Решить уравнение по линейной алгебре матрица

Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.

Используя этот онлайн калькулятор для решения систем линейных уравнений (СЛУ) матричным методом (методом обратной матрицы), вы сможете очень просто и быстро найти решение системы.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для решения систем линейных уравнений матричным методом (методом обратной матрицы), вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на решения систем линейных уравнений, а также закрепить пройденный материал.

Решить систему линейных уравнений матричным методом

Изменить названия переменных в системе

Заполните систему линейных уравнений:

Ввод данных в калькулятор для решения систем линейных уравнений матричным методом

• В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
• Для изменения в уравнении знаков с «+» на «-» вводите отрицательные числа.
• Если в уравнение отсутствует какая-то переменная, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите ноль.
• Если в уравнение перед переменной отсутствуют числа, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите единицу.

Например, линейное уравнение x ₁ — 7 x ₂ — x ₄ = 2

будет вводится в калькулятор следующим образом:

Дополнительные возможности калькулятора для решения систем линейных уравнений матричным методом

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево», «вправо», «вверх» и «вниз» на клавиатуре.
• Вместо x ₁, x ₂, . вы можете ввести свои названия переменных.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Решение задач по линейной алгебре

Линейная алгебра: определение, объекты, инструменты

Линейная алгебра – это раздел алгебры, в котором изучаются объекты линейной природы, в частности:

• линейные отображения;
• векторные пространства;
• системы линейных уравнений.

Истоки элементов линейной алгебры относятся к временам Евклида. Различные методы линейной алгебры применялись также у древних вавилонян и древних китайцев.

Основными инструментами, которые применяются в линейной алгебре, являются матрицы, определители матриц, а также сопряжение.

Изучение перечисленных выше объектов образует соответствующие разделы линейной алгебры. Не секрет, что наиболее простым будет раздел, в котором изучаются системы линейных уравнений, методы их решения. Линейные отображения и векторные пространства более сложны для изучения и понимания и, как правило, изучаются на физико-математических факультетах.

Изучение систем линейных уравнений и методов их решения включает рассмотрение следующих понятий:

• матрицы;
• определители;
• операции над матрицами;
• системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), их виды;
• методы решения СЛАУ.

В данной статье остановим свое внимание именно на выделенном разделе линейной алгебры. Однако не будем сильно вдаваться в теорию, поскольку данная статья не является учебником по линейной алгебре; рассмотрим кратко и только основное, чтобы иметь первоначальное представление о том, с чем приходится иметь дело.

Линейная алгебра: основные понятия и формулы

Матрица – это система элементов (функций, чисел и др. величин), которые расположены в виде прямоугольной таблицы. Общий вид записи матрицы представлен ниже:

Произвольный элемент матрицы обозначается через a_ij (элемент i-й строки и j-го столбца). Тем, кто знаком с основами алгоритмизации и программирования, будет проще, если сравнить матрицу с двумерным массивом данных (в частном случае с одномерным массивом). Матрица имеет размерность, определяемую количеством строк и столбцов.

Основными действиями над матрицами являются:

• сравнение (для матриц одинаковой размерности):
  
• сложение и вычитание (для матриц одинаковой размерности):
  
• умножение (количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы):
  

• транспонирование:
  
• обращение:
  

При нахождении обратной матрицы появляются определитель и алгебраические дополнения, подробнее о которых можно прочитать в любом учебнике по линейной алгебре.

Итак, зная перечисленные формулы, можно смело приступать к их применению, например, при решении СЛАУ вида:

где — заданные числа, а x _j — неизвестные.

При решении систем линейных уравнений, как правило, используют следующие методы:

• метод Крамера (или формулы Крамера);
• метод Гаусса (реже метод Жордана-Гаусса);
• метод обратной матрицы.

Метод Крамера основан на вычислении определителей матриц, название метода обратной матрицы говорит само за себя. Оба метода применяются в основном при решении систем двух (трех) уравнений с двумя (тремя) неизвестными, что связано с проблематичностью и громоздкостью вычислений определителей и обратных матриц размерности больше трех.

В отличие от предыдущих методов метод Гаусса достаточно легко применяется и для систем с большим числом неизвестных.

В данной статье не будем рассматривать теорию перечисленных методов, а представление о них дадим на соответствующих примерах.

Линейная алгебра: примеры решения задач

Рассмотрим несколько простейших задач из курса линейной алгебры.

Пример 1. Вычислить определитель а) по формуле Саррюса и б) путем разложения по элементам строки: .
Решение:
а)

б)
Ответ: Δ = 12 .

Пример 2. Даны две матрицы и . Требуется найти матрицу C = A + 4B .
Решение:

Ответ: .

Пример 3. Решить СЛАУ, используя формулы Крамера:
Решение:
Формулы Крамера:

Вычислим все необходимые определители:

Следовательно,

Ответ: x = 3 , y = 1 , z = -1 .

Пример 4. Решить СЛАУ методом обратной матрицы:
Решение:
Запишем систему уравнений в матричном виде:

AX = B , где

Решение уравнения найдем по формулам:

Найдем обратную матрицу:

.
.
.
.
.
.
.
.
.

— обратная матрица к A.

Ответ:

Заключение

Здесь будет правильным привести примерный список учебников для изучения курса линейной алгебры:

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учеб. Для вузов – 4-е изд. – М. Наука, 1999. – 296 с.
2. Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3-е изд. – М.: Наука, 1970.

Решение линейной алгебры на заказ

Заказать решение задач по линейной алгебре можно здесь. Достаточно просто заполнить форму заказа.

Линейная алгебра

Линейная алгебра – специализированный раздел математики, предназначенный для изучения алгебраическими методами при помощи матриц, сопряжений и определителей систем линейных уравнений, линейных и векторных пространств.

Методы линейной алгебры являются универсальными, они применяются при решении задач, относящихся к другим разделам математики. В частности, в функциональном анализе в применении к линейным пространствам с особыми бесконечномерными свойствами задействуются не только методики математического анализа, но и инструментарий линейной алгебры.

Линейная алгебра находит применение в эконометрике, квантовой механике и иных естественных науках. Ее методы с увеличением технических возможностей компьютерной техники все более широко используются в линейном программировании различных приложений, используемых при решении разнообразных производственных, транспортных, логистических и иных практических задач.