 54 л, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили сосуд водой, потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?
Решение:
Пусть в первый раз было вылито х л кислоты. Тогда в сосуде осталось (54 — х) л кислоты. Долив сосуд водой, получили 54 л смеси, в которой растворилось (54 — х) л кислоты. Значит, в 1 л смеси содержится 
л кислоты (концентрация раствора). Во второй раз из сосуда вылили х л смеси, в этом количестве смеси содержалось 
л кислоты. Таким образом, в первый раз было вылито х л кислоты, во второй 
л кислоты, а всего
за два раза вылито 54 — 24 = 30 л кислоты. В результате приходим к уравнению
Решив это уравнение, найдем два корня: 
и 
. Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи.
Итак, в первый раз было вылито 18 л кислоты.
Задача 6.
Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?
Решение:
Пусть масса добавленного олова составляет х кг. Тогда получится сплав массой (12 + х) кг, содержащий 40% меди. Значит, в новом сплаве имеется 0,4(12 + х) кг меди. Исходный сплав массой 12 кг содержал 45% меди, т. е. меди в нем было 
. Так как масса меди и в имевшемся, и в новом сплаве одна и та же, приходим к уравнению
Решив это уравнение, получим х = 1,5. Таким образом, к исходному сплаву надо добавить 1,5 кг олова.
Задача 7.
Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали того и другого сорта надо взять, чтобы после переплавки получить 140 т стали с содержанием никеля 30% ?
Решение:
Пусть масса стали первого сорта равна х т, тогда стали второго сорта надо взять (140 — х) т. Содержание никеля в стали первого сорта составляет 5%; значит, в х т стали первого сорта содержится 0,05л; т никеля. Содержание никеля в стали второго сорта составляет 40%; значит, в (140 — х) т стеши второго сорта содержится 0,4 (140 — х) т никеля. По условию после соединения взятых двух сортов должно получиться 140 т стали с 30% -ным содержанием никеля, т. е. после переплавки в полученной стали должно быть 0,3 * 140 т никеля. Но это количество никеля складывается из 0,05л; т, содержащихся в стали первого сорта, и из 0,4 (140 — х) т, содержащихся в стали второго сорта. Таким образом, приходим к уравнению
0,05х + 0,4 (140 — х) = 0,3 * 140,
из которого находим х = 40. Следовательно, надо взять 40 т стали с 5% -ным и 100 т стали с 40% -ным содержанием никеля.
Иррациональные уравнения
Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Например, иррациональными являются уравнения 
Используются два основных метода решения иррациональных уравнений:
1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
2) метод введения новых переменных (см. п. 147).
Метод возведения обеих частей уравнения в одну
и ту же степень состоит в следующем:
а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду
б) возводят обе части полученного уравнения в п-ю степень:
в) учитывая, что 
, получают уравнение
г) решают уравнение и, в случае четного п, делают проверку, так как возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень может привести к появлению посторонних корней (см. п. 142). Эта проверка чаще всего осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.
Пример 1.
Решить уравнение 
Решение:
Возведем обе части уравнения в шестую степень; получим х — 3 = 64, откуда х = 67.
Проверка:
Подставив 67 вместо х в данное уравнение, получим 
, т. е. 2 = 2 — верное равенство.
Ответ: 67.
Пример 2.
Решение:
Преобразуем уравнение к виду
и возведем обе части его в квадрат. Получим
Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:
откуда 
Проверка:
1) При х = 5 имеем
— верное равенство.
Таким образом, х = 5 является корнем заданного уравнения.
2) При х = 197 имеем 
Таким образом, х = 197 — посторонний корень.
Ответ: 5.
Пример 3.
Решение:
Применим метод введения новой переменной.
Положим 
и мы получаем уравнение 
, откуда находим 
Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений
Возведя обе части уравнения 
в пятую степень, получим х — 2 = 32, откуда х = 34.
Уравнение 
не имеет корней, поскольку под знаком возведения в дробную степень может содержаться только неотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна.
Ответ: 34.
Показательные уравнения
Показательное уравнение вида
где 
равносильно уравнению f(х) = g(x).
Имеются два основных метода решения показательных уравнений:
1) метод уравнивания показателей, т. е. преобразование заданного уравнения к виду а затем к виду f(х) = g(x);
2) метод введения новой переменной.
Пример 1.
Решить уравнение 
Решение:
Данное уравнение равносильно уравнению 
откуда находим 
Решив это квадратное уравнение, получим 
Пример 2.
Решение:
Приведем все степени к одному основанию 
. Получим уравнение 
которое преобразуем к виду 
Уравнение равносильно уравнению х = 2х — 3, откуда находим х = 3.
Пример 3.
Решить уравнение 
Решение:
Применим метод введения новой переменной. Так как 
,то данное уравнение можно переписать в виде
Введем новую переменную, положив 
Получим квадратное уравнение 
с корнями 
Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений 
Из первого уравнения находим х = 2. Второе уравнение не имеет корней, так как 
при любых значениях х.
Ответ: 2.
Логарифмические уравнения
Чтобы решить логарифмическое уравнение вида
где 
нужно:
1) решить уравнение f(x) = g(x);
2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенствам f(x) > 0 и g(x) > 0; остальные корни уравнения f(x) = g(x) являются посторонними для уравнения (1).
Имеются два основных метода решения логарифмических уравнений:
1) метод, заключающийся в преобразовании уравнения к виду 
затем к виду f(x) = g(x);
2) метод введения новой переменной.
Пример 1.
Решение:
Перейдем от заданного уравнения к уравнению 
и решим его. Имеем 
Проверку найденных значений х выполним с помощью неравенств 
Число -3 этим неравенствам удовлетворяет, а число 4 — нет. Значит, 4 — посторонний корень.
Ответ: -3.
Пример 2.
Решение:
Воспользовавшись тем, что сумма логарифмов равна логарифму произведения (см. п. 120), преобразуем уравнение к виду
Из последнего уравнения находим 
Осталось сделать проверку. Ее можно выполнить с помощью системы неравенств
Подставив поочередно найденные значения -1 и -5,5 в эти неравенства, убеждаемся, что -1 удовлетворяет всем неравенствам, а -5,5 — нет, например при этом значении не выполняется первое неравенство. Значит, -5,5 — посторонний корень.
Ответ: -1.
Пример 3.
Решение:
Так как 
заданное уравнение можно переписать следующим образом:
Введем новую переменную, положив 
Получим
Но 
; из уравнения 
находим х = 4.
Ответ: 4.
Примеры решения показательно-логарифмических уравнений
Пример 1.
Решение:
Область определения уравнения: х > 0. При этом условии выражения, входящие в обе части уравнения (1), принимают только положительные значения. Прологарифмировав обе части уравнения (1) по основанию 10, получим уравнение
равносильное уравнению (1). Далее имеем 
Полагая 
получим уравнение 
, откуда 
Остается решить совокупность уравнений 
Из этой совокупности получим 
— корни уравнения (1).
Здесь применен метод логарифмирования, заключающийся в переходе от уравнения f(x) = g(x) к уравнению
Пример 2.
(2)
Решение:
Воспользовавшись определением логарифма, преобразуем уравнение (2) к виду
Полагая 
, получим уравнение 
корнями которого являются 
Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений
Так как 
, а -1 0 и мы получаем
если 
, то D = 0 и мы получаем 
, т. е. (поскольку ) 
.
Итак, если 
то действительных корней нет; если 
= 1, то 
; если ,то ; если 
и 
, то
Пример 3.
При каких значениях параметра уравнение
имеет два различных отрицательных корня?
Решение:
Так как уравнение должно иметь два различных действительных корня 
его дискриминант должен быть положительным. Имеем
Значит, должно выполняться неравенство 
По теореме Виета для заданного уравнения имеем
Так как, по условию, 
, то 
и 
В итоге мы приходим к системе неравенств (см. п. 177):
Из первого неравенства системы находим (см. п. 180, 183) 
; из второго 
; из третьего 
. С помощью координатной прямой (рис. 1.107) находим, что либо 
, либо 
Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:
Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
Уравнения, часть С
Теория к заданию 13 из ЕГЭ по математике (профильной)
Уравнения, часть $С$
Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.
Схема решения сложных уравнений:
- Перед решением уравнения надо для него записать область допустимых значений (ОДЗ).
- Решить уравнение.
- Выбрать из полученных корней уравнения то, которые удовлетворяют ОДЗ.
ОДЗ различных выражений (под выражением будем понимать буквенно — числовую запись):
1. Выражение, стоящее в знаменателе, не должно равняться нулю.
2. Подкоренное выражение, должно быть не отрицательным.
3. Подкоренное выражение, стоящее в знаменателе, должно быть положительным.
4. У логарифма: подлогарифмическое выражение должно быть положительным; основание должно быть положительным; основание не может равняться единице.
Логарифмические уравнения
Для решения логарифмических уравнений необходимо знать свойства логарифмов: все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.
1. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ справедливы равенства:
2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов по тому же основанию от каждого множителя.
3. Логарифм частного равен разности логарифмов от числителя и знаменателя по тему же основанию
4. При умножении двух логарифмов можно поменять местами их основания
6. Формула перехода к новому основанию
7. В частности, если необходимо поменять местами основание и подлогарифмическое выражение
Можно выделить несколько основных видов логарифмических уравнений:
Представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию $2$
Если логарифмы по одинаковому основанию равны, то подлогарифмические выражения тоже равны.
Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приводим подобные слагаемые
Проверим найденные корни по условиям $\table\<\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$
При подстановке во второе неравенство корень $х=4$ не удовлетворяет условию, следовательно, он посторонний корень
- Метод замены переменной.
В данном методе надо:
Решите уравнение $log_<2>√x+2log_<√x>2-3=0$
1. Запишем ОДЗ уравнения:
$\table\<\ х>0,\text»так как стоит под знаком корня и логарифма»;\ √х≠1→х≠1;$
2. Сделаем логарифмы по основанию $2$, для этого воспользуемся во втором слагаемом правилом перехода к новому основанию:
3. Далее сделаем замену переменной $log_<2>√x=t$
4. Получим дробно — рациональное уравнение относительно переменной t
Приведем все слагаемые к общему знаменателю $t$.
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
5. Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:
6. Вернемся в п.3, сделаем обратную замену и получим два простых логарифмических уравнения:
Прологарифмируем правые части уравнений
Приравняем подлогарифмические выражения
Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат
7. Подставим корни логарифмического уравнения в п.1 и проверим условие ОДЗ.
Первый корень удовлетворяет ОДЗ.
$\<\table\ 16 >0; \16≠1;$ Второй корень тоже удовлетворяет ОДЗ.
- Уравнения вида $log_
Дробно рациональные уравнения
- Если дробь равна нулю, то числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
- Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно-рациональным.
Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:
- Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
- Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
- Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
- Решить получившееся целое уравнение;
- Исключить из его корней те, которые не удовлетворяют условию ОДЗ.
- Если в уравнении участвуют две дроби и числители их равные выражения, то знаменатели можно приравнять друг к другу и решить полученное уравнение, не обращая внимание на числители. НО учитывая ОДЗ всего первоначального уравнения.
Показательные уравнения
Показательными называют такие уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
При решении показательных уравнений используются свойства степеней, вспомним некоторые из них:
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются
3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются
4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель
5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель
6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице
7. Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби
8. Радикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем
Виды показательных уравнений:
1. Простые показательные уравнения:
а) Вида $a^
b) Уравнение вида $a^
Для решения таких уравнений надо обе части прологарифмировать по основанию $a$, получается
2. Метод уравнивания оснований.
3. Метод разложения на множители и замены переменной.
- Для данного метода во всем уравнении по свойству степеней надо преобразовать степени к одному виду $a^
- Сделать замену переменной $a^
- Получаем рациональное уравнение, которое необходимо решить путем разложения на множители выражения.
- Делаем обратные замену с учетом того, что $t > 0$. Получаем простейшее показательное уравнение $a^
По свойству степеней преобразуем выражение так, чтобы получилась степень 2^x.
Сделаем замену переменной $2^x=t; t>0$
Получаем кубическое уравнение вида
Умножим все уравнение на $2$, чтобы избавиться от знаменателей
Разложим левую часть уравнения методом группировки
Вынесем из первой скобки общий множитель $2$, из второй $7t$
Дополнительно в первой скобке видим формулу разность кубов
Далее скобку $(t-1)$ как общий множитель вынесем вперед
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю
Решим первое уравнение
Решим второе уравнение через дискриминант
Получили три корня, далее делаем обратную замену и получаем три простых показательных уравнения
4. Метод преобразования в квадратное уравнение
- Имеем уравнение вида $А·a^<2f(x)>+В·a^
- Делаем замену $a^
- Получается квадратное уравнение вида $A·t^2+B·t+С=0$. Решаем полученное уравнение.
- Делаем обратную замену с учетом того, что $t > 0$. Получаем простейшее показательное уравнение $a^
Способы разложения на множители:
- Вынесение общего множителя за скобки.
Чтобы разложить многочлен на множители путем вынесения за скобки общего множителя надо:
- Определить общий множитель.
- Разделить на него данный многочлен.
- Записать произведение общего множителя и полученного частного (заключив это частное в скобки).
Разложить на множители многочлен: $10a^<3>b-8a^<2>b^2+2a$.
Общий множитель у данного многочлена $2а$, так как на $2$ и на «а» делятся все члены. Далее найдем частное от деления исходного многочлена на «2а», получаем:
Это и есть конечный результат разложения на множители.
Применение формул сокращенного умножения
1. Квадрат суммы раскладывается на квадрат первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе число и плюс квадрат второго числа.
2. Квадрат разности раскладывается на квадрат первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа.
3. Разность квадратов раскладывается на произведение разности чисел и их сумму.
4. Куб суммы равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа плюс куб второго числа.
5. Куб разности равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа и минус куб второго числа.
6. Сумма кубов равна произведению суммы чисел на неполный квадрат разности.
7. Разность кубов равна произведению разности чисел на неполный квадрат суммы.
Метод группировки
Методом группировки удобно пользоваться, когда на множители необходимо разложить многочлен с четным количеством слагаемых. В данном способе необходимо собрать слагаемые по группам и вынести из каждой группы общий множитель за скобку. У нескольких групп после вынесения в скобках должны получиться одинаковые выражения, далее эту скобку как общий множитель выносим вперед и умножаем на скобку полученного частного.
Разложить многочлен на множители $2a^3-a^2+4a-2$
Для разложения данного многочлена применим метод группировки слагаемых, для этого сгруппируем первые два и последние два слагаемых, при этом важно правильно поставить знак перед второй группировкой, мы поставим знак + и поэтому в скобках запишем слагаемые со своими знаками.
Далее из каждой группы вынесем общий множитель
После вынесения общих множителей получили пару одинаковых скобок. Теперь данную скобку выносим как общий множитель.
Произведение данных скобок — это конечный результат разложения на множители.
С помощью формулы квадратного трехчлена.
Если имеется квадратный трехчлен вида $ax^2+bx+c$, то его можно разложить по формуле
$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного трехчлена
http://natalibrilenova.ru/uravneniya-s-odnoj-peremennoj/
http://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/logarifmicheskie_i_pokazatelnue_uravneniya