Решить уравнение онлайн методом лагранжа онлайн

Функция Лагранжа

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор используется для нахождения экстремума функции через множители Лагранжа в онлайн режиме (см. пример и пример решения графическим способом). При этом решаются следующие задачи:

1. составляется функция Лагранжа L(X) в виде линейной комбинации функции F(X) и ограничений g_i(x);
2. находятся частные производные функции Лагранжа, ∂L/∂x_i, ∂L/∂λ_i;
3. составляется система из (n + m) уравнений, ∂L/∂x_i = 0.
4. определяются переменные x_i и множители Лагранжа λ_i.

• Шаг №1
• Шаг №2
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Метод множителей Лагранжа применяется как в линейном программировании, так и в нелинейном. В экономике этот метод используется в задаче потребительского выбора.

Правило множителей Лагранжа

Пример 1 . Методом множителей Лагранжа решить следующую задачу оптимизации:
min f(x) = x₁ 2 + x₂ 2
h₁(x) = 2x₁ + x₂ -2 = 0
Соответствующая задача оптимизации без ограничений записывается в следующем виде:
L(x, λ) = x₁ 2 + x₂ 2 + λ(2x₁ + x₂ – 2) → min
Решение:

Для того чтобы проверить, соответствует ли стационарная точка X минимуму, вычислим матрицу Гессе функции L(x, λ), рассматриваемой как функция от x,
,
которая оказывается положительно определенной (2*2 – 0*0 = 4 > 0).
Это означает, что L(x, λ) – выпуклая функция. Следовательно, координаты x * = (-λ, λ/2) определяют точку глобального минимума. Оптимальное значение λ находится путем подстановки значений x₁ * и x₂ * в уравнение ограничений 2x₁ + x₂ -2 = 0, откуда вычисляем значение λ:
2λ + λ/2 = -2, откуда λ = -0.8
Таким образом, минимум достигается в точке x * с координатами x₁ * = 0.8 и x₂ * = 0.4. Значение ЦФ:
min f(x) = 0.8
Ответ: x * = [0.8; 0.4] T , f(x * ) = 0.8

Пример 2 . Исследовать на условный экстремум функцию f(x,y)_max = x 2 + 8xy+3y 2 при данных уравнениях связи.
9x +10y = 29

Интерполяционный многочлен Лагранжа (полином Лагранжа)

Этот онлайн калькулятор строит интерполяционный многочлен Лагранжа для заданного набора точек. Калькулятор также строит график, на который выводит как полином Лагранжа, так и базисные полиномы, интерполирует заданные точки и показывает пошаговое решение.

Этот калькулятор может пригодиться при решении задач на интерполяцию полиномом Лагранжа. В таких задачах обычно требуется интерполировать значение неизвестной функции, соответствующее некоторому значению x, использую формулу интерполяционного многочлена Лагранжа, полученную из известного набора точек со значениями неизвестной функции (x, f(x)).

Калькулятор ниже обладает следующими функциями:

1. Он находит формулу полинома Лагранжа для заданного набора точек.
2. Он отображает пошаговый вывод формулы.
3. Он вычисляет значения интерполяционного многочлена Лагранжа для заданных точек (интерполирует функцию полиномом Лагранжа в заданных точках интерполяции)
4. Он отображает набор точек, значения в точках интерполяции, полином Лагранжа и все базисные полиномы на графике.

Как пользоваться

Сначала вводите набор точек — одна точка на строку в форме x f(x), значения разделены пробелом. Если вы хотите получить интерполяцию, вводите значения точек интерполяции в следующее поле в виде значений x, разделенных пробелом.

По умолчанию, калькулятор отображает формулу многочлена и его значения в точках интерполяции. Если нужно пошаговое решение, включите опцию «Показать пошаговое решение». Также можно отключить отображение базисных полиномов.

Теория и формулы, как обычно, описаны под калькулятором.

Решение дифференциальных уравнений онлайн

Дифференциальным уравнением называется уравнение которое связывает неизвестную функцию и её производные различных порядков:

F ( x , y ‘ , y » , . , y ( n ) ) = 0

Порядком дифференциального уравнения называется порядок его старшей производной. Решить дифференциальное уравнение, значит найти неизвестную функцию , которая обращает это уравнение в верное тождество. Этого можно достичь, изучив теоретический материал по дифференциальным уравнениям, или воспользовавшись нашим онлайн калькулятором.

Наш калькулятор может находить как общее решение дифференциального уравнения, так и частное. Для поиска частного решения, необходимо ввести начальные условия в калькулятор. Для поиска общего решения, поле ввода начальных условий необходимо оставить пустым.