Решить уравнение производная сложной функции

Производная сложной функции

Функции сложного вида не всегда подходят под определение сложной функции. Если имеется функция вида y = sin x — ( 2 — 3 ) · a r c t g x x 5 7 x 10 — 17 x 3 + x — 11 , то ее нельзя считать сложной в отличие от y = sin 2 x .

Данная статья покажет понятие сложной функции и ее выявление. Поработаем с формулами нахождения производной с примерами решений в заключении. Применение таблицы производных и правила дифференцирования заметно уменьшают время для нахождения производной.

Основные определения

Сложной функцией считается такая функция, у которой аргумент также является функцией.

Обозначается это таким образом: f ( g ( x ) ) . Имеем, что функция g ( x ) считается аргументом f ( g ( x ) ) .

Если есть функция f и является функцией котангенса, тогда g ( x ) = ln x – это функция натурального логарифма. Получаем, что сложная функция f ( g ( x ) ) запишется как arctg(lnx). Или функция f , являющаяся функцией возведенной в 4 степень, где g ( x ) = x 2 + 2 x — 3 считается целой рациональной функцией, получаем, что f ( g ( x ) ) = ( x 2 + 2 x — 3 ) 4 .

Очевидно, что g ( x ) может быть сложной. Из примера y = sin 2 x + 1 x 3 — 5 видно, что значение g имеет кубический корень с дробью. Данное выражение разрешено обозначать как y = f ( f 1 ( f 2 ( x ) ) ) . Откуда имеем, что f – это функция синуса, а f 1 — функция, располагаемая под квадратным корнем, f 2 ( x ) = 2 x + 1 x 3 — 5 — дробная рациональная функция.

Степень вложенности определено любым натуральным числом и записывается как y = f ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( . . . ( f n ( x ) ) ) ) ) ) .

Понятие композиция функции относится к количеству вложенных функций по условию задачи. Для решения используется формула нахождения производной сложной функции вида

( f ( g ( x ) ) ) ‘ = f ‘ ( g ( x ) ) · g ‘ ( x )

Примеры

Найти производную сложной функции вида y = ( 2 x + 1 ) 2 .

По условию видно, что f является функцией возведения в квадрат, а g ( x ) = 2 x + 1 считается линейной функцией.

Применим формулу производной для сложной функции и запишем:

f ‘ ( g ( x ) ) = ( ( g ( x ) ) 2 ) ‘ = 2 · ( g ( x ) ) 2 — 1 = 2 · g ( x ) = 2 · ( 2 x + 1 ) ; g ‘ ( x ) = ( 2 x + 1 ) ‘ = ( 2 x ) ‘ + 1 ‘ = 2 · x ‘ + 0 = 2 · 1 · x 1 — 1 = 2 ⇒ ( f ( g ( x ) ) ) ‘ = f ‘ ( g ( x ) ) · g ‘ ( x ) = 2 · ( 2 x + 1 ) · 2 = 8 x + 4

Необходимо найти производную с упрощенным исходным видом функции. Получаем:

y = ( 2 x + 1 ) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Отсюда имеем, что

y ‘ = ( 4 x 2 + 4 x + 1 ) ‘ = ( 4 x 2 ) ‘ + ( 4 x ) ‘ + 1 ‘ = 4 · ( x 2 ) ‘ + 4 · ( x ) ‘ + 0 = = 4 · 2 · x 2 — 1 + 4 · 1 · x 1 — 1 = 8 x + 4

При решении задач такого вида важно понимать, где будет располагаться функция вида f и g ( x ) .

Следует найти производные сложных функций вида y = sin 2 x и y = sin x 2 .

Первая запись функции говорит о том, что f является функцией возведения в квадрат, а g ( x ) – функцией синуса. Тогда получим, что

y ‘ = ( sin 2 x ) ‘ = 2 · sin 2 — 1 x · ( sin x ) ‘ = 2 · sin x · cos x

Вторая запись показывает, что f является функцией синуса, а g ( x ) = x 2 обозначаем степенную функцию. Отсюда следует, что произведение сложной функции запишем как

y ‘ = ( sin x 2 ) ‘ = cos ( x 2 ) · ( x 2 ) ‘ = cos ( x 2 ) · 2 · x 2 — 1 = 2 · x · cos ( x 2 )

Формула для производной y = f ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( . . . ( f n ( x ) ) ) ) ) ) запишется как y ‘ = f ‘ ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( . . . ( f n ( x ) ) ) ) ) ) · f 1 ‘ ( f 2 ( f 3 ( . . . ( f n ( x ) ) ) ) ) · · f 2 ‘ ( f 3 ( . . . ( f n ( x ) ) ) ) · . . . · f n ‘ ( x )

Найти производную функции y = sin ( ln 3 a r c t g ( 2 x ) ) .

Данный пример показывает сложность записи и определения расположения функций. Тогда y = f ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) ) обозначим, где f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 ( x ) является функцией синуса, функцией возведения в 3 степень, функцией с логарифмом и основанием е , функцией арктангенса и линейной.

Из формулы определения сложной функции имеем, что

y ‘ = f ‘ ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) ) · f 1 ‘ ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) · · f 2 ‘ ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) · f 3 ‘ ( f 4 ( x ) ) · f 4 ‘ ( x )

Получаем, что следует найти

1. f ‘ ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) ) в качестве производной синуса по таблице производных, тогда f ‘ ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) ) = cos ( ln 3 a r c t g ( 2 x ) ) .
2. f 1 ‘ ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) в качестве производной степенной функции, тогда f 1 ‘ ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) = 3 · ln 3 — 1 a r c t g ( 2 x ) = 3 · ln 2 a r c t g ( 2 x ) .
3. f 2 ‘ ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) в качестве производной логарифмической, тогда f 2 ‘ ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) = 1 a r c t g ( 2 x ) .
4. f 3 ‘ ( f 4 ( x ) ) в качестве производной арктангенса, тогда f 3 ‘ ( f 4 ( x ) ) = 1 1 + ( 2 x ) 2 = 1 1 + 4 x 2 .
5. При нахождении производной f 4 ( x ) = 2 x произвести вынесение 2 за знак производной с применением формулы производной степенной функции с показателем, который равняется 1 , тогда f 4 ‘ ( x ) = ( 2 x ) ‘ = 2 · x ‘ = 2 · 1 · x 1 — 1 = 2 .

Производим объединение промежуточных результатов и получаем, что

y ‘ = f ‘ ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) ) · f 1 ‘ ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) · · f 2 ‘ ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) · f 3 ‘ ( f 4 ( x ) ) · f 4 ‘ ( x ) = = cos ( ln 3 a r c t g ( 2 x ) ) · 3 · ln 2 a r c t g ( 2 x ) · 1 a r c t g ( 2 x ) · 1 1 + 4 x 2 · 2 = = 6 · cos ( ln 3 a r c t g ( 2 x ) ) · ln 2 a r c t g ( 2 x ) a r c t g ( 2 x ) · ( 1 + 4 x 2 )

Разбор таких функций напоминает матрешки. Правила дифференцирования не всегда могут быть применены в явном виде при помощи таблицы производных. Зачастую нужно применять формулу нахождения производных сложных функций.

Существуют некоторые различия сложного вида от сложных функций. При явном умении это различать, нахождение производных будет давать особенно легко.

Необходимо рассмотреть на приведении подобного примера. Если имеется функция вида y = t g 2 x + 3 t g x + 1 , тогда ее можно рассмотреть в качестве сложной вида g ( x ) = t g x , f ( g ) = g 2 + 3 g + 1 . Очевидно, что необходимо применение формулы для сложной производной:

f ‘ ( g ( x ) ) = ( g 2 ( x ) + 3 g ( x ) + 1 ) ‘ = ( g 2 ( x ) ) ‘ + ( 3 g ( x ) ) ‘ + 1 ‘ = = 2 · g 2 — 1 ( x ) + 3 · g ‘ ( x ) + 0 = 2 g ( x ) + 3 · 1 · g 1 — 1 ( x ) = = 2 g ( x ) + 3 = 2 t g x + 3 ; g ‘ ( x ) = ( t g x ) ‘ = 1 cos 2 x ⇒ y ‘ = ( f ( g ( x ) ) ) ‘ = f ‘ ( g ( x ) ) · g ‘ ( x ) = ( 2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Функция вида y = t g x 2 + 3 t g x + 1 не считается сложной, так как имеет сумму t g x 2 , 3 t g x и 1 . Однако, t g x 2 считается сложной функцией, то получаем степенную функцию вида g ( x ) = x 2 и f , являющуюся функцией тангенса. Для этого следует продифференцировать по сумме. Получаем, что

y ‘ = ( t g x 2 + 3 t g x + 1 ) ‘ = ( t g x 2 ) ‘ + ( 3 t g x ) ‘ + 1 ‘ = = ( t g x 2 ) ‘ + 3 · ( t g x ) ‘ + 0 = ( t g x 2 ) ‘ + 3 cos 2 x

Переходим к нахождению производной сложной функции ( t g x 2 ) ‘ :

f ‘ ( g ( x ) ) = ( t g ( g ( x ) ) ) ‘ = 1 cos 2 g ( x ) = 1 cos 2 ( x 2 ) g ‘ ( x ) = ( x 2 ) ‘ = 2 · x 2 — 1 = 2 x ⇒ ( t g x 2 ) ‘ = f ‘ ( g ( x ) ) · g ‘ ( x ) = 2 x cos 2 ( x 2 )

Получаем, что y ‘ = ( t g x 2 + 3 t g x + 1 ) ‘ = ( t g x 2 ) ‘ + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 ( x 2 ) + 3 cos 2 x

Функции сложного вида могут быть включены в состав сложных функций, причем сами сложные функции могут являться составными функции сложного вида.

Для примера рассмотрим сложную функцию вида y = log 3 x 2 + 3 cos 3 ( 2 x + 1 ) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x · ( x 2 + 1 )

Данная функция может быть представлена в виде y = f ( g ( x ) ) , где значение f является функцией логарифма по основанию 3 , а g ( x ) считается суммой двух функций вида h ( x ) = x 2 + 3 cos 3 ( 2 x + 1 ) + 7 e x 2 + 3 3 и k ( x ) = ln 2 x · ( x 2 + 1 ) . Очевидно, что y = f ( h ( x ) + k ( x ) ) .

Рассмотрим функцию h ( x ) . Это отношение l ( x ) = x 2 + 3 cos 3 ( 2 x + 1 ) + 7 к m ( x ) = e x 2 + 3 3

Имеем, что l ( x ) = x 2 + 3 cos 2 ( 2 x + 1 ) + 7 = n ( x ) + p ( x ) является суммой двух функций n ( x ) = x 2 + 7 и p ( x ) = 3 cos 3 ( 2 x + 1 ) , где p ( x ) = 3 · p 1 ( p 2 ( p 3 ( x ) ) ) является сложной функцией с числовым коэффициентом 3 , а p 1 — функцией возведения в куб, p 2 функцией косинуса, p 3 ( x ) = 2 x + 1 — линейной функцией.

Получили, что m ( x ) = e x 2 + 3 3 = q ( x ) + r ( x ) является суммой двух функций q ( x ) = e x 2 и r ( x ) = 3 3 , где q ( x ) = q 1 ( q 2 ( x ) ) — сложная функция, q 1 — функция с экспонентой, q 2 ( x ) = x 2 — степенная функция.

Отсюда видно, что h ( x ) = l ( x ) m ( x ) = n ( x ) + p ( x ) q ( x ) + r ( x ) = n ( x ) + 3 · p 1 ( p 2 ( p 3 ( x ) ) ) q 1 ( q 2 ( x ) ) + r ( x )

При переходе к выражению вида k ( x ) = ln 2 x · ( x 2 + 1 ) = s ( x ) · t ( x ) видно, что функция представлена в виде сложной s ( x ) = ln 2 x = s 1 ( s 2 ( x ) ) с целой рациональной t ( x ) = x 2 + 1 , где s 1 является функцией возведения в квадрат, а s 2 ( x ) = ln x — логарифмической с основанием е .

Отсюда следует, что выражение примет вид k ( x ) = s ( x ) · t ( x ) = s 1 ( s 2 ( x ) ) · t ( x ) .

Тогда получим, что

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 ( 2 x + 1 ) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x · ( x 2 + 1 ) = = f n ( x ) + 3 · p 1 ( p 2 ( p 3 ( x ) ) ) q 1 ( q 2 ( x ) ) = r ( x ) + s 1 ( s 2 ( x ) ) · t ( x )

По структурам функции стало явно, как и какие формулы необходимо применять для упрощения выражения при его дифференцировании. Для ознакомления подобных задач и и для понятия их решения необходимо обратиться к пункту дифференцирования функции, то есть нахождения ее производной.

Пошаговый калькулятор производных онлайн

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)

Список математических функций и констант :

• ln(x) — натуральный логарифм

• sh(x) — гиперболический синус

• ch(x) — гиперболический косинус

• th(x) — гиперболический тангенс

• cth(x) — гиперболический котангенс

• sch(x) — гиперболический секанс

• csch(x) — гиперболический косеканс

• arsh(x) — обратный гиперболический синус

• arch(x) — обратный гиперболический косинус

• arth(x) — обратный гиперболический тангенс

• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

• arsch(x) — обратный гиперболический секанс

• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс

Примеры применения формулы производной сложной функции

Основные формулы

Здесь мы приводим примеры вычисления производных от следующих функций:
; ; ; ; .

Если функцию можно представить как сложную функцию в следующем виде:
,
то ее производная определяется по формуле:
.
В приводимых ниже примерах, мы будем записывать эту формулу в следующем виде:
.
где .
Здесь нижние индексы или , расположенные под знаком производной, обозначают переменные, по которой выполняется дифференцирование.

Обычно, в таблицах производных, приводятся производные функций от переменной x . Однако x – это формальный параметр. Переменную x можно заменить любой другой переменной. Поэтому, при дифференцировании функции от переменной , мы просто меняем, в таблице производных, переменную x на переменную u .

Простые примеры

Пример 1

Найти производную сложной функции
.

Запишем заданную функцию в эквивалентном виде:
.
В таблице производных находим:
;
.

По формуле производной сложной функции имеем:
.
Здесь .

Пример 2

Выносим постоянную 5 за знак производной и из таблицы производных находим:
.

Применяем формулу производной сложной функции:
.
Здесь .

Пример 3

Выносим постоянную –1 за знак производной и из таблицы производных находим:
;
Из таблицы производных находим:
.

Применяем формулу производной сложной функции:
.
Здесь .

Более сложные примеры

В более сложных примерах мы применяем правило дифференцирования сложной функции несколько раз. При этом мы вычисляем производную с конца. То есть разбиваем функцию на составные части и находим производные самых простых частей, используя таблицу производных. Также мы применяем правила дифференцирования суммы, произведения и дроби. Затем делаем подстановки и применяем формулу производной сложной функции.

Пример 4

Выделим самую простую часть формулы и найдем ее производную. .

Применяем правило дифференцирования сложной функции.

.
Здесь мы использовали обозначение
.

Находим производную следующей части исходной функции, применяя полученные результаты. Применяем правило дифференцирования суммы:
.

Еще раз применяем правило дифференцирования сложной функции.

.
Здесь .

Пример 5

Найдите производную функции
.

Выделим самую простую часть формулы и из таблицы производных найдем ее производную. .

Применяем правило дифференцирования сложной функции.
.
Здесь
.

Дифференцируем следующую часть, применяя полученные результаты.
.
Здесь
.

Дифференцируем следующую часть.

.
Здесь
.

Теперь находим производную искомой функции.

.
Здесь
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 19-11-2016