Решить уравнение математической физики i

Уравнения математической физики: примеры и задачи

Уравнения математической физики для чайников

Задачи математической физики состоят в отыскании решений уравнений в частных производных, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям. Такими дополнительными условиями чаще всего являются так называемые граничные условия, т.е. условия, заданные на границе рассматриваемой среды, и начальные условия, относящиеся к одному какому-нибудь моменту времени, с которого начинается изучение данного физического явления.

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений по предмету «Уравнения математической физики» (подраздел курса «Дифференциальные уравнения в частных производных» с физическими приложениями) для студентов. Разобраны типовые примеры для самых распространенных уравнений (уравнения Лапласа, Пуассона, теплопроводности, волновое), методов (разделения переменных, Фурье, Даламбера) и задач (Штурма-Лиувилля, Пфаффа и т.д.).

Задачи с решениями по уравнениям математической физики онлайн

Задача 1. Определить тип уравнений. Привести к каноническому виду. $$ u_+4u_+u_+u_x+u_y-x^2y=0. $$

Задача 2. Решить методом разделения переменных следующую задачу для неоднородного волнового уравнения.

Задача 3. Решить методом разделения переменных следующую задачу для неоднородного уравнения теплопроводности:

Задача 4. Решить методом разделения переменных следующую задачу для уравнения Пуассона в кольце.

Задача 5. Решить методом разделения переменных следующую задачу для уравнения Лапласа в кольцевом секторе.

Задача 6. Решить уравнение Лапласа в прямоугольнике:

Задача 7. Используя формулу Пуассона, найти решение задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Задача 8. Решить задачу Коши для волнового уравнения:

Задача 9. Решить смешанную задачу для волнового уравнения

Задача 10. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа для круга:

Задача 11. Решить уравнение методом Лагранжа-Шарпи.

Задача 12. Решить уравнение Пфаффа

$$ z^2 dx +zdy +(3zx +2y)dz=0. $$

Заказать работу по уравнениям в частных производных? Легко!

Нужно выполнить контрольную работу или задания из практикума по УМФ или ДУвЧП? Нет проблем — примем заказ от очников и заочников любых ВУЗов! Стоимость консультации по решению уравнения математической физики — от 150 рублей, подробное оформление согласно требованиям методички в Word.

Уравнения математической физики в действии

Сегодня поговорим о примерах в дисциплине уравнения математической физики общими словами без погружения в сухой, академический язык и множества формул.

По шкале сложности для чистой математики эта дисциплина на мой субъективный взгляд получает 7/10. Но это не значит, что эти формулы легки для зазубривания и запоминания. Тем более говорить о том, что я могу сделать открытие в данной области которое попадет в учебники, например объясняя физику какого — либо нового процесса или уточняя уже существующий. Если подумать, то, например выбирая какой-либо параграф учебника по данному предмету, то он исписан формулами, которые если провести аналогию похож на модуль по программированию. Скажу сразу мне преподавали данный предмет очень плохо, не объясняя, что данные формулы значат, точнее заглавие было например: «Уравнение волны» или «Колебание мембраны», а дальше переписывали все формулы в параграфе с короткими комментариями что откуда, весьма скудными в полной тишине. Препод перелистывал страницы презентации и ходил туда-обратно пока мы переписывали. Видно, что не ему, ни мне это было не нужно, как бы для общего развития. Скорее всего надо было читать дополнительную литературу чтобы понять, но там уровень для подкованного студента, предметов было много и где-то были пробелы и особо не было времени на все распылиться. Ну это так, к слову. К слову, чем больше людей надо учить в промежутке времени, тем меньше времени уделяется каждому студенту и тем хуже уровень знаний у каждого студента, ну это в пределе.

Ну это было уже давно, лекций не осталось, практика забылась, из головы все выветрилось как талая вода. Вот пример волны наглядный:

Волна

Как бы это уравнение бегущей волны с незакрепленными концами. Я мало что знаю об волнах, даже на уровне физики школьного курса, что-то типа амплитуды, периода, волнового числа и всего такого. Волны бывают продольные, поперечные, сферические, спиральные и другие. Это я только что прочитал на википедии.

Данный код ниже представляет практический интерес.

Как видите есть две функции, ksi и fi, они заданы тригонометрическими функциями sin, cos. Они характеризуют нашу волну. Там же есть аргументы функций 15*x и 18*x. Если, например увеличивать число 15 или число 18, то количество холмов будет увеличиваться, по-умному это значит, что чем большее число мы впишем в скобки, тем самым мы увеличиваем количество периодов функций данных, которые уместятся в заданный промежуток числа x. При увеличении будет сжиматься график вдоль оси Ox.

Икс то мы не увеличивали, шаг остался тем же около 0.01. Если мы будем уменьшать данные аргументы, то количество полных периодов функций будет меньше и как бы график растянется вдоль оси Ox.

А если мы вынесем за скобки и будем увеличивать/уменьшать само значение функции, как на коде выше, то будет растягиваться/сжиматься вдоль оси ординат, то есть вдоль оси Oy. Что показано на графиках ниже.

Здесь растяжение настолько большое что не вмещается в рабочее пространство и надо увеличивать рабочее пространство сцены и отдалять наблюдательное око.

А ниже наоборот сжатие относительно оси ординат.

Дело в том, я вот заметил, что каждое объяснение волн очень сложное, трудно выстроить в голове какие-либо упорядоченные знания об этом. Но я решил, что буду заниматься теперь только самыми насущными вещами, а не чтением гуманитарных статеек в интернете. Я очень много времени потратил на безделье и чтение всяких новостей, я превратился в гуманитария и не заметил.

С другой стороны, а как реализовать эти знания и монетизировать их? Не думаю, что есть вакансии, с требованием к программисту рисовать волны в браузере.

А вот второй пример посложнее, где уравнение окружность:

Волновая окружность

Хотелось сделать такой круг с волнами в виде, который похож на ютубе видел, как анимация голосовых волн от микрофона, но не получилось.

Здесь также можно увеличивать аргумент или/и значение функции и будет весьма интересно просмотреть результат.

Перейдем к следующему примеру, это концентрические окружности с волновым движением по оси Y:

Псевдо-мембрана

Чем-то похоже на изделие №1. Тот же принцип, но уже по массиву колец изменяется график, все кольцо увеличивается и уменьшается на одно значение, а другое кольцо уже на другое.

Чтобы улучшить вид, надо уменьшить шаг до тысячной доли, увеличить размер массива vertices в 10 раз, тогда не будет видно разрезов и будет идеально.

Глаз в положении 0,0,2

Резюмируя, хочу сказать вот многие говорили: «Зачем эти синусы и косинусы нужны?»

Вот для этого и многих других вещей, я, например написал об этом здесь, кто-то еще что-то придумает получше. Хотя трудно найти веб-программиста-математика-физика-художника, адская смесь получается.

Да, статья получилась не особо научной и в некотором роде объективной, но надо было чем-то заполнить пространство между картинками, спасибо у меня все!

Уравнения математической физики

У физиков есть шутка с бородой: “Женщина-физик: еще не физик, но уже не женщина!”. С математической физикой примерно та же история. Это уже не чистая математика, а ее приложение к реальным физическим задачам. Однако, от привычной физики с ее экспериментами и рассуждениями, она тоже отличается.

Что касается масштабов бедствия, данная дисциплина охватывает почти все разделы физики, изложенные в 10 томах Ландау-Лифшица: электромагнетизм, гидро- и газодинамика, теория теплопереноса, упругости.

В рамках курса “уравнения математической физики”, очевидно, вы будете иметь дело с уравнениями, но не далеко не простыми. Забудьте о заданиях с уравнениями типа 2x+5=9. Да здравствуют дифференциальные уравнения с частными производными! А это вам не шутки.

В большинстве случаев вы будете рассматривать случай двух независимых переменных и уравнение второго порядка вида (хотя, конечно, для полноценного рассмотрения многих физических задач для реального мира необходимо рассматривать трехмерный случай):

Но не так страшно уравнение, каким оно кажется на первый вид. На самом деле далеко не каждое уравнение такого общего вида годится для моделирования физического явления, и вы будете сталкиваться с уравнениями одного и того же типа.

Итак, начнем наше знакомство с теми уравнениями, которые запишутся в ваш новый список друзей.

1) Одномерное волновое уравнение:

u(x,t) может быть, например, давлением или плотностью для упругих волн в газах, напряженностью электрического или магнитного поля,a a есть скорость распространения волн в рассматриваемой среде. Это уравнение является уравнением гиперболического типа; оно будет с вами, когда вы будете изучать процессы поперечных колебаний струны, электрических колебаний в проводе, колебаний газа и жидкости.

2) Ваш друг номер два:

Это уравнение параболического типа, известное в народе также как уравнение теплопроводности, где u(x,t)представляет собой температуру. С этим уравнением вы будете сталкиваться каждый раз, когда заинтересуетесь вопросом распространения тепла, фильтрации газа и жидкости.

3) Двумерное уравнение Лапласа:

Это уравнение эллиптического типа, которое необходимо при рассмотрении задач об электрических и магнитных полях (например, таким уравнением описывается потенциал электростатического поля при отсутствии зарядов), а также задач гидродинамики и диффузии.

Испугались? В действительности, не все так плохо. Уравнения такого типа можно научиться очень быстро решать, даже если вы перед этим не штудировали учебники по дифференциальным уравнениям.

Мы покажем на примере первого уравнения (2), как можно с ними дружить.

Мы можем заметить, что правая часть зависит только от t, а левая часть — только от x. Равенство между ними возможно только при условии, что обе части равны константе, это значит, что решение уравнения есть произведение одной функции от t и другой функции от x:

Подставив это выражение в исходное уравнение, получаем систему двух простых дифференциальных уравнений:

А для того, чтобы решить такие уравнения, достаточно знать, как решать квадратное уравнение (это под силу даже школьнику), ведь для решения подобного уравнения (дифференциального однородного уравнения второго порядка)

необходимо всего лишь решить квадратное уравнение

и тогда решение уравнения (7) есть:

В зависимости от условий конкретной физической задачи, вы будете иметь дело с определенными граничными условиями, например, f(x=0)=0, применяя которые, легко можно найти постоянную λ в системе уравнений (6) и постоянные A₁ и A₂ в каждом решении вида (9).

Хотите знать больше?

Тогда бегом в библиотеку за следующими учебниками:

• А.Н.Тихонов, А.А.Самарский, “Уравнения математической физики”. М. “Наука”, 1972.
• В.С. Владимиров “Уравнения математической физики”. М. “Наука”, 1988.
• Смирнов М.М. “Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка”. М. “Наука”, 1964.
• Полянин А.Д. “Справочник по линейным уравнениям математической физики”. М.: Физматлит, 2001.
• Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. “Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения”. М.: Физматлит, 2002.

Хотите заказать решение у нас?

Автор данной статьи также берется за решение уравнений математической физики на заказ.
Узнать цену работы можно на странице заказа. Для этого нужно всего лишь прикрепить файл с заданием и указать сроки.