Решить уравнение по дискретной математике

Решить уравнение по дискретной математике

Это символы не жёстко привязаны к соотв. операциям, можно использовать другие.

Примеры логических выражений

С применением отрицания

Со знаком «эквивалентно»

Со знаком «следствие»

С применением конъюкции и дизъюнкции

С применением Не-и и Не-или

В калькуляторе вы сможете упростить выражения, содержащие следующие операции: NOT, XOR, AND, OR, NAND, NOR, NOT

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

Дискретная математика — рекуррентное соотношение

В этой главе мы обсудим, как рекурсивные методы могут выводить последовательности и использоваться для решения задач подсчета. Процедура поиска членов последовательности рекурсивным способом называется рекуррентным отношением . Мы изучаем теорию линейных рекуррентных соотношений и их решения. Наконец, мы вводим производящие функции для решения рекуррентных отношений.

Определение

Рекуррентное отношение — это уравнение, которое рекурсивно определяет последовательность, в которой следующий член является функцией предыдущих членов (выражая F n как некоторую комбинацию F i с i n ).

Пример — ряд Фибоначчи — F n = F n − 1 + F n − 2 , Ханойская башня — F n = 2 F n − 1 + 1

Линейные рекуррентные отношения

Линейное рекуррентное уравнение степени k или порядка k — это рекуррентное уравнение в формате x n = A 1 x n − 1 + A 2 x n − 1 + A 3 x n − 1 + d o t s A k x n k ( A n — константа, а A k n e q 0 ) на последовательности чисел как полинома первой степени.

Вот некоторые примеры линейных рекуррентных уравнений —

Как решить линейное рекуррентное соотношение

Предположим, что два упорядоченных линейных рекуррентных соотношения имеют вид — F n = A F n − 1 + B F n − 2 , где A и B — действительные числа.

Характеристическое уравнение для вышеуказанного рекуррентного соотношения —

x 2 − A x e − B = 0

Три случая могут возникнуть при поиске корней —

Случай 1 — Если это уравнение учитывается как ( x − x 1 ) ( x − x 1 ) = 0 и оно дает два различных реальных корня x 1 и x 2 , то F n = a x n 1 + b x n 2 является решение. [Здесь a и b являются константами]

Случай 2 — Если это уравнение вычисляется как ( x − x 1 ) 2 = 0 , и оно порождает один действительный корень x 1 , то решением является F n = a x n 1 + b n x n 1 .

Случай 3 — Если уравнение дает два различных комплексных корня, x 1 и x 2 в полярной форме x 1 = r a n g l e t h e t a и x 2 = r a n g l e ( − t h e t a ) , то F n = r n ( a c o s ( n t h e t a ) + b s i n ( n t h e t a ) ) является решением.

Решите рекуррентное соотношение F n = 5 F n − 1 − 6 F n − 2 , где F 0 = 1 и F 1 = 4 .

Характеристическое уравнение рекуррентного соотношения —

Итак, ( x − 3 ) ( x − 2 ) = 0

x 1 = 3 и x 2 = 2

Корни реальны и различны. Итак, это в форме дела 1

F n = a x n 1 + b x n 2

Здесь F n = a 3 n + b 2 n ( A s x 1 = 3 a n d x 2 = 2 )

1 = F 0 = a 3 0 + b 2 0 = a + b

4 = F 1 = a 3 1 + b 2 1 = 3 a + 2 b

Решая эти два уравнения, мы получаем a = 2 и b = − 1

Следовательно, окончательное решение —

$$ F_n = 2,3 ^ n + (-1). 2 ^ n = 2,3 ^ n — 2 ^ n $$

Решите рекуррентное соотношение — F n = 10 F n − 1 − 25 F n − 2 , где F 0 = 3 и F 1 = 17 .

Характеристическое уравнение рекуррентного соотношения —

x 2 − 10 x − 25 = 0

Итак, ( x − 5 ) 2 = 0

Следовательно, существует один действительный корень x 1 = 5

Поскольку существует единый действительный корень, он имеет вид случая 2

F n = a x n 1 + b n x n 1

3 = F 0 = a .5 0 + b .0 .5 0 = a

17 = F 1 = a .5 1 + b .1 .5 1 = 5 a + 5 b

Решая эти два уравнения, мы получаем a = 3 и b = 2 / 5

Следовательно, окончательное решение — F n = 3.5 n + ( 2 / 5 ) . n .2 n

Решите рекуррентное соотношение F n = 2 F n − 1 − 2 F n − 2 , где F 0 = 1 и F 1 = 3

Характеристическое уравнение рекуррентного соотношения —