Решить уравнение при помощи функций

Как решать
показательные уравнения?

Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Это поможет решить задания №5, 13 и 15 из профильного уровня математики.

Одна из их разновидностей – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие переменной \(х\) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:

Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:

Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение \(х\). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.

И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:

И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением. Кроме самой показательной функции в уравнении могут быть любые другие математические конструкции – тригонометрические функции, логарифмы, корни, дроби и т.д. Если вы видите степень, значит перед вам показательное уравнение.

Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.

Простейшие показательные уравнения

Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:

Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо \(х\) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:

Значит, если \(х=3\), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.

Решим что-нибудь посложнее.

Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:

Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:

Теперь наше уравнение будет выглядеть так:

Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны \(3\), только вот степени разные – слева степень \((4х-1)\), а справа \((-2)\). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:

Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.

Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.

Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что \(125=5*5*5=5^3\), а \(25=5*5=5^2\), подставим:

Воспользуемся одним из свойств степеней \((a^n)^m=a^\):

И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:

И еще один пример:

Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить \(2\) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.

Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.

Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.

Общий метод решения показательных уравнений

Пусть у нас есть вот такой пример:

Где \(a,b\) какие-то положительные числа. (\(a>0, \; b>0\).

Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.

Слева у нас уже стоит \(a^x\), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число \(b\), которое нужно попытаться представить в виде \(b=a^m\). Тогда уравнение принимает вид:

Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:

Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:

Замечаем, что \(16=2*2*2*2=2^4\) это степень двойки:

Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:

$$x=4.$$
Пример 6 $$5^<-x>=125 \Rightarrow 5^<-x>=5*5*5 \Rightarrow 5^<-x>=5^3 \Rightarrow –x=3 \Rightarrow x=-3.$$
Пример 7 $$9^<4x>=81 \Rightarrow (3*3)^<4x>=3*3*3*3 \Rightarrow(3^2)^<4x>=3^4 \Rightarrow 3^<8x>=3^4 \Rightarrow 8x=4 \Rightarrow x=\frac<1><2>.$$

Здесь мы заметили, что \(9=3^2\) и \(81=3^4\) являются степенями \(3\).

Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:

\(3\) и \(2\) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число \(b>0\), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице \(a>0, \; a \neq 1\):

Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим \(2\) в виде \(3\) в какой-то степени, где \(a=3\), а \(b=2\):

Подставим данное преобразование в наш пример:

Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:

Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.

Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.

Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.

Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:

Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.

И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\).

Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:

Решение показательных уравнений при помощи замены

Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.

Здесь это сделать легко, замечаем, что \(9=3^2\), тогда \(9^x=(3^2)^x=3^<2x>=(3^x)^2\). Здесь мы воспользовались свойством степеней: \((a^n)^m=a^\). Подставим:

Обратим внимание, что во всем уравнении все \(х\) «входят» в одинаковую функцию — \(3^x\). Сделаем замену \(t=3^x, \; t>0\), так как показательная функция всегда положительна.

Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:

И второй корень:

И еще один пример на замену:

Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание \(3\). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Но если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член \(3=2+1\) и вынести общий множитель \(2\):

Подставим в исходное уравнение:

Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:

Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:

И второе значение \(t\):

Тут у нас две показательные функции с основаниями \(7\) и \(3\), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на \(3^x\):

Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:

Разберем каждое слагаемое:

Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:

Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену \(t=(\frac<7><3>)^x\):

Сделаем обратную замену:

И последний пример на замену:

Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:

Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:

Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны — отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!

И последнее слагаемое со степенью:

Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:

Теперь можно сделать замену \(t=2^x\) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель \(2^x\)):

Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера. Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.

И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут

Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании \(2\), \(5\) и \(10\). Очевидно, что \(10=2*5\). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:

Воспользуемся формулой \((a*b)^n=a^n*b^n\):

И перекинем все показательные функции с основанием \(2\) влево, а с основанием \(5\) вправо:

Сокращаем и воспользуемся формулами \(a^n*a^m=a^\) и \(\frac=a^\):

Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.

Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!

Применение свойств функций для решения уравнений

В работе рассматриваются сособы решения уравнений с использованием свойств и характеристик функций: монотонности, ограниченности, области определенийи области значений функции.

Просмотр содержимого документа
«Применение свойств функций для решения уравнений»

II. Применение свойств функций для решения уравнений

Использование ОДЗ для решения уравнений .………….. 2стр

Монотонность функции и наличие корней уравнении…. 3стр

Используемая литература………………………………………. 10 стр

Найти и освоить приемы решения уравнений способами, позволяющими значительно сократить время нахождения корней уравнений.

В ходе сбора и изучения информации по данной теме, были найдены и изучены рациональные приемы решения уравнений с применением свойств монотонности, ограниченности функций, а также области определения и значений функций, позволяющие эффективно (практически устно) решать некоторые виды уравнений, рассмотренных в качестве примеров в нашей работе.

В наших школьных учебниках алгебры в основном изучаются такие методы и приемы решения уравнений как возведение в степень, замена переменной, применение тождественных преобразований, Но использование этих способов при решении некоторых видов уравнений приводит к довольно долгим и сложным преобразованиям, особенно если уравнения в левой и правой части которой находятся функции, имеющие различную природу.

В ходе наших поисков мы познакомились с одним из эффективных способов решения уравнений вида f(x)=g(x), который и демонстрируем в нашей работе. Это способ решения уравнений с использованием свойств функций.

Начнем с уравнений, которые можно решить, используя область определения функции или область допустимых значений переменной. Напомним, что множество значений переменной, при которых обе части данного уравнения (или неравенства) имеют смысл называют областью допустимых значений уравнения или неравенства. Рассмотрим такие уравнения, которые можно решить просто найдя ОДЗ.

​​​ = 3−x

Пусть f(x) = . Тогда D (f) определяется неравенством 2х – 6≥ 0, т.е. x≥3, а E(f) = [0; +∞ )

Значит правая часть уравнения должна быть неотрицательной, т.е. должно выполнятся условие 3−x ≥ 0, тогда x ≤ 3. Определяется системой двух неравенств: x≥3 и x ≤ 3. Получаем, что ОДЗ уравнения: х=3.Легко видеть, что 3 будет корнем исходного уравнения.

Приведем еще один пример уравнения:

​​+​ ​​​= 27x−15

Решение: Найдем ОДЗ, решив систему неравенств

Решая неравенства этой системы получим А эта система имеет решение х=5. Таким образом, уравнение имеет смысл только при одном значении переменной. Подставив x=5 в уравнение, убеждаемся, что получаем верное равенство. Значит 5 – корень данного уравнения.

Монотонность функции и наличие корней уравнения.

Рассмотрим как применяются такое свойство функции как монотонность. Для успешного решения уравнения этим способом необходимо знать следующие утверждения: 1) если функция f (х) на некотором промежутке возрастает, а функция g(х) убывает на этом же промежутке, то уравнение f(х) = g(х) имеет на этом промежутке не более одного корня; 2) Если на некотором промежутке функция f(x) возрастает (или убывает), то уравнение f(x)=a на этом промежутке имеет единственный корень либо не имеет корней (a — постоянная величина (число)). Применение свойства продемонстрируем на следующих примерах:

1) x 1991 +1 =

1) В левой части этого уравнения стоит возрастающая функция на на R
в правой – убывающая на (-∞;5].
Если уравнение и будет иметь корень, то только на промежутке (-∞;5]. Легко заметить, что этот корень 1, и он, согласно теореме, единственный.

2) 5x 19 + 4x 3 +3х=12. Функция, стоящая в левой части уравнения является возрастающей (как сумма возрастающих функций). Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что x=1.

3) +=2. Областью определения функции, стоящей в левой части, является промежуток [-1; ∞). На этом промежутке функция возрастает. Следовательно, корень, равный -1 – единственный.

4) 2 x 15 + 3x=5/х. Функция f(x) = 5/х на каждом из промежутков (-∞;0) и (0:∞) убывает, а функция g (х) = 2 x 15 + 3x возрастает на каждом из них, поэтому наше уравнение на каждом из этих промежутков имеет не более одного корня. Убеждаемся, что это числа 1 и -1.

5) 2= 9/х – 1.Функция f(x)= 2 на промежутке [ 2; ∞) возрастает, а функция g (х) = 9/х – 1 на этом же промежутке убывает, значит уравнение имеет не более одного корня на этом промежутке. И этот корень равен 3.

6) найти положительные корни уравнения

Функция возрастает на R. g (х)=
Убывает на промежутке [ 0; ∞). Следовательно, на промежутке [ 0; ∞) уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим что х =1.

Функция возрастает на(0; ∞) . а функция g (х)= на этом промежутке убывает. Значит, уравнение будет иметь корни только на промежутке (0; ∞). Подбором находим корень уравнения –это число 2.

Рассмотрим, как можно применить к решению уравнений такое свойство функции как ограниченность. Метод, с помощью которого решаются уравнения с применением ограниченности функции, получил название метода мажорант. Ну, а само название метода происходит от французского слова majorer — объявлять большим. Мажорантой данной функции f(х) на множестве Р, называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех х ϵ Р, либо f(х) ≥ М для всех х ϵ Р. Основная идея метода состоит в следующем: Пусть имеется уравнение f(х) = g(х) и существует такое такое число М, что для любого х из области определения f(х) и g(х) имеем f(х) ≤ М и g(х) ≥ М. Тогда уравнение f(х) = g(х) равносильно системе Метод применим к уравнениям, в которых используются ограниченные фукции, т. е. функции, множество значений которых ограниченно. Вот некоторые из них:

1. -1≤sinx≤1 или ≤1

2. -1≤cosx≤1 или ≤1

3.

4.

5.

6.

Применение метода рассмотрим на следующих примерах.

1) Решим уравнение: + =0.

4и 10 степени – это четные числа, значит и при любом значении x. Тогда наше уравнение будет равносильно системе уравненийПервое уравнение имеет единственный корень – это число3, значит, если система и будет иметь решение, то не более одного. Проверкой убеждаемся, что3 является корнем и второго уравнения системы, а следовательно и исходного уравнения.

Заменим левую часть уравнения логарифмом, используя свойство разности логарифмов:

Представим дробь в виде , и используя неравенство Коши оценим подлогарифмическое выражение. Получаем (x + ) ≥ 4, а значит

log₂ (x + ) ≥ 2. Таким образом, левая часть уравнения не меньше 2.

Рассмотрим правую часть уравнения. В правой части содержится квадратный трехчлен, поэтому выделив из него квадрат двучлена приходим к выводу, что данное выражение принимает значения не больше 2:

4 x – x 2 – 2 = – x 2 + 4 x – 2 = – ( – 4 x + 4 – 2) = – (x — 2) 2 + 2 = 2 – ( x — 2) 2

Получили, что правая часть уравнения не больше 2, т.к. (x — 2) 2 ≥ 0 при любых х. Значит, равенство левой и правой частей уравнения достигается, если они одновременно равны 2.

Из первого уравнения системы находим корень х = 2. Убеждаемся, что этот корень удовлетворяет и второму уравнению системы. Следовательно, решением исходного уравнения будет х = 2.

3) Решить уравнение:

В левой части уравнения стоит тригонометрическая функция, а в правой – сумма показательных. Формул, позволяющих находить корни в таких случаях, не существует. Оценим каждую из частей уравнения. Очевидно, что левая часть уравнения не больше 2. И так как

Поскольку 0, то причем равенство достигается только при x = 0. В данном случае

Получили, что левая часть уравнения не больше двух, а правая часть – больше или равняется двум. Таким образом, уравнение имеет решение, только если имеет решение система уравнений:

Проверкой убеждаемся, что x=0 – корень уравнения: . Значит число 0 – корень исходного уравнения. Получили ответ: x = 0.

Рассмотрим решение еще одного уравнения:

Рассмотрим две функции

Уравнение имеет решение, если наибольшее значение функции f(х) равно наименьшему значению функции g(х). Таким образом, уравнение имеет решение, только если обе части равны 2. И наше уравнение равносильно системе:

Решим первое уравнение системы:

Подставив данный корень во второе уравнение системы, получим верное равенство. Значит, решением исходного уравнения будут числа вида .

Функция y= (квадратичная функция) имеет наименьшее значение при , равное y(2)=4

Функция у= является возрастающей и, следовательно, принимает наименьшее значение при x=2

Правая часть уравнения, в силу ограниченности функции принимает значения не больше 2, поэтому исходное уравнение равносильно системе:

Так как 2-корень первого уравнения, то убедимся, что число 2-корень второго уравнения. Получаем:

Таким образом, 2-корень исходного уравнения.

Рассмотренные нами примеры могли быть решены и другими методами, но традиционные методы в данных конкретных примерах достаточно трудоемки. В нашей работе мы постарались продемонстрировать применение некоторых нестандартных приемов решения уравнений, основанных на свойствах и характеристиках функций. Планируем продолжить изучение нетрадиционных и эффективных приемов решения уравнений.

Решение уравнений с помощью монотонности функций

Решение уравнений с помощью монотонности функций позволяет быстро и просто найти корень уравнения (либо доказать, что уравнение корней не имеет).

Использование возрастания и убывания функций при решении уравнений опирается на следующие теоремы.

1) Если на некотором промежутке функция f(x) возрастает (или убывает), то уравнение f(x)=a на этом промежутке имеет единственный корень либо не имеет корней (a — постоянная величина (число)).

2) Если на некотором промежутке функция f(x) возрастает, а функция g(x) убывает (либо наоборот), то уравнение f(x)=g(x) на этом промежутке имеет единственный корень либо не имеет корней.

Доказав, что уравнение имеет на промежутке не более чем один корень, можно попытаться определить его подбором.

Если функция имеет несколько промежутков возрастания и убывания, каждый из них следует рассмотреть отдельно.

Сумма возрастающих функций — возрастающая функция. Сумма убывающих функций — убывающая функция.

Прибавление или вычитание постоянной величины не влияет на монотонность функции. Если к возрастающей функции прибавить (или вычесть) постоянную величину, получим возрастающую функцию. Если к убывающей функции прибавить (или вычесть) постоянную величину, получим убывающую функцию.

Таким образом, использование монотонности функций при решении уравнений схематически можно изобразить так:

то уравнение имеет единственный корень или не имеет корней.

Разумеется, количество слагаемых может быть больше двух.

Некоторые функции, возрастающие на всей области определения либо на каждом из промежутков, из объединения которых состоит область определения (k>0, b≥0, n — целое):

1),y = <\log _a>x(a > 1),\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Некоторые функции, убывающие на всей области определения либо на каждом из промежутков, из объединения которых состоит область определения:

1),y = — <\log _a>x(a > 1),\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Примеры решения уравнений с помощью использования монотонности функций.

Перепишем уравнение в виде

является возрастающей (как сумма возрастающих функций). Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что x=1.

На промежутке (-∞;0) функция

— убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим x= -1.

Аналогично, на промежутке (0:∞)

— убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим x=1.

В алгебре решение уравнений с применением возрастания и убывания функций чаше всего используется при решении иррациональных, логарифмических, показательных уравнений. Полезно взять на вооружение этот удобный и быстрый способ.

2 комментария

Добрый день. Вот это схематическое изображение монотонности очень интересно, но там не все понятно. Что вы подразумеваете под знаками равно и минус? И вот это: сумма убывающих_возрастающая? Буду благодарна комментариям

Елена, «=» — знак равенства между левой и правой частями уравнения.
Сумма убывающих функций — убывающая функция. Соответственно, одна часть уравнения — убывающая функция, а другая — возрастающая, то применима вторая теорема.
Аналогично, сумма возрастающих функций есть возрастающая функция. Если с одной стороны — возрастающая функция, с другой — убывающая, можем применить первую теорему.
Если к монотонно возрастающей функции прибавить число (или вычесть), то это никак не повлияет на её монотонность (это наглядно можно продемонстрировать графически: график функции y=f(x)±b получен из графика y=f(x) параллельным переносом на b единиц вверх или вниз вдоль оси Oy). Поэтому, если в одной части уравнения — монотонно возрастающая функция ± число, а в другой — монотонно убывающая функция, можем применить теорему два. И т.д.