Решить уравнение относительно действительных переменных

Решить уравнение относительно действительных переменных

. Вы вводите его по ссылке решение уравнений онлайн , указываете, что i — это комплексная единица (после того как ввели уравнение и нажали кнопку «решить»), нажимаете кнопку под формой «Обновить» и получаете ответ как здесь. Если в ответе присутствуют корни из комплексных чисел, то можно воспользоваться калькулятором по упрощению комлексных чисел по ссылке

© Контрольная работа РУ — примеры решения задач

Комплексные числа и их приложение к решению уравнений третьей и четвертой степени (стр. 2 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5

Решение. Комплексные числа z1 = (х − 4) + (у2 + 5) и z2 = (у2 + 1) − 3xi будут противоположными, если выполняются условия:

Решая полученную систему, находим :

Задача 10. При каких действительных значениях х и у комплексные числа z1 = 2x2 – yi −1− и z2 = у –3 + х2i – 2i будут равными?

Решение. Комплексные числа z1= (2х2 –1)+ (3 – y)i, z2 = (у–3) + (х2–2)i будут равными, если выполняются условия:

Решая систему, находим:

Ответ : (-1 ; 4) ; (1 ; 4) .

Занятие 4. Действия с комплексными числами в алгебраической форме

Задача 1. Произведите действия с комплексными числами в алгебраической форме:

а) б)

в) г)

Ответ: a) 2 + i ; б) в)

Задача 2. Решите уравнения относительно действительных переменных х и у:

б)

Ответ: a) ;

б) (1;3); (-1;-3);

Задача 3. Найдите значения следующих многочленов:

б) 2x3 + 3 х2у + 3 ху2 + у3 при х = 1 + i ,

у = ;

Ответ: а) 1 ; б) 2 ; в) 6 + 6i .

Замечание. В примерах б) и в) необходимо сначала свернуть формулы куба суммы и куба разности соответственно.

Задача 4. Вычислите следующие квадратные корни:

а) ; б) .

Ответ: а) ; б) .

Задача 5. Решите квадратные уравнения:

Ответ: а) –2 + i ; –3 + i ; в) 1 – i ; 0,8 – 0,4 i ;

Задача 6. Найдите все комплексные числа, каждое из которых сопряжено с самим собой.

Ответ: множество действительных чисел R .

Задача 7. Как связаны между собой два комплексных числа, сумма и произведение которых являются действительными числами?

Ответ: эти числа либо оба действительные, либо сопряжены друг другу.

Задача 8. Найдите все комплексные числа, сопряженные своему кубу.

Занятие 5. Контрольная работа №1

1. Вычислите: .

2. Вычислите двумя способами квадратный: .

3. Решите уравнение: (4 + 3i)2 х + (4 − 3i)2 у = − 7 + 120 i,
считая х и у действительными числами.

4. Решите квадратное уравнение:

5. Зная, что x1 = 2i является корнем кубического уравнения х3 – 3х2 + 4х – 12 = 0, найдите остальные корни данного уравнения.

Глава 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Занятие 6. Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Введем на плоскости прямоугольную

систему координат хОу и поставим в
соответствие каждому комплексному

числу z = а + bi точку плоскости с

координатами (а;b). Полученное

соответствие между всеми

комплексными числами и всеми

точками плоскости взаимно однозначно:

каждому комплексному числу z=а+bi
соответствует одна точка плоскости с
координатами (а;b) , и обратно, каждой

точке плоскости с координатами (а;b)

комплексное число z = а + bi (см. рис. 1).

Таким образом, через z мы будем одновременно обозначать и комплексное число и точку, изображающую это комплексное число.

Комплексное число z=а+bi называется комплексной координатой точки (а;b) .

Поскольку при указанном соответствии действительные числа z = а + 0i изображаются точками оси абсцисс, то ось Ох называется действительной осью. Ось Oу , на которой лежат чисто мнимые числа z = 0 + bi, называется мнимой осью. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Комплексное число z = а + bi может также изображаться вектором с координатами а и b , идущим из начала координат в точку (а;b) (см. рис.1).

Поскольку по определению модуля комплексного числа

,

очевидно, что модуль комплексного числа равен длине вектора .

Рассмотрим произвольный вектор , равный вектору (см. рис.2). Из курса геометрии известно, что равные векторы имеют равные координаты, поэтому координатами вектора также являются числа а и b .

Вектору сопоставим то же самое комплексное число z = a + bi , которое назовем комплексной координатой вектора .

Таким образом, мы приходим к следующему определению: комплексной координатой вектора называется комплексное число z = a + bi .

Примеры действий с комплексными числами, решение уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Решение уравнений с комплексными числами

Задача 1 . Решите уравнение (2 − i) x + (5 + 6i) у = 1 − 3i

относительно действительных переменных х и у.

Решение. Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду a + bi получаем уравнение, равносильное данному:

(2х + 5у ) + (− х + 6у ) i = 1 − 3i .

Так как два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе:

Решая эту систему, получаем : х = ; у = .

Ответ: х = ; у = ; .

Задача 2 . При каких действительных значениях х и у

комплексные числа z1 = x2 + yi − 5 − и z2 = –у – х2 i – 4i будут сопряженными?

Решение. Комплексные числа z1 = (х2 — 5) + (у + 7i) и z2 = (–у) – (х + 4)i будут комплексно сопряженными, если выполняются условия :

Решая полученную систему, находим: х1 = 2 , у1 = 1 ; х2 = −2 , у2 = 1 .

Задача 3. При каких действительных значениях х и у комплексные числа:

z1 = 2×2 – yi −1− и z2 = у –3 + х2i – 2i будут равными?

Решение. Комплексные числа z1= (2х2 –1)+ (3 – y)i, z2 = (у–3) + (х2–2)i будут равными, если выполняются условия:

Решая систему, находим: х1 = −1 , у1 = 4 ; х2 = 1 , у2 = 4 .