Решить уравнение методом введения новой переменной

Решение уравнения методом введения новой переменной

Математика. Уравнения. 283гр. Дистанционное обучение.

Просмотр содержимого документа
«Решение уравнения методом введения новой переменной»

21.04.20. Задание: Записать конспект и решить уравнения

Тема: Основные приемы решения уравнений:

Решение уравнения методом введения новой переменной

Метод введения новой переменной:

1. в уравнении какая-то его часть заменяется другой переменной (a, y, t. )

(прежнее неизвестное одновременно с новым в уравнении быть не может);

2. решается новое уравнение;

3. возвращаются к обозначенному и, используя полученное число (корни), вычисляют требуемое неизвестное.

Пример: Решить уравнение (2x−21) 2 −5(2x−21)+4=0.

Это уравнение можно решить и без использования новой переменной (раскрываются скобки по формуле разности квадратов и т. д.), но решение будет длинным и с большими числами.

Используем то, что обе скобки равны.

Обозначаем 2x−21=y. Получается простое квадратное уравнение:

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4•1•4=25-16=9

Возвращаемся к обозначенному:

Методом введения новой переменной решаются биквадратные уравнения:

ax 4 +bx 2 +c=0, где a,b,c ∈R; x 2 =y; ay 2 +by+c=0. В биквадратных уравнениях всегда используется новая переменная. Получается квадратное уравнение

Пример: Решить уравнение:

x 4 −13x 2 +12=0; x 2 =y, тогда

1)x 2 =12; или 2) x 2 =1,

Задание: Решить уравнения 1. (3x−4) 2 +3 (3x−4)-4=0.

Решение уравнений методом введения новой переменной, теория, практика

В этой статье мы всесторонне разберем метод введения новой переменной. Здесь мы выясним, для решения каких уравнений этот метод предназначен, проникнем в его суть, приведем обоснование метода, доказав соответствующее утверждение, запишем алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной и рассмотрим решения характерных примеров.

Когда применяется и в чем суть метода

Метод введения новой переменной предназначен для решения уравнений, имеющих вид f(g(x))=0 или f₁(g(x))=f₂(g(x)) , где f , f₁ и f₂ – некоторые функции, а x – неизвестная переменная. Для лучшего восприятия приведем примеры таких уравнений:

• (x 2 ) 3 −3·x 2 +2=0 , это уравнение имеет вид f(g(x))=0 , здесь g(x)=x 2 , а функция f такая, что f(t)=t 2 −3·t+2 ;
• , это уравнение вида f₁(g(x))=f₂(g(x)) , здесь в качестве g(x) можно рассматривать x 2 +2·x , тогда функции f₁ и f₂ таковы, что и ;
• , это уравнение, имеющее вид f(g(x))=0 , где , а функция f описывается как .

Понятно, что f(g(x))=0 и f₁(g(x))=f₂(g(x)) — равносильные уравнения, так как уравнение f₁(g(x))=f₂(g(x)) приводится к виду f(g(x))=0 при помощи равносильного преобразования, заключающегося в переносе выражения f₂(g(x)) из правой части в левую с противоположным знаком. Поэтому дальнейшую теорию мы будем излагать только для уравнений вида f(g(x))=0 , это сделано в угоду краткости без ущерба для общности.

Суть метода введения новой переменной для решения уравнения f(g(x))=0 состоит во введении новой переменной t как g(x)=t с целью нахождения всех корней исходного уравнения через множество решений T уравнения f(t)=0 с новой переменной t и использование равенства g(x)=t . Забегая немного вперед, скажем, что корнями исходного уравнения являются все такие значения x , которые удовлетворяют условию g(x)∈T . В частности,

• если T – пустое множество, то есть, уравнение f(t)=0 не имеет решений, то условие g(x)∈T определяет пустое множество, а это означает, что исходное уравнение не имеет решений;
• если T – конечное множество, то есть, уравнение f(t)=0 имеет n решений t₁, t₂, …, t_n , то условие g(x)∈T есть не что иное, как совокупность уравнений g(x)=t₁, g(x)=t₂, …, g(x)=t_n , а это означает, что решением исходного уравнения является решение совокупности уравнений g(x)=t₁, g(x)=t₂, …, g(x)=t_n .

Поясним на примере. Возьмем уже упомянутое выше уравнение (x 2 ) 3 −3·x 2 +2=0 . Введение новой переменной x 2 =t позволяет от исходного уравнения перейти к кубическому уравнению t 3 −3·t+2=0 с новой переменной (заменяем в исходном уравнении x 2 на t ). Множество решений этого уравнения T (оно в нашем случае состоит из двух чисел t₁=1 и t₂=−2 , то есть, T= <−2, 1>) и использование равенства x 2 =t дают возможность определить все корни исходного уравнения. Они определяются по условию x 2 ∈ <−2, 1>, которое есть не что иное, как совокупность двух уравнений x 2 =−2 , x 2 =1 .

В основе метода введения новой переменной лежит следующее утверждение:

Решение уравнения f(g(x))=0 есть множество значений переменной x , удовлетворяющих условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 .

Приведем обоснование озвученного утверждения в следующем пункте.

Обоснование

Докажем утверждение, лежащее в основе метода введения новой переменной, которое мы привели в предыдущем пункте. Для этого нужно доказать два момента:

• что любой корень уравнения f(g(x))=0 удовлетворяет условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 ,
• что любое значение переменной x , удовлетворяющее условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 , является корнем уравнения f(g(x))=0 .

Начнем с первой части. Пусть x₀ – корень уравнения f(g(x))=0 . Докажем, что x₀ удовлетворяет условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 .

Так как x₀ – корень уравнения f(g(x))=0 , то f(g(x₀))=0 – верное числовое равенство. Из этого равенства следует, что g(x₀) – корень уравнения f(t)=0 . А из этого следует, что g(x₀) принадлежит множеству всех корней уравнения f(t)=0 .

Первая часть доказана. Переходим к доказательству второй части утверждения.

Пусть x₀ удовлетворяет условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 . Докажем, что x₀ является корнем уравнения f(g(x))=0 .

Так как x₀ удовлетворяет условию g(x)∈T , то g(x₀)∈T , то есть, g(x₀) – это один из корней уравнения f(t)=0 . Значит, f(g(x₀))=0 – верное числовое равенство. А из этого равенства следует, что x₀ – корень уравнения f(g(x))=0 .

Так доказана вторая часть утверждения и все утверждение в целом.

Алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной

Приведенная выше информация позволяет записать алгоритм решения уравнения f(g(x))=0 методом введения новой переменной:

• Вводится новая переменная t как g(x)=t , и осуществляется переход от исходного уравнения f(g(x))=0 со старой переменной x к уравнению f(t)=0 с новой переменной t .
• Решается полученное уравнение с новой переменной. При этом
  • если оно не имеет корней, то делается вывод об отсутствии корней у исходного уравнения,
  • если уравнение имеет корни, то выполняются следующие шаги алгоритма.
• Осуществляется возврат к старой переменной. Для этого
  • если решенное на предыдущем шаге уравнение имеет единственный корень, обозначим его t₁ , то составляется уравнение g(x)=t₁ ,
  • если решенное на предыдущем шаге уравнение имеет два, три или любое другое, но конечное число корней, обозначим их t₁, t₂, …, t_n , то составляется совокупность уравнений g(x)=t₁, g(x)=t₂, …, g(x)=t_n ,
  • если же решенное на предыдущем шаге уравнение имеет бесконечно много корней, и они составляют числовое множество T , то составляется совокупность уравнений, неравенств и двойных неравенств, отвечающая выражению g(x)∈T (например, если решением уравнения с новой переменной t является числовое множество (−∞, t₁)∪2>∪[t₃, t₄) , что то же самое , то соответствующая совокупность будет иметь вид ).
• Наконец, решается составленное уравнение или совокупность – ее решение есть искомое решение исходного уравнения.

Решение примеров

Обычно первое знакомство с методом введения новой переменной происходит в школе в рамках темы «решение рациональных уравнений». В частности, рациональными являются биквадратные уравнения, стандартным методом решения которых как раз является метод введения новой переменной. Для примера приведем краткое решение методом введения новой переменной биквадратного уравнения x 4 −3·x 2 +5=0 . После представления его в виде (x 2 ) 2 −3·x 2 +5=0 , вводим новую переменную x 2 =t , это позволяет перейти к квадратному уравнению с новой переменной: t 2 −3·t+5=0 . Оно не имеет действительных корней, так как его дискриминант D=(−3) 2 −4·1·5=−11 – отрицательный, откуда заключаем, что исходное уравнение не имеет корней.

Среди рациональных уравнений масса и других типичных представителей, решающихся методом введения новой переменной. Такими, во-первых, являются уравнения, в которых переменная фигурирует только в одинаковых квадратных двучленах, например (x 2 −5·x+4)·(x 2 −5·x+6)=120 , (x 2 +5) 2 −11·(x 2 +5)+28=0 , . Во-вторых, через введение новой переменной решаются уравнения, в которых переменная находится только во взаимно обратных дробях, например, , здесь одна из дробей принимается за t , а другая, очевидно, выражается через t как 1/t , ведь на ОДЗ для данного уравнения . В-третьих, упомянем про возвратные уравнения, которые тоже решаются методом введения новой переменной, а именно . Решения подобных уравнений Вы без труда найдете в статье, упомянутой в первом предложении этого пункта, а также на страницах школьных учебников, например, [1, c. 74-75, 80; 2, с. 150-152; 3, с. 213-216].

Продвигаясь дальше в школьном курсе математики по пути знакомства с уравнениями, нам встречаются иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические и другие уравнения, и каждый раз мы возвращаемся к методу введения новой переменной для их решения. Для уравнений каждого вида есть свои особенности в плане введения новой переменной. Рекомендуем ознакомиться с ними в следующих материалах:

• решение иррациональных уравнений методом введения новой переменной,
• метод введения новой переменной при решении показательных уравнений,
• решение показательных уравнений методом введения новой переменной,
• решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной.

В заключение покажем пример решения уравнения, которое после введения новой переменной имеет бесконечное множество решений. Подобные случаи встречаются крайне редко, и тем они еще более интересны. В них главное разобраться с особенностями возврата к старой переменной.

Решите уравнение

Технологическая карта урока на тему «Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной»
методическая разработка по математике

Технологическая карта урока

Скачать:

Предварительный просмотр:

« Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной »

урок открытия новых знаний

• организовать учебную деятельность по освоению знания о способе решения тригонометрических уравнений методом введения новой переменной и отработке первичного умения решать тригонометрические уравнения данным методом;
• способствовать формированию организационно-рефлексивных УУД студентов.

• организовать повторение учебного материала, актуального для приобретения новых знаний;
• создать проблемную ситуацию с помощью пробного действия;
• организовать рефлексивную процедуру;
• обучить данному методу решения тригонометрических уравнений;
• организовать тренинг и самоконтроль студентов;
• проконтролировать освоение.

• слайд с заданием для актуализации знаний;
• слайд с заданием для пробного действия;
• слайд с планом деятельности;
• слайд с алгоритмом решения уравнений данного класса;
• слайд с уравнениями для этапа первичного закрепления;
• слайд с заданием для самостоятельной работы;
• эталон для самопроверки.

• карточка с заданием для пробного действия;
• карточка с уравнениями для этапа первичного закрепления;
• карточка с уравнениями для самостоятельной работы.

Технологическая карта урока

Цель: организовать направленное внимание на начало урока.

Знакомство с листом оценивания

II .Создание проблемной ситуации.

• мотивировать к выполнению пробного действия;
• организовать самостоятельное выполнение пробного учебного действия.

Создает условия для продуктивной деятельности студентов

Включаются в учебную деятельность, отвечают на вопросы.

создается позиция положительного настроя на уроке

Организация учебного процесса на этапе II.

А теперь попробуйте решить уравнение

cos 2 х — 3 = — 3sin x.

Что у вас получилось? Есть ответы?

— нет ответа; есть ответ, но неправильный; есть правильный ответ.

Студенты выполняют задание, отвечают на вопросы, составляют план решения, выслушивают мнения одногруппников и выбирают наи-лучший

формулирование проблемы (П);

выдвижение гипотез и их

познавательная инициатива (Р);

аргументация своего мнения и позиции в коммуникации

III. Фиксация затруднений.

Цель: организовать фиксацию индивидуальных затруднений в выполнении студентами пробного действия или в его обосновании.

Организация учебного процесса на этапе III.

Вариант первый (нет ответа).

Что вы не смогли сделать? (Не смогли решить это уравнение).

Вариант второй (нет правильных ответов)

Удалось ли получить верный ответ? (Не удалось получить верный ответ).

Вариант третий (есть правильные ответы)

Вы можете объяснить, как вы действовали, и доказать, что действовали правильно? (Нет)

Студенты отвечают на вопросы

осознание и построение речевого высказывания в устной и письменной форме полное и точное выражение своих мыслей

Соответствие с задачами и условиями коммуникации

IV. Выявление причины затруднения (выход в рефлексию).

• организовать восстановление выполненных операций;
• организовать выявление и фиксацию во внешней речи причины затруднения – тех конкретных знаний и умений, которых не достает для решения исходной задачи и задач такого типа вообще.

Цель: организовать анализ студентами возникшей ситуации и на этой основе подвести их к выявлению причины затруднения.

Организация учебного процесса на этапе IV.

В чем причина ваших затруднений? Каких знаний и умений вам не хватает?

(Я не знаю, как решить это уравнение; я раньше не решал такие уравнения; я не знаком с таким видом уравнений; я не знаю способа решения.)

Вы только это (конкретное) уравнение не можете решить или все уравнения, подобные этому?

(Вообще не можем решать такие уравнения.)

Значит, нужно узнать способ решения целого класса подобных уравнений.

критерии для сравнения,

Учет разных мнений координирование

в сотрудничестве разных позиций (К); анализ,

гипотез и их обоснование

связей (П); самостоятельное

решения проблем (П);

аргументация своего мнения (К)

V. Мотивация студентов на освоение новых знаний.

Цель: организовать самоопределение студентов к учебной деятельности.

Организация учебного процесса на этапе V.

Хотите этому научиться? (да) Для чего вам надо уметь решать такого рода уравнения? (Такие уравнения часто встречаются в ЕГЭ, нам надо уметь решать такие уравнения).

Как вы думаете, по силам ли это вам?

(Да, если Вы поможете, мы справимся.)

Дорогу осилит идущий. Так в путь!

Включаются в учебную деятельность,

Рефлексия способов и

условий действия(П); самостоятельный учет

действия в новом учебном материале (Р);

использование общих приемов решения задач

VI. Проектирование выхода из проблемной ситуации: формулирование целей и задач, поиск новых средств и способов решения.

Цель: организовать построение проекта выхода из затруднения:

— студенты ставят цель проекта (целью всегда является устранение причины возникшего затруднения);

— студенты определяют средства;

— студенты формулируют шаги, которые необходимо сделать для реализации поставленной цели.

Организация учебного процесса на этапе VI

Итак, ребята, что тогда будет целью нашего урока?

( освоить знание о способе решения данного класса тригонометрических уравнений и выработать первичное умение решать уравнения такого класса этим способом.)

Что для этого надо сделать?

• составить алгоритм решения уравнений данного класса;
• самостоятельно потренироваться действовать по алгоритму;
• проконтролировать себя;
• выполнить самооценку.

Включаются в учебную деятельность, отвечают на вопросы.

создается позиция положительного настроя на уроке

VII. Реализация построенного проекта.

• Цели: организовать реализацию построенного проекта в соответствии с планом, выбранными способами и средствами;
• организовать фиксацию нового способа действия в речи;
• организовать фиксацию нового способа действия в знаках (с помощью эталона)?
• организовать фиксацию преодоления затруднения;
• организовать уточнение общего характера нового знания (возможность применения нового способа действий для решения всех заданий данного типа).

Организация учебного процесса на этапе VII.

На доске уравнение.

sin 2 x – 3sin x +2 = 0.

1. Предположите, как можно решить это тригонометрическое уравнение? На уравнение какого класса оно похоже? (Оно похоже на квадратное уравнение).
2. Попробуйте разработать план решения (Как вы будете это делать, пошагово) – работа в парах.

Контроль : Как вы действовали? А у кого другое предложение?

Вы разработали план решения конкретного уравнения. А поможет ли этот план решить уравнение cos 2 х — 3 = — 3sin x ? (Нет, не знаю…)

Для решения уравнения этот план надо усовершенствовать. Я помогу вам.

Что общего в тригонометрических уравнениях и в чем различие? Первое уравнение вы не смогли решить, а для второго составили план решения.

На доске уравнения:

cos 2 х — 3 = — 3sin x.

sin 2 x – 3sin x +2 = 0.

Что надо выполнить, чтобы не было этих различий, а сходство оставалось?

Тогда, какие преобразования мы должны сделать и с помощью чего?

Различие устранили, теперь можем использовать наш план действий для решения первого уравнения?

Приступайте к решению данного уравнения (согласно своему плану).

Ребята, вы справились с заданием? Вы преодолели свои затруднения?

На доске уравнения

2 sin 2 x + 3cos x = 0

А при решении этих уравнений можно воспользоваться нашим планом действий?

Тогда каким должен быть первый шаг при решении такого типа тригонометрических уравнений?

( Применить известное тригонометрическое тождество для приведения данного тригонометрического уравнения к квадратному уравнению.)

Каким известным методом?

( Методом введения новой переменной.)

Получили алгоритм, который поможет вам решить целый класс подобных уравнений.

Зарядка для глаз.

Студенты проговаривают пошагово план решения, на слайде фиксируется каждый шаг.